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1、知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算1、向量的概念：向量：既有大小又有方向的量 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小零向量：长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行单位向量：模为1个单位长度的向量平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量 相等向量：长度相等且方向相同的向量 2、向量加法：设，则+=（1）；（2）向量加法满足互换律与结合律；，但这时必须“首尾相连”3、向量的减法： 相反向量：与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量向量减法：向量加上的相反向量叫做与的差，作图法：可以表达为从的终点指向的终点的向量（、有共同起点）4、实数与向量的积：实数与向量的积是一个向
2、量，记作，它的长度与方向规定如下：（）； （）当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，方向是任意的5、两个向量共线定理：向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得=6、平面向量的基本定理：假如是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任历来量，有且只有一对实数使：，其中不共线的向量叫做表达这一平面内所有向量的一组基底二.平面向量的坐标表达1平面向量的坐标表达：平面内的任历来量可表达成，记作=(x,y)。 2平面向量的坐标运算：(1) 若，则(2) 若，则(3) 若=(x,y)，则=(x, y)(4) 若，则(5) 若，则若，则三平面向量的数量积1两个向量的数量积：已知两个
3、非零向量与，它们的夹角为，则=cos叫做与的数量积（或内积） 规定2向量的投影：cos=R，称为向量在方向上的投影投影的绝对值称为射影3数量积的几何意义： 等于的长度与在方向上的投影的乘积4向量的模与平方的关系：5乘法公式成立： ；6平面向量数量积的运算律：互换律成立：对实数的结合律成立：分派律成立：特别注意：（1）结合律不成立：；（2）消去律不成立不能得到（3）=0不能得到=或=7两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量，则=8向量的夹角：已知两个非零向量与，作=, =,则AOB= （）叫做向量与的夹角cos=当且仅当两个非零向量与同方向时，=00，当且仅当与反方向时=1800，同时与其它任
4、何非零向量之间不谈夹角这一问题9垂直：假如与的夹角为900则称与垂直，记作10两个非零向量垂直的充要条件：O平面向量数量积的性质【练习题】1、给出下列命题：两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；若a与b同向，且|a|b|，则ab；，为实数，若ab，则a与b共线其中假命题的个数为()A1B2C3 D42设a0为单位向量，若a为平面内的某个向量，则a|a|a0；若a与a0平行，则a|a|a0；若a与a0平行且|a|1，则aa0.上述命题中，假命题的个数是()A0 B1C2 D33、设两个非零向量a与b不共线(1)若ab，2
5、a8b，3(ab)求证：A，B，D三点共线；(2)试拟定实数k，使kab和akb共线4、已知两点A(4,1)，B(7，3)，则与同向的单位向量是()A. B.C. D.5、在ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，则的值为()A.B.C. D16、已知两个单位向量e1，e2的夹角为，若向量b1e12e2，b23e14e2，则b1b2_.7、已知|a|1，|b|2，a与b的夹角为120，abc0，则a与c的夹角为()A150B90C60 D308、已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量ab与向量kab垂直，则k_.9、设向量a，b满足|a|1，|ab|，a(ab)0，则|2ab
6、|()A2B2C4 D410、已知向量a(sin x,1)，b.(1)当ab时，求|ab|的值；(2)求函数f(x)a(ba)的最小正周期11、已知f(x)ab，其中a(2cos x，sin 2x)，b(cos x,1)(xR)(1)求f(x)的周期和单调递减区间；(2)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，f(A)1，a，3，求边长b和c的值(bc)AOMNPB12、如图，在中，a，b,M为OB的中点，N为AB的中点，P为ON、AM的交点，则等（ ）A ab B ab C ab D ab13ABC中，AB边的高为CD，若a，b，ab0，|a|1，|b|2，则()A.ab B.abC
7、.ab D.ab14(2023郑州质检)若向量a(x1,2)，b(4，y)互相垂直，则9x3y的最小值为()A12 B2C3 D615(2023山西省四校联考)在OAB(O为原点)中，(2cos ，2sin )，(5cos ，5sin )，若5，则OAB的面积S()A. B.C5 D.16、若a，b，c均为单位向量，且ab0，(ac)(bc)0，则|abc|的最大值为()A.1 B1 C. D217、已知ABC为等边三角形，AB2.设点P，Q满足，(1)，R，若，则()A. B. C. D.18如图，已知平行四边形ABCD的顶点A(0，0)，B(4,1)，C(6,8)(1)求顶点D的坐标；(2
8、)若2，F为AD的中点，求AE与BF的交点I的坐标【课后练习题】1下列等式：0aa；(a)a；a(a)0；a0a；aba(b)对的的个数是()A2B3C4 D5解析：选C 2(2023福州模拟)若abc0，则a，b，c()A都是非零向量时也也许无法构成一个三角形B一定不也许构成三角形C都是非零向量时能构成三角形D一定可构成三角形解析：选A3(2023威海质检)已知平面上不共线的四点O，A，B，C.若23，则的值为()A. B.C. D.解析：选A4(2023海淀期末)如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点(靠近B)，那么()A. B. C. D. 解析：选D5(20
9、23揭阳模拟)已知点O为ABC外接圆的圆心，且0，则ABC的内角A等于()A30 B60C90 D120解析：选A 6已知ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足，则点P与ABC的关系为()AP在ABC内部BP在ABC外部CP在AB边所在直线上DP是AC边的一个三等分点解析：选D7(2023郑州五校联考)设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，216，|，则|_.答案：28(2023大庆模拟)已知O为四边形ABCD所在平面内一点，且向量，满足等式，则四边形ABCD的形状为_答案：平行四边形9设向量e1，e2不共线，3(e1e2)，e2e1，2e1e2，给出下列结论：A，B，C共线；A，B
10、，D共线；B，C，D共线；A，C，D共线，其中所有对的结论的序号为_答案：10设i，j分别是平面直角坐标系Ox，Oy正方向上的单位向量，且2imj，n ij，5ij，若点A，B，C在同一条直线上，且m2n，求实数m，n的值或7已知向量a，b(x,1)，其中x0，若(a2b)(2ab)，则x_.答案：48 Pa|a(1,1)m(1,2)，mR，Qb|b(1，2)n(2,3)，nR是两个向量集合，则PQ等于_答案：9已知向量(1，3)，(2，1)，(k1，k2)，若A，B，C三点能构成三角形，则实数k应满足的条件是_答案：k110已知A(1,1)，B(3，1)，C(a，b)(1)若A，B，C三点共
11、线，求a，b的关系式；(2)若2，求点C的坐标 (5，3)11已知a(1,0)，b(2,1)求：(1)|a3b|；(2)当k为什么实数时，kab与a3b平行，平行时它们是同向还是反向？方向相反12已知O为坐标原点，A(0,2)，B(4,6)，t1t2.(1)求点M在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t11时，不管t2为什么实数，A，B，M三点都共线8已知向量a，b夹角为45，且|a|1，|2ab|，则|b|_.答案：39已知向量a(2，1)，b(x，2)，c(3，y)，若ab，(ab)(bc)，M(x，y)，N(y，x)，则向量的模为_答案：810已知a(1,2)，b(2，n)，a与b的夹角是45.(1)求b；(2)若c与b同向，且a与ca垂直，求c.cb(1,3)11已知|a|4，|b|8，a与b的夹角是120.(1)计算：|ab|，|4a2b|；(2)当k为什么值时，(a2b)(kab)?即k7时，a2b与kab垂直12设在平面上有两个向量a(cos ，sin )(0360)，b.(1)求证：向量ab与ab垂直；(2)当向量ab与ab的模相等时，求的大小30或210.