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1、实数【无理数】1. 定义：无限不循环小数的小数叫做无理数；注：它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。2. 常见无理数的几种类型：（1）特殊意义的数，如：圆周率以及具有的一些数，如：2-，3等；（2）特殊结构的数（看似循环而实则不循环）：如：2.010 010 001 000 01（两个1之间依次多1个0）等。（3）无理数与有理数的和差结果都是无理数。如：2-是无理数（4）无理数乘或除以一个不 为0的有理数结果是无理数。如2,（5）开方开不尽的数，如:等；应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如：等；无理数也不一定带根号，如：）3.有理数与无理数的区别：（1）有理数指的是有限小数和无限
2、循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以当作是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。例：（1）下列各数：3.141、0.33333、0.3（相邻两个3之间0的个数逐次增长2）、其中是有理数的有；是无理数的有。（填序号）（2）有五个数:0.125125,0.,-,其中无理数有 ( )个【算术平方根】：1. 定义：假如一个正数x的平方等于a，即，那么，这个正数x就叫做a的算术平方根，记为：“”，读作，“根号a”，其中，a称为被开方数。例如32=9，那么9的算术平方根是3，即。特别规地，0的算术平方根是0，即，负数没有算术平方根2.算术平方根具有双
3、重非负性：（1）若 故意义，则被开方数a是非负数。（2）算术平方根自身是非负数。3.算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表达为：；而平方根具有两个互为相反数的值，表达为：。例：（1）下列说法对的的是 （ ）A1的立方根是； B；（C）、的平方根是； （ D）、0没有平方根； （2）下列各式对的的是（ ）A、 B、 C、 D、（3）的算术平方根是 。（4）若故意义，则_。（5）已知ABC的三边分别是且满足，求c的取值范围。（6）（提高题）假如x、y分别是4的整数部分和小数部分。求x y的值.平方根
4、：1.定义：假如一个数x的平方等于a，即，那么这个数x就叫做a的平方根；，我们称x是a的平方（也叫二次方根），记做：2.性质：（1）一个正数有两个平方根，且它们互为相反数；（2）0只有一个平方根，它是0自身； （3）负数没有平方根例（1）若的平方根是2，则x= ；的平方根是 （2）当x 时，故意义。（3）一个正数的平方根分别是m和m-4，则m的值是多少？这个正数是多少？3. （1）（2）中，a可以取任意实数。如例：1.求下列各式的值（1） （2） （3）2.已知，那么a的取值范围是 。3.已知2x3,化简 。【立方根】1.定义：一般地，假如以个数x的立方等于a，即x3=a,那么这个数x就叫做a
5、的立方根（也叫做三次方根）记为，读作，3次根号a。如23=8，则2是8的立方根，0的立方根是0。2.性质：正数的立方根的正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。立方根是它自身的数有0,1，-1.例：（1）64的立方根是（2）若，则b等于（3）下列说法中：都是27的立方根，的立方根是2，。其中对的的有 （ ） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个比较两个数的大小： 方法一：估算法。如34 方法二：作差法。如ab则a-b0.方法三：乘方法.如比较的大小。例：比较下列两数的大小（1） （2）【实数】定义：（1）有理数与无理数统称为实数。在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数；绝对值最小的实数
6、是0，最大的负整数是-1。（2）实数也可以分为正实数、0负实数。实数的性质：实数a的相反数是-a；实数a的倒数是（a0）；实数a的绝对值|a|=，它的几何意义是：在数轴上的点到原点的距离。实数的大小比较法则：实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：即正数大于0，0大于负数；正数大于负数；两个正数，绝对值大的就大，两个负数，绝对值大的反而小。（在数轴上，右边的数总是大于左边的数）。对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。实数的运算：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。运算法则和运算顺序与有理数的同样实数与数轴的关系：每个实数与数轴上的点是一
7、一相应的（1）每个实数可以以用数轴上的一个点来表达。（2）数轴上的每个点都表达已个实数。例：（1）下列说法对的的是（ ）；A、任何有理数均可用分数形式表达 ； B、数轴上的点与有理数一一相应 ；C、1和2之间的无理数只有 ； D、不带根号的数都是有理数。（2）a，b在数轴上的位置如图所示，则下列各式故意义的是( )b0aA、 B、 C、 D、（3）比较大小(填“”或“”).3 ， ， ， ，（4）数 的大小关系是 ( ) A. B. C. D.（5）将下列各数：，用“”连接起来；_。（6）若，且，则：= 。【二次根式】定义：形如的式子叫做二次根式，a叫做被开方数注意：（1）从形式上看二次根式必
8、须有二次根号“”，如是二次根式，而=3,3显然就不是二次根式。（2）被开方数a可以是数，也可以是代数式。若a是数，则这个数必须是非负数；若a是代数式，则这个代数式的取值必须是非负数，否则没故意义。例：下列根式是否为二次根式 （1） （2） （3） （4）二次根式的性质： 性质1： 积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，运用这个性质也可以对二次根式进行化简。性质2： 商的算术平方根等于被除数的算术平方根除以除数的算术平方根。最简二次根式：被开方数中不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式。例：1.化简：（1） （2） （3）2.计算： 3.已知：，求代数式的值。4.（提高题）观测下列等式：回答问题： ，（1）根据上面三个等式的信息，请猜想的结果；（2）请按照上式反映的规律，试写出用n表达的等式，并加以验证。