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1、第一章 函数、极限、连续第1节 函数a) 反函数和原函数关于y=x对称。b) 只有定义域关于原点对称的函数才干讨论奇偶性。c) 多个奇函数之和为奇函数；多个偶函数之和为偶函数。d) 2k个奇函数的乘积是偶函数；2k+1个奇函数的乘积是偶函数；任意个偶函数的乘积还是偶函数。(k=0,1,2.)。e) 假如f(x)是周期函数，周期为T，则f(ax+b)也是周期函数，周期为|T/a|。f) 基本初等函数涉及：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。初等函数即上述五大类函数，以及它们有限次的四则运算与复合而成的函数。g) 一切初等函数在其定义域内都是连续的。第2节 极限a) 左右极限存在且相
2、等极限存在。b) 假如函数在X0极限为A，则可以将函数改写为f(X)=A+(x)，其中。（等价无穷小）c) 极限存在极限唯一。（极限唯一性）d) ，且A0，则在x的邻域内，f(x)0。（保号性）e) 函数f(x)在点x=x0存在极限，则存在该点的一个去心邻域U，在U内f(x)有界。（有界性）f) 当limf(x)=A，limg(x)=B，那么lim(f(x)+g(x)=limf(x)+limg(x)=A+Blim(f(x)-g(x)=limf(x)-limg(x)=A-Blim(f(x)*g(x)=limf(x)*limg(x)=A*Blim(f(x)/g(x)=limf(x)/limg(x)
3、=A/B limg(x)不等于0lim(f(x)n=(limf(x)n=Anlim(f(x)g(x)=Ab（极限的四则运算）g) 有限个无穷小之和仍然是无穷小。有限个无穷小之积仍然是无穷小。无穷小和有界量乘积仍然是无穷小。h) =li. l=0，f(x)=o(g(x).ii. l=，f(x)是g(x)低阶.iii. 0l或-l0，l1，同阶.iv. l=1，等价无穷小，记作f(x)g(x).特别的，假如=l(l0)，则称f(x)是g(x)的k阶无穷小。i) 等价无穷小代换：x0时，xsinxtanxarcsinxarctanxex-1ln(1+x)1-cosxx2 =1-cosxx2-1x =
4、-1xtanx-xx-sinx特殊的，x0时ax-1xlnaj) 只有因子才干进行等价无穷小的代换。k) 要注重推广形式。例如【x0时，xsinx】，假如当xx0时，f(x)0，那么将原式中x换成f(x)也成立。l) 求极限的方法：i. 运用函数的连续性（极限值等于函数值）。运用极限的四则运算性质。ii. 抓头公式（解决多项式比值的极限）。1. 抓小头公式。（x0）2. 抓大头公式。（x）（分子分母同除最高次项）（极限为【最高次项的系数比】）iii. 两个准则：1. 夹逼准则2. 单调有界必有极限iv. 两个重要极限：1. =1（运用单位圆和夹逼准则进行证明）2. （运用单调有界准则进行证明）
5、 口诀：倒倒抄。（结合抓头公式）v. 无穷小的运算性质、等价无穷小的代换1. 有限个无穷小之和为无穷小。有限个无穷小之积为无穷小。无穷小与有界量乘积为无穷小。2. 12种等价无穷小的代换。vi. 左右极限：求分段函数分段点的极限值。vii. 运用导数的定义求极限。导数定义：增量比，取极限。构造出“增量比”的形式，则极限就是导数。viii. 定积分的定义求极限。（解决多项求和的形式）ix. 泰勒公式1. 泰勒公式中系数表达式：fnx0n!x-x0n2. 当x0=0的时候，泰勒公式则称为麦克劳林公式。常用的麦克劳林公式：ex sinx cosx ln(x+1) (1+x)mx. 洛必达法则使用前提
6、：（1）分子分母都趋向于0。（2）分子分母的极限都存在。（3）分子分母导数的比值为一个定值或为无穷。第一层次00第二层次0*：转换成00或-：通分化为00（常用换元的方法求解）第三层次1 000使用eln进行转化。第3节 连续与间断a) 连续某点：极限值=函数值函数在该点连续开区间：在该区间中每个点都是连续的，则在开区间连续。闭区间：开区间连续切在端点连续b) 间断第一类间断点（左右极限都存在）可去间断点：左右极限相等跳跃间断点：左右极限不相等第二类间断点（左右极限至少有一个不存在）无穷间断点：因趋于无穷而导致的不存在。振荡间断点：因振荡而不存在。c) 初等函数的连续性i. 基本初等函数在相应
7、的定义域内连续。ii. 区间I上的连续函数做四则运算形成的新函数在I上仍然是连续函数。iii. 连续函数通过有限次的复合仍为连续函数。iv. 原函数连续且单调，反函数必为连续且单调。v. 一切初等函数在相应定义区间内连续。d) 闭区间连续函数的性质假如f(x)在a,b连续，则：1. f(x)在a,b有界。2. 有最大最小值3. 介值定理4. 零点定理：f(a)*f(b)0的区间，f(x)单调增的区间；f(x)0凸函数：f(x)0当P0时收敛，值为a1-pp-1。当p1时发散。(二) 无界函数的广义积分（瑕积分）f(x)在a点无界：abfxdx=lim0+a+bfxdx，若极限存在，称积分收敛。
8、若极限不存在，称积分发散。f(x)在b点无界：abfxdx=lim0+ab-fxdx，若极限存在，称积分收敛。若极限不存在，称积分发散。f(x)在c点无界：abfxdx=acfxdx+cbfxdx，若两个广义积分极限都存在，称原广义积分是收敛的。若至少有一个广义积分极限不存在，称原广义积分是发散的。第4节 定积分的应用(一) 微元法：U1.拟定变量x，拟定x的范围a,b。2.dxDu=f(x)dx3.U=dU=abfxdx(二) 几何问题1.面积：（1）直角坐标系（2）极坐标系：S=ds=12r2d极坐标系转化为直角坐标系：2=x2+y2,x=cos,y=sin,=arctanyx2.体积：（
9、1）截面面积已知的几何体的体积：V=dV=abAxdx（2）旋转体的体积：绕x轴转：V=abf2xdx；绕y轴转：V=abg2ydyV=ab2fx(x)dx3.曲线的弧长（1）参数方程：S=abxt2+yt2dt（2）直角坐标系：S=ab1+yx2dx（3）极坐标系：S=r2+r2d(三) 物理问题运用微元法三步求解。第四章 多元函数微分学第1节 基本概念（1） 多元函数：二元函数：z=f(x,y)D定义域几何意义：曲面（2） 二元函数的极限：趋向方式有无数种，若不同趋向方式得到的极限不同，则极限不存在（极限唯一性）。（3） 二元函数的连续极限值等于函数值，则函数在该点连续。闭区域上连续函数的
10、性质：D为闭区域，f(x,y)在D上连续，则：1. f(x,y)在D上有界。2. 存在最大最小值。3. 可应用介值定理。4. 可应用零点定理。第2节 偏导数与全微分（1） 偏导数：z=f(x,y)对x的偏导数：limx0fx+x,y-f(x,y)x=fx=fxx,y=f1(x,y)对y的偏导数：limy0fx,y+y-f(x,y)y=fy=fyx,y=f2(x,y)二阶偏导数：若fxyx,y和fyxx,y连续，则fxyx,y等于fyxx,y。（2） 全微分：z=f(x,y)若z=Ax+By+o(x2+y2)则z可微。dz=Adx+Bdy+ o(x2+y2)= fxdx+fydy（3） 偏导数与
11、全微分的关系全微分存在函数连续全微分存在 fx、fy存在 fx、fy连续可微（4） 偏导数的计算直接计算：对不求导的变量当作常量解决（二元一元）。多元复合函数求导（链式法则）1.z=f(u,v) u=u(x,y) v=v(x,y)zx=zuux+zvvxzy=zuuy+zvvy画树状图找到求导途径隐函数的偏导数左右同时求导多元隐函数求导公式：zx=-FxFz zy=-FyFz第3节 多元函数微分学的应用（数二只规定极值、最值问题）（1） 二元函数的极值问题（无条件）极值点：也许是一阶偏导数为零或不存在的点。鉴定极值点：当求出某点也许为极值点(x0,y0)，带入A0=2zx2、B0=2zxy、C
12、0=2zy2。计算B02-A0C0。当其小于零：A00为极小值点A00，以D为底，以f(x,y)为顶的曲顶柱体的体积。（2） 计算a) 直角坐标系下：Dfx,yd=abdx1(x)2(x)fx,ydy口诀：后积先定限b) 极坐标系下：先积r后积 Dfx,yd=dr1()r2()frcos,rsinrdr坐标系选择：极坐标系：1. D：圆（环）、扇（环）2.f(x,y)：x2+y2、xy除此之外一般选择直角坐标系。第六章 常微分方程第1节 基本概念1. 常微分方程含未知函数的导数的方程。2. 阶未知函数有几阶导，就是几阶的微分方程。3. 解通解：具有任意常数的个数与阶数相同。特解：通解中的任意常
13、数拟定。初始条件：y(x0)=y0，yx0=y1，yn-1(x0)=yn-14. 线性方程y和y的各阶导数都是以一次式出现的。第2节 一阶微分方程1. 可分离变量的微分方程：转化：dydx=f(x)g(x)dyg(y)=fxdx两边同时积分2. 齐次微分方程：假如dydx=f(yx)，那么设yx=u，则y=xu(x)那么dydx=u(x)+xdudx带入原方程得：u+xdudx=f(u) dufu-u= dxx（可分离变量）3. 一阶线性微分方程通式：y+P(x)y=Q(x)，若Q(x)，则称之为一阶线性齐次微分方程。一阶线性齐次微分方程通解：y=Ce-Pxdx一阶线性非齐次微分方程通解：y=
14、e-Pxdx(QxePxdxdx+C)第3节 高阶微分方程1. 可降阶的高阶微分方程a) y(n)=f(x)逐次积分解决。b) y=f(x,y)令u(x)= y,则u(x)= y。代入原式。c) y=f(y,y)令y=p(y),则y=p(y)p(y)。代入原式。2. 线性微分方程解的结构通式（二阶为例）：y+P(x)y+Q(x)y=f(x)若f(x)=0则为齐次。（1）若y(x)为齐次的解，则ky(x)仍然是它的解。（2）若y1(x), y2(x)是齐次的解，则k1y1x+k1y2(x)仍然是它的解。（3）接（2）若y1(x), y2(x)线性无关，则k1y1x+k1y2(x)是它的通解。（4
15、）若Y是齐次的通解，y*是非齐次的特解，则y=Y+y*是非齐次的通解。3. 二阶常系数线性微分方程通式：y+Py+Qy=f(x)齐次：y+Py+Qy=0特性方程：r2+pr+q=0a) =p2-4q0，有两个不等实根r1、r2。则Y=C1er1x+C2er2x是齐次方程的通解。b) =p2-4q=0，有两个相等实根r。则Y=C1erx+C2xerx=erx(C1+C2x)是齐次方程的通解。c) =p2-4q0，有两个不等虚根i。则Y=ex(C1cosx+C2sinx)是齐次方程的通解。非齐次：相应的齐次通解，加上自身特解。只有两种f(x)能找到特解：a) f(x)= exPn(x)y*=xkexQn(x) 是特性方程的k重根。Qn是和Pn相同形式多项式。b) f(x)= exPn(x)Cosx+Pl(x)sinxy*=xkexQm(x)Cosx+Qm*(x)sinxm=maxn,l+i是特性方程的k重根。