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1、 5-1-3-3.数阵图教学目标1. 了解数阵图的种类2. 学会一些解决数阵图的解题方法3. 能够解决和数论相关的数阵图问题知识点拨.一、数阵图定义及分类：1. 定义：把一些数字按照一定的要求,排成各种各样的图形,这类问题叫数阵图.2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多,这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.3.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手：第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格);第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数,计算这些关键点与相关点的数量关系,得到关键点上所填
2、数的范围;第三步：运用已经得到的信息进行尝试这个步骤并不是对所有数阵题都适用,很多数阵题更需要对数学方法的综合运用例题精讲数阵图与数论【例 1】 把09这十个数字填到右图的圆圈内,使得五条线上的数字和构成一个等差数列,而且这个等差数列的各项之和为55,那么这个等差数列的公差有种可能的取值【考点】数阵图与数论 【难度】3星 【题型】填空【关键词】迎春杯,三年级,初赛,第8题【解析】 设顶点分别为A、B、C、D、E,有45+A+B+C+D+E=55,所以A+B+C+D+E=10,所以A、B、C、D、E分别只能是0-4中的一个数字.则除之外的另外5个数（即边上的）为45-10=35.设所形成的等差数
3、列的首项为a1,公差为d.利用求和公式5（a1a1+4d）2=55,得a1+2d=11,故大于等于0+1+5=6,且为奇数,只能取7、9或11,而对应的公差d分别为2、1和0.经试验都能填出来所以共有3中情况,公差分别为2、1、0.【答案】种可能【例 2】 将填入下图的中,使得任意两个相邻的数之和都不是,的倍数【考点】数阵图与数论 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 根据题意可知的两边只能是与;的两边只能是与;3的两边只能是1、5或8;4的两边只能是7与9可以先将317-写出来,接下来7的后面只能是4,4的后面只能是9,9的后面只能是2,2的后面只能是6,可得：3174926-,还剩下5和8
4、两个数由于是7的倍数,所以接下来应该是5,这样可得：3174926583检验可知这样的填法符合题意【答案】3174926583【例 3】 在下面8个圆圈中分别填数字l,2,3,4,5,6,7,8(1已填出)从1开始顺时针走1步进入下一个圆圈,这个圆圈中若填n(n8).则从这个圆圈开始顺时针走n步进入另一个圆圈依此下去,走7次恰好不重复地进入每个圆圈,最后进入的一个圆圈中写8请给出两种填法【考点】数阵图与数论 【难度】4星 【题型】填空【关键词】走美杯,5年级,决赛,第12题,15分【解析】 按顺时针方向：1,2,5,3,8,7,4,6或1,5,2,4,8,6,7,3或1,6,2,3,8,5,7
5、,4或1,6,4,2,8,7,5,3 (答对任一种给6分,总得分不超过12)由于无论如何填8都是最后一个填写,而填之前,已经走过了28步,因为 288=3余4,即8永远只能在最底下的圆圈里.顺推：试算,从1到8顺序填写发现可以,此时从1顺时针为1、2、5、3、8、7、4、6;逆推：8前面的一个填有2、3、5、6、 7共5种可能.假设为2,如上图,再往前一个数有3、4、5、7共4种可能,设为3,再前推一个数可能是4或6,设为4,依次类并排除错误的选择,可得1、5、2、 4、 8、6、7、3.【答案】1、5、2、 4、 8、6、7、3.【例 4】 在圆的5条直径的两端分别写着110（如图）.现在请
6、你调整一部分数的位置,但保留1、10、5、6不动,使任何两个相邻的数之和都等于直径另一端的相邻两数之和（画在另一个圆上）.【考点】数阵图与数论 【难度】5星 【题型】填空【关键词】走美杯,五年级,初赛,第4题【解析】 共6种【答案】【例 5】 图中是一个边长为1的正六边形,它被分成六个小三角形将4、6、8、10、12、14、16各一个填入7个圆圈之中相邻的两个小正三角形可以组成6个菱形,把每个菱形的四个顶点上的数相加,填在菱形的中心A、B、C、D、E、F位置上（例如：）已知A、B、C、D、E、F依次分别能被2、3、4、5、6、7整除,那么_ 【考点】数阵图与数论 【难度】5星 【题型】填空【关
7、键词】迎春杯,六年级,初赛,第12题【解析】 先考虑菱形顶点的和为3、6的倍数,7个数被3除的余数分别为1、0、2、1、0、2、1,可以得到中间数g=8或14,同样分析5的倍数,7的倍数,得到具体的填法（如图）,agd=4810=320评注：采用余数分析法,找到关键数的填法. 【答案】【例 6】 在如图所示的圆圈中各填入一个自然数,使每条线段两端的两个数的差都不能被3整除.请问这样的填法存在吗?如存在,请给出一种填法;如不存在,请说明理由.【考点】数阵图与数论 【难度】4星 【题型】填空【关键词】希望杯,六年级,二试,第18题,10分【解析】 图中共有4个不同的数,每个数除以3的余数只可能有0
8、、1、2三种,根据抽屉原理可知,这4个数中必然至少存在一对同余的数,那么这两个数的差必然为3的倍数,故不存在这样的填法.【答案】不存在这样的填法【例 7】 如图被分成四个小三角形,请在每个小三角形里各填入一个数,满足下面两个要求：(1)任何两个有公共边的三角形里的数都互为倒数(如：和是互为倒数);(2)四个小三角形里的数字的乘积等于225.【例 8】 则中问小三角形里的数是【考点】数阵图与数论 【难度】3星 【题型】填空【关键词】希望杯,六年级,初赛,第3题,6分【解析】 四个小三角形共三对相邻三角形,这三对的积都是1,所以将这三对数乘起来,得到的积还是1,但其中中间的数被乘了3次,如果只乘1
9、次那么积为225,所以中间的数是.【答案】【例 9】 （2010年第8届走美杯3年级初赛第8题）年是虎年,请把这个数不重复的填入虎额上的“王”字中,使三行,一列的和都等于【考点】复合型数阵图 【难度】5星 【题型】填空 【关键词】走美杯,3年级,初赛【解析】 三个答案均可三个交叉点数的和是：,只能是.剩下通过整数分拆即可得到如图的三种实质不同的答案【答案】【例 10】 将19这9个数字填入下图的9个圆圈内,使得每条线段两端上的两个数字之和各不相同（即可得到12个不同的和）.【考点】数阵图与数论 【难度】5星 【题型】填空【关键词】走美杯,3年级,决赛,第4题,8分【解析】 答案不唯一.例如：【
10、答案】【例 11】 在棋盘中,如果两个方格有公共点,就称为相邻的.右图中A有3个相邻的方格,而B有8个相邻的方格.图中每一个奇数表示与它相邻的方格中,偶数的个数（如3表示相邻的方格中有3个偶数）,每个偶数表示与它相邻的方格中,奇数的个数（如4表示相邻的方格中有4个奇数）.请在下面的44的棋盘中填数（至少有一个奇数）,满足上面的要求.【考点】数阵图与数论 【难度】5星 【题型】填空【关键词】走美杯,4年级,决赛,第12题,12分【解析】 如右图【答案】答案不唯一【例 12】 在右图所示的55方格表的空白处填入适当的自然数,使得每行、每列、每条对角线上的数的和都是30.要求：填入的数只有两种不同的
11、大小,且一种是另一种的2倍.【考点】复合型数阵图 【难度】5星 【题型】填空【关键词】走美杯,3年级,决赛,第12题,12分【解析】 提示：设填入的较小的数为a,则较大的数为2a.第一行要填的两数之和为16,最后一列要填的两数之和为8,由此知第一行填入了两个较大的数,第一列填入了两个较小的数.较大的数为162=8,较小的数为824.得到下图. 其余数容易填入.【答案】【例 13】 请在右图所示44的正方形的每个格子中填入l或2或3,使得每个22的正方形中所填4个数的和各不相同. 【考点】数阵图与数论 【难度】4星 【题型】填空【关键词】走美杯,4年级,决赛,第10题,12分【解析】【答案】答案
12、不唯一【例 14】 请在88表格的每个格子中填人1或2或3,使得每行、每列所填数的和各不相同.【考点】数阵图与数论 【难度】4星 【题型】填空【关键词】走美杯,决赛,5年级,决赛,第12题,10分【解析】 答案不唯一【答案】 【例 15】 在88表格的每格中各填入一个数,使得任何一个55正方形中25个数的平均数都大于3,而整个88表格中64个数的平均数都小于2【考点】 【难度】星 【题型】填空【关键词】走美杯,5年级,决赛,第12题,15分【解析】 如图所示,根据题意,在任何一个任何一个55正方形中的总和应该大于75,而整个的数之和要小于128,其中粗线格部分的在所有的55的正方形里都存在,我
13、们要让它尽可能的大,同时让外边的尽可能的小,则外面的60个方格最小和为60,中间四个方格,应该小于68.在每一个55的正方形内除去这4个,所有之和为21,则中间四个数之和应该大于54,即只要中间四个数的和在54到68之间即可.如14+14+14+14.其他方格里均填写1.【答案】答案不唯一可以在粗线格里添,其余方格添【例 16】 将最小的个合数填到图中所示表格的个空格中,要求满足以下条件：（1）填入的数能被它所在列的第一个数整除（2）最后一行中每个数都比它上面那一格中的数大.那么,最后一行中个数的和最小是 【考点】数阵图与数论 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 最小的个合数分别是,这个合数
14、当中和一定是在的下面,其中15在最后一行;、一定是在和下面,其中14一定在2的下面;剩下的、在或下面,其中一定在的下面,对和所在的列和和所在的列分别讨论、,这四个数中最大的数一定在最后一行,最小的数一定在第二行,所以和所在的列中最后一行的数的和最小是,当、在下面,和在下面时成立;、,这四个数中最大的数一定在最后一行,最小的数一定在第二行,所以和所在的列中最后一行的数的和最小是,当和在下面,和在下面时成立所以最后一行的个数的和最小是.【答案】【例 17】 老师给前来参加“迎春晚会”的31位同学发放编号：1,2,31如果有两位同学的编号的乘积是他们编号和的倍数,则称这两位同学是“好朋友”从这31位
15、同学中至少需要选出 人,才能保证在选出的人中一定可以找到两位同学是“好朋友”【考点】数阵图与数论 【难度】6星 【题型】填空【关键词】迎春杯,高年级,决赛,15题【解析】 如果两个编号的同学是“好朋友”,那么,则时满足条件的有;时满足条件的有;时满足条件的有、;时满足条件的有;时满足条件的有、;时满足条件的有;时满足条件的有;时满足条件的有、;则全部同学相互之间的关系网如图(其余名学生未列)：关系网图可分为不关联的部分,其中包含个人的部分最多可以选出名互不是“好朋友”的同学,包含个人的两个部分各可选出人,以保证互不是“好朋友”,加上未列出的16人,所以人中最多可以选出人互不是“好朋友”,此时只要再选出一人,即可保证选出的人当中有两位同学是“好朋友”,所以至少应该选出人小结：本题容易忽略掉21和28这一对“好朋友”【答案】人8