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1、（12）设均为维列向量，为矩阵，下列选项对的的是(A) 若线性相关，则线性相关. (B) 若线性相关，则线性无关. (C) 若线性无关，则线性相关. (D) 若线性无关，则线性无关. A 【分析】 本题考察向量组的线性相关性问题，运用定义或性质进行鉴定.【详解】 记，则.所以，若向量组线性相关，则，从而，向量组也线性相关，故应选().（13）设为3阶矩阵，将的第2行加到第1行得，再将的第1列的倍加到第2列得，记，则（）. （）.（）. （）. 【分析】运用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得.【详解】由题设可得 ，而 ，则有.故应选（）.（14）设随机变量服从正态分布，服从正态
2、分布，且 则必有(A) (B) (C) (D) A 【分析】 运用标准正态分布密度曲线的几何意义可得.【详解】 由题设可得， 则 ，即. 其中是标准正态分布的分布函数. 又是单调不减函数，则，即.故选(A).三 、解答题：1523小题，共94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算环节.（15）（本题满分7分）设,求() ；() . 【分析】第()问求极限时注意将作为常量求解，此问中含型未定式极限；第()问需运用第()问的结果，含未定式极限. 【详解】() . () （通分） （16）（本题满分7分） 计算二重积分，其中是由直线所围成的平面区域. 【分析】画出积分域，将二重积分化为累次积分即可
3、. 【详解】积分区域如右图.由于根号下的函数为关于的一次函数，“先后”积分较容易，所以 （17）（本题满分10分） 证明：当时，. 【分析】 运用“参数变易法”构造辅助函数，再运用函数的单调性证明.【详解】 令，则 ，且.又 ，（），故当时，单调减少，即，则单调增长，于是，即.（18）（本题满分8分）在坐标平面上，连续曲线过点，其上任意点处的切线斜率与直线的斜率之差等于（常数）.() 求的方程；() 当与直线所围成平面图形的面积为时，拟定的值. 【分析】()运用导数的几何意义建立微分方程，并求解；()运用定积分计算平面图形的面积，拟定参数. 【详解】() 设曲线的方程为，则由题设可得 ，这是一
4、阶线性微分方程，其中，代入通解公式得 ，又，所以. 故曲线的方程为 . () 与直线（）所围成平面图形如右图所示. 所以 ， 故.（19）（本题满分10分）求幂级数的收敛域及和函数. 【分析】由于幂级数缺项，按函数项级数收敛域的求法计算；运用逐项求导或积分并结合已知函数的幂级数展开式计算和函数. 【详解】记，则. 所以当时，所给幂级数收敛；当时，所给幂级数发散；当时，所给幂级数为，均收敛，故所给幂级数的收敛域为在内，而 ，所以 ，又，于是 .同理 ，又 ，所以 .故 . 由于所给幂级数在处都收敛，且在 处都连续，所以在成立，即 ，.（20）（本题满分13分）设4维向量组 ，问为什么值时线性相关
5、?当线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出. 【分析】由于向量组中的向量个数和向量维数相同，所以用以向量为列向量的矩阵的行列式为零来拟定参数；用初等变换求极大线性无关组. 【详解】记认为列向量的矩阵为，则 . 于是当时，线性相关. 当时，显然是一个极大线性无关组，且； 当时， ， 由于此时有三阶非零行列式，所认为极大线性无关组，且. （21）（本题满分13分）设3阶实对称矩阵的各行元素之和均为3,向量是线性方程组的两个解.() 求的特性值与特性向量；() 求正交矩阵和对角矩阵,使得；（）求及，其中为3阶单位矩阵.【分析】 由矩阵的各行元素之和均为3及矩阵乘法
6、可得矩阵的一个特性值和相应的特性向量；由齐次线性方程组有非零解可知必有零特性值，其非零解是0特性值所相应的特性向量.将的线性无关的特性向量正交化可得正交矩阵；由可得到和.【详解】 () 由于矩阵的各行元素之和均为3，所以 ，则由特性值和特性向量的定义知，是矩阵的特性值，是相应的特性向量.相应的所有特性向量为，其中为不为零的常数.又由题设知 ，即，并且线性无关，所以是矩阵的二重特性值，是其相应的特性向量，相应的所有特性向量为 ，其中为不全为零的常数.() 由于是实对称矩阵，所以与正交，所以只需将正交.取 ， .再将单位化，得 ，令 ，则，由是实对称矩阵必可相似对角化，得 . （）由()知 ，所以
7、 . ，则.（22）（本题满分13分）设随机变量的概率密度为，令为二维随机变量的分布函数.() 求的概率密度；() ；() .【分析】 求一维随机变量函数的概率密度一般先求分布，然后求导得相应的概率密度或运用公式计算.【详解】 （I） 设的分布函数为，即，则1) 当时，；2) 当时， .3) 当时， .4) 当，.所以 .（II） ，而 ， ，所以 .() .（23）（本题满分13分）设总体的概率密度为其中是未知参数，为来自总体的简朴随机样本，记为样本值中小于1的个数.（）求的矩估计；（）求的最大似然估计【分析】 运用矩估计法和最大似然估计法计算.【详解】（）由于，令 ，可得的矩估计为 . （）记似然函数为，则. 两边取对数得 ，令，解得为的最大似然估计.