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1、1 1.了解数阵图的种类2.学会一些解决数阵图的解题方法3.能够解决和数论相关的数阵图问题.一、数阵图定义及分类：1.定义：把一些数字按照一定的要求,排成各种各样的图形,这类问题叫数阵图.2.数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多,这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.3.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手：第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格);第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数,计算这些关键点与相关点的数量关系,得到关键点上所填数的范围;第三步：运用已经得到的信息进行尝试这
2、个步骤并不是对所有数阵题都适用,很多数阵题更需要对数学方法的综合运用模块一、封闭型数阵图【例例 1 1】把 18 的数填到下图中,使每个四边形中顶点的数字和相等.【考点】复合型数阵图 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】学而思杯,3 年级,第 6 题【解析】例题精讲例题精讲知识点拨知识点拨教学目标教学目标5-1-3-1.5-1-3-1.数阵图数阵图287654321【答案】87654321【例例 2 2】将 18 这八个自然数分别填入下图中的八个内,使四边形每条边上的三个数之和都等于 14,且数字 1 出现在四边形的一个顶点上.应如何填?1【考点】封闭型数阵图 【难度】2 星 【题型】填空
3、【解析解析解析】为了叙述方便,先在各圆圈内填上字母,如下图（2）.由条件得出以下四个算式：2hgfedcbaa+b+c=14（1）c+d+e=14（2）e+f+g=14（3）a+h+g=14（4）由（1）+（3）,得：a+b+c+e+f+g=28,（a+b+c+d+e+f+g+h）-（d+h）=28,d+h=（1+2+3+4+5+6+7+8）-28=8,由（2）+（4）,同样可得 b+f=8,又 1,2,3,4,5,6,7,8 中有 1+7=2+6=3+5=8.又 1 要出现在顶点上,d+h 与 b+f 只能有 2+6 和 3+5 两种填法.又由对称性,不妨设 b=2,f=6,d=3,h=5.
4、a,c,e,g 可取到 1,4,7,8若 a=1,则 c=14-（1+2）=11,不在 1,4,7,8 中,不行.若 c=1,则 a=14-（1+2）=11,不行.若 e=1,则 c=14-（1+3）=10,不行.若 g=1,则 a=8,c=4,e=7.说明：例题为封闭型数阵,由它的分析思考过程可以看出,确定各边顶点所应填的数为封闭型数阵的解题突破口.3【答案】【例例 3 3】在如图 6 所示的内填入不同的数,使得三条边上的三个数的和都是 12,若 A、B、C 的和为 18,则三个顶点上的三个数的和是 .CBA【考点】封闭型数阵图 【难度】1 星 【题型】填空【关键词】希望杯,五年级,复赛,第
5、 11 题,5 分【解析】设三个顶点为 D,E,F,求 D,E,F.观察容易发现,三条边的和为 36,即 D+A+E+E+C+F+F+B+D=36 18+2(D+E+F)=36,所以 D+E+F=9【答案】9【例例 4 4】将1至6这六个数字填入图中的六个圆圈中(每个数字只能使用一次),使每条边上的数字和相等那么,每条边上的数字和是 789fedcba789【考点】封闭型数阵图 【难度】2 星 【题型】填空 【解析解析解析】如图,用字母表示各个圆圈中的数,那么每条边上的数字和为1293153abcabc,由于abc最小为1236,最大为45615,所以每条边上的数字和最小为 17,最大为 20
6、,如下两图为每条边上的数字和分别为 17和 20 时的填法598712436598712436而每条边上的数字和能否为 18 或 19 呢?答案是否定的,现说明如下如果每条边上的数字和为 18,那么181539abc,而918abd,即9abd,得到cd,与题意不符,所以每条边上的数字和不能为 18如果每条边上的数字和为 19,类似分析可得到be,也与题意不符,所以每条边上的数字和不能为 19所以每条边上的数字和为 17 或 20【答案】17 或 20【例例 5 5】将 1 到 8 这 8 个自然数分别填入如图数阵中的8个圆圈,使得数阵中各条直线上的三个数之和都相等,那么A和B两个圆圈中所填的
7、数之差(大数减小数)是_4BA【考点】封闭型数阵图 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】2008 年,学而思杯,五年级,4 年级,第 4 题【解析解析解析】方法一：如图fecdbaBA用字母来表示各个圆圈中的数字,设各条直线上的三个数之和都为s,那么2abcdefs,3aAebAdcBfs,所以2ABs,253abcdefABsABAB,而12836abcdefAB,所以5336AB,那么A是 3 的倍数.如果3A,得7B;如果6A,得2B,这两种情况下A和B的差都为 4,所以A和B两个圆圈中所填的数之差(大数减小数)是 4.方法二：设各条直线上的三个数之和都为s,2(1238)5Bs,即
8、725Bs,所以214Bs,713Bs,由于(1238)3As,即363As,因此有146sA,133sA,综合有2146BsA,7133BsA,所以A和B两个圆圈中所填的数之差(大数减小数)是 4.【答案】4【例例 6 6】如图所示,圆圈中分别填人 0 到 9 这 10 个数,且每个正方形顶点上的四个数之和都是 18,则中间两个数 A 与 B 的和是_.BA【考点】封闭型数阵图 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】希望杯,六年级,二试,第 5 题,4 分【解析】若每个正方形中数的和都是 18,那么总和为 54,而这 10 个数的和为 45,其中 A、B 各多算了一次,故A+B=9.【答案】
9、9【例例 7 7】把 211 这 10 个数填到右图的 10 个方格中,每格内填一个数,要求图中3 个22的正方形中的4个数之和相等那么,这个和数的最小值是多少?5111098765432【考点】封闭型数阵图 【难度】3 星 【题型】填空 【解析解析解析】第一步：首先确定数阵图中的关键方格,即相邻两个正方形相交的两个方格;第二步：计算三个22正方形内 4 个数之和的和,显然这个和能被 3 整除,其中有两个数被重复计算了两次,而231165,除以 3 余 2,因此被重复计算的两个数的和被 3 除余 1,这两个数取2、5 时,这个和取得最小值;第三步,由已知的两个方格中的数,得到每个22正方形中的
10、 4 个数之和的最小值为 24,构造各个正方形中其他几个数使每个正方形中的数的和为 24,如图,所以所求的最小值是 24【答案】24【例例 8 8】下图中有五个正方形和12个圆圈,将112填入圆圈中,使得每个正方形四角上圆圈中的数字之和都相等那么这个和是多少?861102912311457【考点】封闭型数阵图 【难度】3 星 【题型】填空 【解析解析解析】设每个正方形四角上圆圈中的数字之和为x,则由5个正方形四角的数字之和,相当于将 112 相加,再将中间四个圆圈中的数加两遍,可得：121225xx,解得26x,即这个和为 26具体填法如右上图.【答案】26【例例 9 9】如图,大、中、小三个
11、正方形组成了 8 个三角形,现在把 2、4、6、8 四个数分别填在大正方形的四个顶点;再把 2、4、6、8 分别填在中正方形的四个顶点上;最后把 2、4、6、8 分别填在小正方形的四个顶点上能不能使 8 个三角形顶点上数字之和都相等?能不能使 8 个三角形顶点上数字之和各不相同?如果能,请画图填上满足要求的数;如果不能,请说明理由 246824688642【考点】封闭型数阵图 【难度】4 星 【题型】填空 【解析解析解析】不能如果这 8 个三角形顶点上数字之和都相等,设它们都等于S考察外面的 4 个三角形,每个三角形顶点上的数的和是S,在它们的和4S中,大正方形的2、4、6、8 各出现一次,中
12、正方形的 2、4、6、8 各出现二次,即42468360S 得到60415S,但是三角形每个顶点上的数都是偶数,和不可能是奇数 15,因此这 8 个三角形顶点上的数字之和不可能都相等由于三角形 3 个顶点上的数字之和最小为2226,最大为88824,可能为6、8、10、22、24,共有 10 个可能的值,而三角形只有 8 个,所以是有可能做到 8 个三角形的顶点上数字之和互不相同的根据对称性,不妨舍去这 10 个可能值的首尾两个,把剩下 8 个值(8、10、12、14、16、18、20、22)作为 8 个三角形的顶点上数字之和进行尝试,可以得到满足条件的填法,右上图就是一种填法6【答案】246
13、824688642【例例 10 10】将 116 分别填入下图（1）中圆圈内,要求每个扇形上四个数之和及中间正方形的四个数之和都为 34,图中已填好八个数,请将其余的数填完.【考点】封闭型数阵图 【难度】4 星 【题型】填空 【解析解析解析】为了叙述方便,将圆圈内先填上字母,如图（2）所示：9+15+a+c=34,5+10+e+g=34,7+14+b+d=34,11+8+f+h=34,c+d+e+f=34,化简得：a+c=10 4+6=10.e+g=19 3+16=19,6+13=19 b+d=13 1+12=13,f+h=15 2+13=15,3+12=15.a,b,c,d,e,f,g,h
14、应分别从 1,2,3,4,6,12,13,16 中选取.因为 a+c=10,所以只能选 a+c=4+6;b+d=13,只能选 b+d=13;e+g=19,只能选 e+g=3+16;f+h=15,只能选 f+h=2+13若 d=1,c=4,则 e+f=34-1-4=29,有 e=16,f=13.若 d=1,c=6,则 e+f=34-1-6=27,那么 e、f 无值可取,使其和为 27.若 d=12,c=4,则 e+f=34-12-4=18,有 e=16,f=2.若 d=12,c=6,则 e+f=34-12-6=16,有 e=3,f=13.解：共有三个解（见图）.7【答案】【例例 11 11】一个
15、 33 的方格表中,除中间一格无棋子外,其余梅格都有 4 枚一样的棋子,这样每边三个格子中都有 12 枚棋子,去掉 4 枚棋子,请你适当调整一下,使每边三格中任有 12 枚棋子,并且 4 个角上的棋子数仍然相等（画图表示）.【考点】复合型数阵图 【难度】4 星 【题型】填空 【关键词】走美杯,3 年级,初赛【解析】因为每个角上的棋子分别被两条边共用,根据这一特点可以将边上的棋子减少,同时增加角上的棋子数.具体操作如图：【答案】【例例 12 12】如果将右图分成四块,每块上的数的和都相等,那么每块的和是 【考点】复合型数阵图 【难度】4 星 【题型】填空 【关键词】走美杯,3 年级,初赛 【解析
16、】根据题目给的数字计算所有的数字和为：9412561191491083100,分成四块的,每块的数字和为：100425,所以941225,511925,691025,831425,具体分法如上图.【答案】模块二、辐射型数阵图8【例例 13 13】把 1991,1992,1993,1994,1995 分别填入图 2 的 5 个方格中,使得横排的三个方格中的数的和等于竖列的三个方格中的数的和.则中间方格中能填的数是_.【考点】辐射型数阵图 【难度】1 星 【题型】填空【关键词】希望杯,四年级,复赛,第 10 题【解析】由题意,横行两端两个数的和应该等于竖列两端两个数的和,也就是除去中间方格中的数,
17、其余的四个数可以分为和相等的两组.所以中间方格中能填的数为：1991,1993,1995.【答案】中间方格能填的数可以为：1991,1993,1995,答案不唯一【例例 14 14】请你把 17 这七个自然数,分别填在下图（1）的圆圈内,使每条直线上的三个数的和都相等.应怎样填?1【考点】辐射型数阵图 【难度】2 星 【题型】填空 【解析解析解析】为叙述方便,先在圆圈中标上字母,如下图（2）,gabcdef 2设 a+b+e=a+c+f=a+d+g=k,则（a+b+e）+（a+c+f）+（a+d+g）=3k 3a+b+c+d+e+f+g=3k 2a+（a+b+c+d+e+f+g）=3k 2a+
18、（1+2+3+4+5+6+7）=3k 2a+28=3k a 为 1、4 或 7,若 a=1,则 k=10,直线上另外两个数的和为 9.在 2、3、4、5、6、7 中,2+7=3+6=4+5=9,因此得到一个解为：a=1,b=2,c=3,d=4,e=7,f=6,g=5.若 a=4,则 k=12,直线上另外两个数的和为 8.在 1、2、3、5、6、7 中,1+7=2+6=3+5=8,因此得到第二个解为：a=4,b=1,c=2,d=3,e=7,f=6,g=5.若 a=7,则 k=14,直线上另外两个数的和为 7.在 1、2、3、4、5、6 中,1+6=2+5=3+4=7,因此得到第三个解为：a=7,
19、b=1,c=2,d=3,e=6,f=5,g=4.解：共得到三个解：如下图.例 2 为辐射型数阵图,填辐射型数阵图的关键在于确定中心数 a 和每条直线上几个圆圈内数的和 k.【答案】9【例例 15 15】右边的一排方格中,除9、8外,每个方格中的字都表示一个数(不同的字可以表示相同的数),已知其中任何3个连续方格中的数相加起来都为22,则“走”+“进”+“数”+“学”+“花”+“园”=【考点】复合型数阵图 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】走美杯,3 年级,初赛【解析】“走”+“进”922 9“数”+“学”22“花”8“园”22所以“走”+“进”+“数”+“学”+“花”+“园”229229
20、22840【答案】40【例例 16 16】请在下图中每个方格中填一个数,使横行任意三个相邻方格内的数字之和都是 15,竖列任意三个相邻方格内的数字之和都是 18853 87225588527833853【考点】复合型数阵图 【难度】3 星 【题型】填空 【解析解析解析】竖列任意三个相邻方格内的数字之和都是 18,从上至下第二个数与第三个数的和是18315,第二个数+第三个数+第四个数18,第四个数等于 3,以此类推,从上至下第一个数等于第四个数等于第七个数,第二个数等于第五个数等于第八个数,所以竖行从上至下依次为 3、8、7、3、8、7、3、8;同理,横行任意三个相邻方格内的数字之和都是 15
21、,由左至右第六个数是 8,所以横行由左至右依次为 5、2、8、5、2、8、5、2、8、5,如右上图所示【答案】87225588527833853【例例 17 17】2000个数写成一行,任意三个相邻的数的和均相等,总和53324.去掉左起第1、第1949、第1975及最后一个数,和成为53236,问剩下的数中左起第50个数是 .【考点】复合型数阵图 【难度】5 星 【题型】填空【关键词】走美杯,3 年级,决赛,第 12 题,12 分【解析】第一个数第二个数第三个数第二个数第三个数第四个数,所以第一个数第四个数,同理第二个数第五个数,第三个数第六个数,也就是这个数列是以3为周期的一个周期数列.1
22、94936492,197536581,200036662,也就是第一个数2第二个数2=533245323688,所以第一个数第二个数44,又因为2000个数的和为53324,53324（第一个数第二个数第三个数）666第一个数第二个数,从而求出第一个数第二个数第三个数80,所以第三个数804436,而503162,所以剩下的数中左起第50个数就是原数列中的第51个数,即原数列中的第3个数,等于36.【答案】3610【例例 18 18】如图,在 2006 年的 3 月的日历上,52ABCD,那么,3 月份的第一个星期日是_号.2006 3DCBA【考点】复合型数阵图 【难度】5 星 【题型】填空
23、【关键词】走美杯,3 年级,决赛,第 6 题,10 分【解析】B比A大8,C比B大8,则C比A大16,D比C大8,则D比A大24,则有528162441A（）,A是星期三,则第一个星期日是145号【答案】5号【例例 19 19】右图中,从第二层（从下往上数）起,每个方框中的数都等于它下方两个方框中所填数的和.最上面的方框中填的数是 .283262670885387283262670885【考点】复合型数阵图 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】走美杯,3 年级,决赛,第 6 题,10 分,4 年级,决赛,第 3 题,8 分【解析】如右图所示,885,262,283,则885262283,则1
24、70,170283453,262170432,则6704536701123,88588511232008【答案】2008【巩固巩固巩固】将 0,1,2,3,4,5 任意填入最下一行（每个数出现一次）的 6 个方格中其它每个方格中的数等于下一行与它相邻的两个数的和最上面的一个数的最大值是 ,最小值是 【考点】复合型数阵图 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】走美杯,3 年级,决赛,第 11 题,12 分【解析】要使最上面的一个数最大,则必使0、1、2、3、4、5数字中最大数尽可能多地相加,即将大数尽可能放在中间位置,即如下图所示：0254312797491616112532275759116要
25、使最上层的值最小,则必使0、1、2、3、4、5数字中最小值尽可能多地相加,最大值尽可能少地相加,即将最小数尽可能放在中间位置,如下图所示：11442123138159441163138421035【答案】116;44.【例例 20 20】请在下图的每个圆圈内填入不同的自然数,使得图中每个圆圈中所填的数都是上一行与它相邻的两个圆圈中所填数的和20911638421720【考点】复合型数阵图 【难度】4 星 【题型】填空 【解析解析解析】第一步：由于每个圆圈中所填的数都是上一行与它相邻的两个圆圈中所填数的和,所以只要填出第一行的四个数字就能得到其他圆圈中所填的数.如果第一行填入的是x、y、z、w,
26、则320 xwyz,由于xw至少为 3,所以yz不超过 5;第二步：由于yz的和不超过 5,所以,y和z只可能为 1 和 2、1 和 3、1 和 4 或者 2 和 3,通过尝试可以得到不止一个答案,右面的答案是其中一个【答案】911638421720【例例 2 21 1】把1.2,3.7,6.5,2.9,4.6分别填在右图的 5 个圆圈内,然后在每个方框中填上和它相连的 3 个圆圈中的数的平均值,再把 3 个方框中的数的平均值填在三角形中请找出一种填法,使三角形中的数尽可能小问这个最小的数是多少?【考点】复合型数阵图 【难度】4 星 【题型】填空 【解析解析解析】设 5 个小圆中的数依次为1a、2a、3a、4a、5a,则三个方框中的数依次为1233aaa、2343aaa、3453aaa,继而求出三角形中的数为123452329aaaaa为使这个数最小,3a应该填入最小的数1.2,2a、4a应该填入次小的2.9和3.7,1a、5a填入4.6和6.5可得三角形中的数最小为3.1【答案】3.1