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1、 数列考点总结第一部分 求数列的通项公式一、数列的相关概念与表达方法（见辅导书）二、求数列的通项公式四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。求数列通项的方法的基本思绪是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。 求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。 一、累加法 1合用于： -这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。若，则 两边分别相加得 例1 已知数列满足，求数列的通项公式。例2 已知数列满足，求数列的通项公式。练习1.已知数列的首项为1，且写出数列的通
2、项公式. 答案：练习2.已知数列满足，求此数列的通项公式. 答案：裂项求和 评注：已知,，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项.若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和;若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。例3.已知数列中, 且,求数列的通项公式.练习3 已知数列满足，求数列的通项公式。二、累乘法 1、合用于： 累乘法是最基本的二个方法之二。若，则两边分别相乘得，例4 已知数列满足，求数列的通项公式。例5.设是首项为1的正项数
3、列，且（=1，2， 3，），则它的通项公式是=_.三、待定系数法 合用于 基本思绪是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。1形如,其中)型（1）若c=1时，数列为等差数列;（2）若d=0时，数列为等比数列;（3）若时，数列为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.待定系数法：设,得,与题设比较系数得,所以所以有：因此数列构成认为首项，以c为公比的等比数列，所以 即：.规律：将递推关系化为,构导致公比为c的等比数列从而求得通项公式逐项相减法（阶差法）：有时我们从递推关系中把n换成n-1有,两式相减有从而化为公比为c的等比数列,进而求得通项公
4、式. ,再运用类型(1)即可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂.例6、已知数列中，求数列的通项公式。2形如： (其中q是常数，且n0,1) 若p=1时，即：，累加即可.若时，即：，求通项方法有以下三种方向：i. 两边同除以.目的是把所求数列构导致等差数列即： ,令，则,然后类型1，累加求通项.ii.两边同除以 . 目的是把所求数列构导致等差数列。 即： ,令,则可化为.然后转化为类型5来解，iii.待定系数法：目的是把所求数列构导致等差数列设.通过比较系数，求出，转化为等比数列求通项.注意：应用待定系数法时，规定pq，否则待定系数法会失效。例7、已知数列满足，求数列的通项公式。 练习3.（2
5、023陕西卷文）已知数列满足， .令，证明：是等比数列；()求的通项公式。答案：（1）是以1为首项，为公比的等比数列。（2）。总结：四种基本数列1形如型 等差数列的广义形式，见累加法。2.形如型 等比数列的广义形式，见累乘法。3.形如型（1）若（d为常数），则数列为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;（2）若f(n)为n的函数（非常数）时，可通过构造转化为型，通过累加来求出通项;或用逐差法(两式相减)得，分奇偶项来分求通项.4.形如型（1）若(p为常数)，则数列为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;（2）若f(n)为n的函
6、数（非常数）时，可通过逐差法得，两式相除后，分奇偶项来分求通项.例8. 数列满足,求数列an的通项公式.例9. 已知数列,求此数列的通项公式.第二部分 数列求和一、公式法1假如一个数列是等差数列或等比数列，则求和时直接运用等差、等比数列的前n项和公式，注意等比数列公比q的取值情况要分q1或q1.2一些常见数列的前n项和公式：(1)1234n；(2)13572n1n2；(3)24682nn2n.二、非等差、等比数列求和的常用方法1倒序相加法假如一个数列an，首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，等差数列的前n项和即是用此法推导的2分组转化求和法
7、若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和而后相加减3错位相减法假如一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的相应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，等比数列的前n项和就是用此法推导的4裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以互相抵消，从而求得其和小题能否全取1(2023沈阳六校联考)设数列(1)n的前n项和为Sn，则对任意正整数n，Sn()A.B.C. D.2等差数列an的通项公式为an2n1，其前n项的和为Sn，则数列的前10项的和为()A120 B70C75 D1003数列a12，ak2k，
8、a1020共有十项，且其和为240，则a1aka10的值为()A31 B120C130 D1854若数列an的通项公式为an2n2n1，则数列an的前n项和为_5数列，的前n项和为_分组转化法求和 例1等比数列an中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足：bnan(1)nln an，求数列bn的前2n项和S2n.错位相减法求和 例2已知数列an的前n项和Snkcnk(其中c，k为常数)，且a24，a68a3.(1)求an
9、；(2)求数列nan的前n项和Tn.2已知等比数列an的前n项和为Sn，且满足Sn3nk.(1)求k的值及数列an的通项公式；(2)若数列bn满足(4k)anbn，求数列bn的前n项和Tn.Tn.裂项相消法求和 例3已知数列an的前n项和为Sn，a11，Snnann(n1)(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)设bn，求数列bn的前n项和Tn.3在等比数列an中，a10，nN*，且a3a28，又a1、a5的等比中项为16.(1)求数列an的通项公式；(2)设bnlog4an，数列bn的前n项和为Sn，是否存在正整数k，使得k对任意nN*恒成立若存在，求出正整数k的最小值；不存在，请说明理
10、由【课后练习题】1已知数列an的前n项和Snn26n，则|an|的前n项和Tn()A6nn2Bn26n18C. D.2若数列an满足a12且anan12n2n1，Sn为数列an的前n项和，则log2(S2 0122)_.3已知递增的等比数列an满足：a2a3a428，且a32是a2，a4的等差中项(1)求数列an的通项公式；(2)若bnanlogan，Snb1b2bn，求Sn.4已知an是公差不为零的等差数列，a11，且a1，a3，a9成等比数列(1)求数列an的通项；(2)求数列2an的前n项和Sn.Sn2n12.2设函数f(x)x3，在等差数列an中，a37，a1a2a312，记Snf()，令bnanSn，数列的前n项和为Tn.(1)求an的通项公式和Sn；(2)求证：Tn.3已知二次函数f(x)x25x10，当x(n，n1(nN*)时，把f(x)在此区间内的整数值的个数表达为an.(1)求a1和a2的值；(2)求n3时an的表达式；(3)令bn，求数列bn的前n项和Sn(n3)5.