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1、5-1-2-3.乘除法数字谜（二）教学目标数字谜是杯赛中非常重要的一块,特别是迎春杯,数字谜是必考的,一般学生在做数字谜的时候都采用尝试的方式,但是这样会在考试中浪费很多时间本模块主要讲乘除竖式数字谜的解题方法,学会通过找突破口来解决问题最后通过例题的学习,总结解数字谜问题的关键是找到合适的解题突破口在确定各数位上的数字时,首先要对填写的数字进行估算,这样可以缩小取值范围,然后再逐一检验,去掉不符合题意的取值,直到取得正确的解答 知识点拨1. 数字谜定义:一般是指那些含有未知数字或未知运算符号的算式2. 数字谜突破口：这种不完整的算式,就像“谜”一样,要解开这样的谜,就得根据有关的运算法则,数
2、的性质（和差积商的位数,数的整除性,奇偶性,尾数规律等）来进行正确的推理,判断3. 解数字谜：一般是从某个数的首位或末位数字上寻找突破口推理时应注意： 数字谜中的文字,字母或其它符号,只取中的某个数字; 要认真分析算式中所包含的数量关系,找出尽可能多的隐蔽条件; 必要时应采用枚举和筛选相结合的方法（试验法）,逐步淘汰掉那些不符合题意的数字; 数字谜解出之后,最好验算一遍例题精讲模块一、与数论结合的数字谜（1）、特殊数字【例 1】 如图,不同的汉字代表不同的数字,其中“变”为1,3,5,7,9,11,13这七个数的平均数,那么“学习改变命运”代表的多位数是 【考点】与数论结合的数字谜之特殊数字
3、【难度】2星 【题型】填空【关键词】学而思杯,4年级,第9题【解析】 “变”就是7, 【答案】【例 2】 右边是一个六位乘以一个一位数的算式,不同的汉字表示不同的数,相同的汉字表示相同的数,其中的六位数是_ .【考点】与数论结合的数字谜之特殊数字 【难度】3星 【题型】填空【关键词】希望杯,4年级,初赛,20题【解析】 赛赛的个位是9,赛=3或7,赛=3,小学希望杯赛=333333,不合题意,舍去;故赛=7,小学希望杯赛=9999997=142857【答案】【例 3】 右面算式中相同的字母代表相同的数字,不同的字母代表不同的数字,问A和E各代表什么数字?【考点】与数论结合的数字谜之特殊数字 【
4、难度】3星 【题型】填空【解析】 由于被乘数的最高位数字与乘数相同,且乘积为,是重复数字根据重复数字的特点拆分,将其分解质因数后为：,所以或者是若A3,因为339,则E1,而个位上1331,因此,A3.若A7,因为7749,49655,则E5.个位上,5735,写5进3.十位上,因为67+345,所以D6.百位上,因为37425,所以C3.千位上,因为97265,所以B9.万位上,因为77655,所以得到该题的一个解.所以,A7,E5.【答案】A7,E5【例 4】 下页算式中不同的汉字表示不同的数字,相同的汉字表示相同的数字,则符合题意的数“华罗庚学校赞”是什么?【考点】与数论结合的数字谜之特
5、殊数字 【难度】3星 【题型】填空【解析】 本题是,数几个数字的轮换应用和7的秘密数字特点相同,所以本题的好的结果在：2好6,经过试验得到答案是 则“华罗庚学校赞”=428571或857142.【答案】“华罗庚学校赞”=428571或857142【例 5】 如图相同字母表示相同的数字,不同字母表示不同的数字.两位数 【考点】与数论结合的数字谜之特殊数字 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】走美杯,3年级,初赛【解析】 ,因此、中必有一个是37的倍数,只能是37或74.经试验,只有,满足要求.【答案】【例 6】 “迎杯春杯=好好好”在上面的乘法算式中,不同的汉字表示不同的数字,相同的汉字表示相
6、同的数字.那么“迎+春+杯+好”之和等于多少? 【考点】与数论结合的数字谜之特殊数字 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 好好好=好111=好337,100以内37的倍数只有37和74,所以“迎杯”或“春杯”中必有1个是37或74,判断出“杯”是7或4. 若 杯=7,则好=9,999/37=27,所以,迎+春+杯+好=3+2+7+9=21 若 杯=4,则好=6,666/74=9,不是两位数,不符合题意 .迎+春+杯+好=3+2+7+9=21.【答案】迎+春+杯+好=3+2+7+9=21【例 7】 在下面的算式中,每一个汉字代表一个数字,不同的汉字表示不同的数字,当“开放的中国盼奥运”代表什么
7、数时,算式成立?盼盼盼盼盼盼盼盼盼=开放的中国盼奥运【考点】与数论结合的数字谜之特殊数字 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 这是一道除法算式题.因为盼盼盼盼盼盼盼盼盼是“”的倍数,且又为9的倍数,所以“”可能为3或9.若“”=3,则盼盼盼盼盼盼盼盼盼3的商出现循环,且周期为3,这样就出现重复数字,因此“”3. 若“”=9,因为 盼盼盼盼盼盼盼盼盼9=盼（1111111119）=盼12345679若“盼”=1,则“开放的中国盼奥运”=123456791=12345679,“盼”=6,前后矛盾,所以“盼”1.若“盼”=2,则“开放的中国盼奥运”=123456792=24691358,“盼”=3
8、,矛盾,所以“盼”2.若“盼”=3,则“开放的中国盼奥运”=123456793=37037037,“盼”=0,矛盾,所以“盼”3.若“盼”=4,则“开放的中国盼奥运”=123456794=49382716,“盼”=7,矛盾,所以“盼”4.若“盼”=5,则“开放的中国盼奥运”=123456795=61728395,“盼”3,矛盾,所以“盼”5.若“盼”=6,则“开放的中国盼奥运”=123456796=74074074,则“盼”0,矛盾,所以“盼”6.若“盼”=7,则“开放的中国盼奥运”=123456797=86419753,“盼”=7,得到一个解：7777777779=86419753若“盼”8
9、,则“开放的中国盼奥运”=12345679898765432,“盼”=4,矛盾,所以“盼”8.若“盼”9 ,则“开放的中国盼奥运”123456799=111111111,“盼”=1,矛盾,所以“盼”9.解：777777777986419753则“开放的中国盼奥运”86419753.【答案】“开放的中国盼奥运”86419753（2）整除性质【例 8】 如图是一个等式：等式中的汉字代表数字,不同的汉字代表不同的数字,每个汉字是1、2、3、4、5、6、7、8、9中的一个,问：“学而思五年级”所代表的六位整数是什么?学而思杯5=五年级试题4【考点】与数论结合的数字谜之整除性质 【难度】3星 【题型】填
10、空【关键词】学而思杯,5年级,第8题【解析】 因为5和4互质,所以“五年级试题”一定可以被5整除,所以“题”应该是5或者0,但是数字只能是19,所以“题”表示的数字是5,因为“学而思杯”最大是9876,所以“五年级试题”最大是12345,但是可以发现“五年级试题”用19组成的最小数就是12345,所以“五年级试题”只能是12345,“学而思五年级”所代表的五位整数是987123.【答案】【例 9】 右边算式中,表示同一个数字,在各个中填入适当的数字,使算式完整那么两个乘数的差(大数减小数)是 【考点】与数论结合的数字谜之整除性质 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 由能被整除及只有,的个位是
11、,所以可能为1,3,7或9,而且可分解成11与1个一位数和一个两位数的乘积分别检验1111、1331、1771、1991,只有1771满足：,可知原式是所以两个乘数的差是.【答案】【例 10】 下面的算式中,同一个汉字代表同一个数字,不同的汉字代表不同的数字,团团圆圆=大熊猫则“大熊猫”代表的三位数是_.【考点】与数论结合的数字谜之整除性质 【难度】2星 【题型】填空【关键词】华杯赛,初赛,10分【解析】 由于团团=团11,圆圆=圆11,所以大熊猫=团团圆圆=团圆121,也就是说“大熊猫”这个三位数是121的倍数,那么“团圆”应当小于9（ 否则9121=1089为四位数）,所以“团圆”最大为8
12、.由于“团圆”为一位数,“团圆”再与121相乘即得到“大熊猫”,所以“大熊猫”的个位数字“猫”就等于“团圆”,而百位数字与个位数字不相同,所以十位必须要向百位进位,即“团圆”与2相乘至少为10,所以“团圆”至少为5.另外“团圆”不能为质数,否则“团”、“圆”中有一个为1,而“猫”等于“团圆”,则“猫”与“团”、“圆”中的另一个相等,不合题意.“团圆”至少为5,最大为8,又不能是质数,且“团”、“圆”都不为1,那么“团圆”可能为6或8.如果为6,则“团”、“圆”分别为2和3,“大熊猫”为6121=726,“熊”与“团”、“圆”中的一个数相同,不合题意;如果为8,则“团”、“圆”分别为2和4,“大
13、熊猫”为8121=968,满足题意.所以“大熊猫”代表的三位数为968.【答案】【例 11】 在如图所示的乘法算式中,汉字代表1至9这9个数字,不同汉字代表不同的数字若“祝”字和“贺”字分别代表数字“4”和“8”,求出“华杯赛”所代表的整数【考点】与数论结合的数字谜之整除性质 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 根据题意可知“祝”、“贺”、“华”、“杯”、“赛”、“第”、“十”、“四”、“届”这9个汉字恰好代表19这9个数字,那么它们的和为45由于“祝”、“贺”分别代表4和8,那么“祝贺”是3的倍数,则“第十四届”也是3的倍数,这样它的各位数字之和之和也是3的倍数,可知“祝”、“贺”与“第”
14、、“十”、“四”、“届”这6个数的和也是3的倍数,那么“华”、“杯”、“赛”这3个数和也是3的倍数,从而“华杯赛”这个三位数是3的倍数由于“第十四届”等于48与“华杯赛”这两个3的倍数的乘积,所以它是9的倍数从而“第”、“十”、“四”、“届”这4个数的和是9的倍数由于“华”、“杯”、“赛”、“第”、“十”、“四”、“届”的总和为,所以“第”、“十”、“四”、“届”这4个数的和可能为27或18(它们的和显然大于9),对应的“华”、“杯”、“赛”这3个数和是6或15如果“华”、“杯”、“赛”这3个数和是6,则“华”、“杯”、“赛”分别为1、2、3,如果“华”为2,则“华杯赛”至少为213,则,不是
15、四位数,所以“华”只能为1,这样“华杯赛”可能为123和132,分别有,都不符合;如果“华”、“杯”、“赛”这3个数和是15,根据上面的分析可知“华”只能为1,这样“杯”、“赛”之和为14,可能为或,由于“贺”为8,所以“杯”、“赛”分别为5和9,显然“赛”不能为5,则“华杯赛”为159.【答案】159【例 12】 一个六位数,如果满足,则称为“迎春数”(如,则就是“迎春数”).请你求出所有“迎春数”的总和. 【考点】与数论结合的数字谜之整除性质 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 方法一：显然,不小于4,原等式变形为化简得,当时,于是为同理,6,7,8,9,可以得到为,. 所有的和是方法二
16、：显然,不小于4,若,为末尾数字,所以;为的末2位,所以;为的末3位,所以; 为的末4位,所以;为的末5位,所以;于是为同理,6,7,8,9,可以得到为,. 所有的和是【答案】（3）、质数与合数【例 13】 每个方框内填入一个数字,要求所填数字都是质数,并使竖式成立?【考点】与数论结合的数字谜之质数与合数 【难度】4星 【题型】填空【解析】 一位质数只有2、3、5、7,且两位数乘以三位数都需要进位,相乘个位为质数的只有3-5和5-7,逐步递推,答案77533【答案】77533模块二、电子数字问题【例 14】 电子数字如图所示,右图是由电子数字组成的乘法算式,但有一些模糊不清,请将右图的电子数字
17、恢复,并将它写成横式形式： 【考点】电子数字问题 【难度】5星 【题型】填空【关键词】迎春杯,四年级,初赛,第3题【解析】 可以看出乘积的百位可能是2或8,由于被乘数的十位和乘数都不能是9,最大可能为8,所以它们的乘积不超过,故乘积的首位不能为8,只能为;被乘数的十位和乘数要与图中相符,只能是、或,首先可以排除,所以可能为2、6或8;如果被乘数的十位是或,那么乘数无论是、或,都不可能乘出百位是的三位数所以被乘数的十位是,相应得出乘数是;被乘数应大于,可能为27、28或29,检验得到符合条件的答案：【答案】【例 15】 电子数字09如图1所示,图2是由电子数字组成的乘法算式,但有一些已经模糊不清请将图2的电子数字恢复,并将它写成横式： ：【考点】电子数字问题 【难度】6星 【题型】填空【解析】 设竖式如,那么各个字母可以代表的数如下表或者;若,那么,并且一定是、或,如果是,那么由于,所以进位,导致,产生矛盾;如果是,那么时百位小于8,时百位大于8,也产生矛盾;所以只有可能,并可以得到,考虑到是三位数,所以,再根据或,得到,所得到的数式为若,则可以得到,(因为);由于或,所以或者当时,竖式成立;当时,竖式成立.【答案】或7