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1、2.2.1 1 状态和状态空间状态和状态空间2.2 2.2 线性系统的状态空间描述线性系统的状态空间描述2.3 2.3 连续变量动态系统按状态空间分类连续变量动态系统按状态空间分类2.4 2.4 由输入输出描述导出状态空间描述由输入输出描述导出状态空间描述2.5 2.5 线性系统的特征结构线性系统的特征结构2.6 2.6 状态方程的约当规范形状态方程的约当规范形2.7 2.7 由状态空间描述导出传递函数矩阵由状态空间描述导出传递函数矩阵2.8 2.8 线性系统在坐标变换下的特性线性系统在坐标变换下的特性2.9 2.9 组合系统的状态空间描述和传递函数矩阵组合系统的状态空间描述和传递函数矩阵 第
2、第2 2章章 线性系统的状态空间描述线性系统的状态空间描述12/27/202212/27/20221 12.1 2.1 状态和状态空间状态和状态空间12/27/202212/27/20222 21、动态系统的两类数学描述12/27/202212/27/20223 312/27/202212/27/20224 4（1）系统的外部描述（）系统的外部描述（输入输入-输出描述输出描述）特点：特点：避开表征系统内部的动态过程，反映外部变量间的因果关系。避开表征系统内部的动态过程，反映外部变量间的因果关系。系统作为系统作为“黑箱黑箱”例如：一个系统是线性定常数的，且只有一个输出变量和一例如：一个系统是线性
3、定常数的，且只有一个输出变量和一 个输入变量，那么其外部描述为如下形式的一个线性个输入变量，那么其外部描述为如下形式的一个线性 常系数微分方程：常系数微分方程：12/27/202212/27/20225 512/27/202212/27/20226 6(2)系统的内部描述系统的内部描述12/27/202212/27/20227 72.状态和状态空间的定义状态和状态空间的定义12/27/202212/27/20228 812/27/202212/27/20229 9qq 状态变量组的完状态变量组的完状态变量组的完状态变量组的完全表征性全表征性全表征性全表征性：如果给定了如果给定了 时刻这组变量值
4、，和时刻这组变量值，和 时输入，那么，时输入，那么，系统在系统在 的任何瞬间的行为就完全确定了。的任何瞬间的行为就完全确定了。qq 个数最小性个数最小性个数最小性个数最小性：减少变量，描述不完整，增加则一定存在线性相关的变量。减少变量，描述不完整，增加则一定存在线性相关的变量。意味着意味着:这组变量是互相独立的这组变量是互相独立的。q 状态变量组选取不唯一状态变量组选取不唯一状态变量组选取不唯一状态变量组选取不唯一12/27/202212/27/20221010qq两个状态组之间的关系两个状态组之间的关系两个状态组之间的关系两个状态组之间的关系12/27/202212/27/20221111q
5、q 状态轨迹状态轨迹状态轨迹状态轨迹 状态空间：对实际系统来说，一般就是：状态随时间变化形成 中一条运动轨迹（轨线）12/27/202212/27/20221212 2.2 2.2 线性系统的状态空间描述线性系统的状态空间描述12/27/202212/27/202213131.动态动态系统的系统的（动力学动力学）结构结构12/27/202212/27/2022141412/27/202212/27/202215152.连续时间线性系统的状态空间描述连续时间线性系统的状态空间描述qq 状态方程状态方程状态方程状态方程：12/27/202212/27/20221616将通式化为矩阵形式有：将通式化
6、为矩阵形式有：将通式化为矩阵形式有：将通式化为矩阵形式有：其中：其中：其中：其中：12/27/202212/27/20221717qq 输出方程输出方程输出方程输出方程：通式为：通式为：通式为：通式为：12/27/202212/27/20221818将通式化为矩阵形式有：将通式化为矩阵形式有：将通式化为矩阵形式有：将通式化为矩阵形式有：其中：其中：其中：其中：12/27/202212/27/20221919 (2)(2)状态空间表达式非唯一性状态空间表达式非唯一性,状态变量非唯一，导致矩阵状态变量非唯一，导致矩阵 A,B,C,DA,B,C,D非唯一。非唯一。(3)(3)上述系统称为定常（时不变
7、）线性系统上述系统称为定常（时不变）线性系统 (1)(1)为方便，经常用为方便，经常用 表示线性系统表示线性系统 说明说明说明说明 ：qq 动态方程或状态空间表达式动态方程或状态空间表达式动态方程或状态空间表达式动态方程或状态空间表达式：将状态方程和输出方程联立，就构成动态方程或状态空间将状态方程和输出方程联立，就构成动态方程或状态空间 表达式：表达式：12/27/202212/27/20222020常用符号常用符号常用符号常用符号：定常线性系统的模拟结构图（方块图）定常线性系统的模拟结构图（方块图）：模拟结构图：模拟结构图：模拟结构图：模拟结构图：积分器积分器比例器比例器加法器加法器12/2
8、7/202212/27/202221213.连续时间时变系统：连续时间时变系统：状态空间描述一般形式为：状态空间描述一般形式为：12/27/202212/27/20222222(连续时间连续时间)线性线性时变时变系统的方块图：系统的方块图：12/27/202212/27/202223234.4.状态空间描述举例状态空间描述举例例例 考察下图所示的简单电路，电路各组成元件的参数为考察下图所示的简单电路，电路各组成元件的参数为已知，输入变量取为电压源已知，输入变量取为电压源，输出变量取为电阻两端输出变量取为电阻两端的电压的电压 12/27/202212/27/20222424（1）确定状态变量）确
9、定状态变量 (2)根据电路定律列出电路的原始方程根据电路定律列出电路的原始方程12/27/202212/27/2022252512/27/202212/27/2022262612/27/202212/27/20222727A BCD12/27/202212/27/202228285.5.离散时间线性系统状态空间描述离散时间线性系统状态空间描述 各变量在离散的时刻取值，状态空间反映离散时刻的各变量在离散的时刻取值，状态空间反映离散时刻的变量组间的因果关系和转换关系。变量组间的因果关系和转换关系。用用k=0,1,2.k=0,1,2.，来表示离散的时刻，来表示离散的时刻p 状态和输出方程（差分形式差
10、分形式）或时变形式或时变形式 12/27/202212/27/20222929 小结小结小结小结:本节主要对：本节主要对：状态变量组、状态变量组、状态、状态、状态空间、状态空间、系统状态描述系统状态描述 等基本概念进行了讨论，这部分知识是本章的等基本概念进行了讨论，这部分知识是本章的基础。基础。12/27/202212/27/20223030 2.3 2.3 连续动态系统按状态空间描述分类连续动态系统按状态空间描述分类12/27/202212/27/20223131p 线性和非线性系统线性和非线性系统 非线性系统非线性系统:12/27/202212/27/20223232另外另外:一个非线系统
11、可通过一个非线系统可通过泰勒展开泰勒展开获得获得局部近似线局部近似线 性化系统性化系统（P.29,自学）12/27/202212/27/20223333p 时变和时不变（自治）系统时变和时不变（自治）系统p 连续（时间）和离散（时间系统）连续（时间）和离散（时间系统）连续系统：连续系统：微分方程表示微分方程表示 离散系统：离散系统：差分方程表示差分方程表示 12/27/202212/27/20223434p 确定性和非确定性系统确定性和非确定性系统 确定性系统：确定性系统：参数、动态等都是确定的或随时间变化的确定性函数 非确定性系统：非确定性系统：系统含有不确定性成分，如 参数未知（摄动），外
12、部未知干扰，未建模动态（动态摄动），输入和扰动随机变量（随机系统）12/27/202212/27/202235352.4 2.4 由系统的输入输出导出状态空间方程由系统的输入输出导出状态空间方程（SISOSISO系统）系统）1 1、由输入输出描述（含传递函数）导出状态空间方程、由输入输出描述（含传递函数）导出状态空间方程2 2、由方块图导出状态空间方程、由方块图导出状态空间方程12/27/202212/27/202236361.由输入输出描述导出状态空间方程由输入输出描述导出状态空间方程p通常将由输入通常将由输入-输出描述确定状态空间描述的问题称为输出描述确定状态空间描述的问题称为实现问题实现
13、问题。p考虑一个连续时间考虑一个连续时间SISO线性定常线性定常(时不变时不变)系统系统12/27/202212/27/20223737 线性定常数系统的状态空间描述具有如下的形式线性定常数系统的状态空间描述具有如下的形式：实现问题归结为：通过选取适当的状态变量，确定实现问题归结为：通过选取适当的状态变量，确定A、B、C、D,使得使得12/27/202212/27/20223838结论结论2.1 由由SISO描述导出状态空间描述描述导出状态空间描述12/27/202212/27/2022393912/27/202212/27/20224040证明：证明：(1)mn 的情况。的情况。12/27/
14、202212/27/2022414112/27/202212/27/2022424212/27/202212/27/2022434312/27/202212/27/2022444412/27/202212/27/2022454512/27/202212/27/2022464612/27/202212/27/2022474712/27/202212/27/2022484812/27/202212/27/2022494912/27/202212/27/2022505012/27/202212/27/20225151结论结论2.2 由由SISO描述导出状态空间描述描述导出状态空间描述12/27/20
15、2212/27/2022525212/27/202212/27/2022535312/27/202212/27/2022545412/27/202212/27/20225555证明：证明：只证只证 情形（情形（自学）。自学）。此时，状态变量取为此时，状态变量取为12/27/202212/27/20225656 实现方块图实现方块图 12/27/202212/27/2022575712/27/202212/27/2022585812/27/202212/27/2022595912/27/202212/27/2022606012/27/202212/27/2022616112/27/202212/
16、27/2022626212/27/202212/27/2022636312/27/202212/27/2022646412/27/202212/27/202265652.由方块图描述导出状态空间描述由方块图描述导出状态空间描述12/27/202212/27/2022666612/27/202212/27/2022676712/27/202212/27/2022686812/27/202212/27/2022696912/27/202212/27/20227070由输入由输入-输出描述输出描述 状态空间描述状态空间描述选取适当选取适当状态变量状态变量确定参数确定参数A B C D 两个结论两个结
17、论(方法方法)对角线法、方块图法对角线法、方块图法结果不唯一结果不唯一12/27/202212/27/202271712.5 2.5 线性时不变系统的特征结构线性时不变系统的特征结构1.线性系统(矩阵)的特征多项式2.线性系统(矩阵)的特征根3.线性系统(矩阵)的特征向量和广义特征向量(部分内容,自学)12/27/202212/27/20227272称一个非零列向量称一个非零列向量称一个非零列向量称一个非零列向量 为矩阵为矩阵为矩阵为矩阵 A A 的属于特征值的属于特征值的属于特征值的属于特征值 的特征向量，的特征向量，的特征向量，的特征向量，如果成立如果成立如果成立如果成立 。特征向量是不唯
18、一的。特征向量是不唯一的。特征向量是不唯一的。特征向量是不唯一的。当当当当 n n 个特征值个特征值个特征值个特征值 为两两互异时，任取的为两两互异时，任取的为两两互异时，任取的为两两互异时，任取的 n n 个个个个特征向量特征向量特征向量特征向量 必是线性无关的。必是线性无关的。必是线性无关的。必是线性无关的。给定系统的状态方程给定系统的状态方程给定系统的状态方程给定系统的状态方程系统的系统的系统的系统的特征值（根）特征值（根）特征值（根）特征值（根）定义为如下定义为如下定义为如下定义为如下特征方程特征方程特征方程特征方程的根的根的根的根12/27/202212/27/20227373特征值
19、的代数重数和几何重数特征值的代数重数和几何重数特征值的代数重数和几何重数特征值的代数重数和几何重数 设设设设 为矩阵为矩阵为矩阵为矩阵 A A 的一个特征值，且有的一个特征值，且有的一个特征值，且有的一个特征值，且有则称则称则称则称 为为为为 的代数重数的代数重数的代数重数的代数重数再若再若再若再若则称则称则称则称 为为为为 的几何重数的几何重数的几何重数的几何重数12/27/202212/27/20227474广义特征向量广义特征向量广义特征向量广义特征向量称一个非零向量称一个非零向量称一个非零向量称一个非零向量 是矩阵是矩阵是矩阵是矩阵 A A 的属于的属于的属于的属于 的的的的 级广义特
20、征向级广义特征向级广义特征向级广义特征向量，当且仅当量，当且仅当量，当且仅当量，当且仅当当当当当 k=1 k=1 k=1 k=1 时，广义特征向量就等同于通常所定义的特征向量。时，广义特征向量就等同于通常所定义的特征向量。时，广义特征向量就等同于通常所定义的特征向量。时，广义特征向量就等同于通常所定义的特征向量。12/27/202212/27/20227575性质性质性质性质1 1：设：设：设：设 是是是是 A A 的属于的属于的属于的属于 的的的的 级广义特征向量，则如下级广义特征向量，则如下级广义特征向量，则如下级广义特征向量，则如下定义的定义的定义的定义的 个向量必是线性无关的：个向量必
21、是线性无关的：个向量必是线性无关的：个向量必是线性无关的：并且称此向量组为长度是并且称此向量组为长度是并且称此向量组为长度是并且称此向量组为长度是 的广义特征向量链。的广义特征向量链。的广义特征向量链。的广义特征向量链。广义特征向量基本性质广义特征向量基本性质广义特征向量基本性质广义特征向量基本性质12/27/202212/27/20227676证明：证明：证明：证明：成立的常数必全为零，即成立的常数必全为零，即成立的常数必全为零，即成立的常数必全为零，即将上式两边乘以将上式两边乘以将上式两边乘以将上式两边乘以 ，则得到下式，则得到下式，则得到下式，则得到下式，只需证明使下式只需证明使下式只需
22、证明使下式只需证明使下式12/27/202212/27/20227777则则则则已知已知已知已知 ，则，则，则，则同样，乘以同样，乘以同样，乘以同样，乘以 ，可导出，可导出，可导出，可导出则则则则证明完成。证明完成。证明完成。证明完成。性质性质性质性质2 2：矩阵矩阵矩阵矩阵 A A 的属于不同特征值的广义特征向量的属于不同特征值的广义特征向量的属于不同特征值的广义特征向量的属于不同特征值的广义特征向量 之间必为线性无关。之间必为线性无关。之间必为线性无关。之间必为线性无关。12/27/202212/27/202278782.6 2.6 状态方程的约当规范形状态方程的约当规范形1、非奇异变换、
23、非奇异变换2、将状态空间表达式变换成对角线标准型、将状态空间表达式变换成对角线标准型3、将状态空间表达式变换成约当标准型、将状态空间表达式变换成约当标准型12/27/202212/27/20227979 1 1、线性非奇异变换（坐标变换）：、线性非奇异变换（坐标变换）：系统状态空间表达式的等价性系统状态空间表达式的等价性：同一系统的状态描述同一系统的状态描述不唯一不唯一,但不同状态变量可通过线性但不同状态变量可通过线性变换互相得到。变换互相得到。12/27/202212/27/20228080两组状态变量的关系：两组状态变量的关系：其中：其中：满足上述关系的两个系统称为等价系统满足上述关系的两
24、个系统称为等价系统线性系统在坐标变换下都是等价的线性系统在坐标变换下都是等价的(特征多项式、特征根、特征多项式、特征根、极点等均不变极点等均不变).).证：证：12/27/202212/27/202281812.2.特征根互异时对角化特征根互异时对角化 给定n 维线性系统 假定A有n个互异的特征根 对应的特征向量为 结论结论2.4 2.4 特征根互异时的约当形（对角形）特征根互异时的约当形（对角形）12/27/202212/27/20228282证明：证明：对两边求导，得 其中，另一方面，12/27/202212/27/20228383注：1）对角规范形下，状态已解耦2)两类典型规范形（对角形
25、与能控规范形）之间的 关系：12/27/202212/27/20228484能控规范形：能控规范形：易证：有个互异特征根 上述结论中的可取为12/27/202212/27/20228585 则在坐标变换 下，能控形规范性化为对角形 3)含复特征根时，对角规范形（实数化）不失一般性，只考虑含一对共轭复根的情形 A的实特征根:A的复特征根 12/27/202212/27/20228686变换后的状态：变换后的状态：实状态：共轭复状态：对时间求导12/27/202212/27/20228787替换：得实数化对角规范形12/27/202212/27/20228888 状态方程化为对角线标准型的步骤状态
26、方程化为对角线标准型的步骤状态方程化为对角线标准型的步骤状态方程化为对角线标准型的步骤：1 1）求出系统矩阵）求出系统矩阵A A的所有特征值。的所有特征值。3 3）由变换矩阵由变换矩阵P P和矩阵和矩阵A A，B B，C C求出求出 ，其中对，其中对 角阵角阵 可以由特征值直接写出。可以由特征值直接写出。2)对于每个特征值，计算其特征向量。并由此组成对于每个特征值，计算其特征向量。并由此组成 非奇异变换阵非奇异变换阵P。12/27/202212/27/20228989 例例例例 线性定常系统线性定常系统 ，其中：，其中：将此状态方程化为对角线标准型将此状态方程化为对角线标准型.当当 时，时，2
27、)2)确定非奇异矩阵确定非奇异矩阵P P 解解解解:1)1)求其特征值求其特征值:12/27/202212/27/20229090取取:当当 时，时，取取:同理当同理当 时，时，得得:12/27/202212/27/202291913 3）求）求对角线标准型为：对角线标准型为：12/27/202212/27/202292923.3.特征根含重根的情形特征根含重根的情形考虑系统：设特征根为：代数重数 几何重数 这里12/27/202212/27/20229393相应于特征值的广义特征向量所组成的变换矩阵为Q(可逆)结论结论2.5 2.5 重特征根时约当规范形重特征根时约当规范形 在坐标变换在坐标
28、变换 下，系统下，系统 变为变为其中，其中，为相应于特征根为相应于特征根 的约当块，且的约当块，且 可进一步表可进一步表示为示为 个小约当块组成的块对角矩阵个小约当块组成的块对角矩阵:12/27/202212/27/20229494 证明：略。说明说明说明说明：对角线标准形：各状态变量间是完全解耦的。对角线标准形：各状态变量间是完全解耦的。约当标准形：各状态变量间最简单的耦合形约当标准形：各状态变量间最简单的耦合形 式，每个变量至多和下一个变量有关联。式，每个变量至多和下一个变量有关联。12/27/202212/27/20229595 阵的求法分为两块，一块是互异部分；另一块是重根部分。阵的求
29、法分为两块，一块是互异部分；另一块是重根部分。则则 的求法为：的求法为：由此求得：由此求得：Q的求解步骤的求解步骤假设系统有假设系统有m重特征根重特征根 ，其余为，其余为n-m个互异特征根，则个互异特征根，则上式中，上式中，为重根对应的特征向量；为重根对应的特征向量；为互异特征根对应的特征向量。为互异特征根对应的特征向量。设：设：12/27/202212/27/20229696状态方程化为约当标准形的步骤：状态方程化为约当标准形的步骤：状态方程化为约当标准形的步骤：状态方程化为约当标准形的步骤：1 1）先求出系统矩阵先求出系统矩阵A A的所有特征值。的所有特征值。2 2）对于每个特征值，计算其
30、特征向量，对于重特征值，还要对于每个特征值，计算其特征向量，对于重特征值，还要 计算其广义特征向量。并由此组成非奇异变换阵计算其广义特征向量。并由此组成非奇异变换阵 QQ。3 3）由变换矩阵由变换矩阵Q Q和矩阵和矩阵A A，B B，C C求出求出 ，其中约当，其中约当 矩阵矩阵 可以由特征值直接写出，只需求出可以由特征值直接写出，只需求出 即即可可。例例例例 ：线性定常系统状态空间表达式为：线性定常系统状态空间表达式为：将此化为约当标准型将此化为约当标准型.12/27/202212/27/20229797 解解解解:1)1)确定系统特征值确定系统特征值 2)2)确定系统特征向量，得到确定系统
31、特征向量，得到QQ12/27/202212/27/20229898所以：所以：3 3）求求约当标准型为：约当标准型为：，其中其中 如上如上12/27/202212/27/202299992.7 2.7 由状态空间描述导出传递函数矩阵由状态空间描述导出传递函数矩阵、传递函数矩阵、传递函数矩阵、由、由状态空间描述导出传递函数矩阵状态空间描述导出传递函数矩阵、传递函数矩阵的实用算法、传递函数矩阵的实用算法12/27/202212/27/2022100100、传递函数矩阵（、传递函数矩阵（MIMO系统）系统）回顾：SISO系统的传递函数其中，和 分别是零初始条件下输出和输入的拉普拉斯变换。一般可表示为
32、 12/27/202212/27/202210110112/27/202212/27/202210210212/27/202212/27/2022103103注：注：p 传递函数矩阵传递函数矩阵G(sG(s)的（严）真性的（严）真性 严真当且仅当所有的 严真;真当且仅当除严真的元素外至少还有一个是真p 由真由真G(sG(s)导出严真导出严真p G(sG(s)的极点是矩阵的极点是矩阵G(sG(s)的特征多项式的根的特征多项式的根。特征多项式：G(s)所有1阶、2阶，min(p,q)阶子式的最 小公分母。12/27/202212/27/20221041042.2.由状态方程导出传递函数矩阵由状态方
33、程导出传递函数矩阵12/27/202212/27/202210510512/27/202212/27/2022106106注：注：pG(s)的首化特征多项式与的特征多项式相等，当且仅当系统能控能观；否则，G(s)的特征多项式的次数小于的特征多项式次数。p当且仅当系统能控能观时，G(s)的极点与的特征根相同；否则，G(s)的极点集是的特征根集合的子集。结论：结论：传递函数矩阵在线性非奇异（坐标）变换下不变。传递函数矩阵在线性非奇异（坐标）变换下不变。证：证：12/27/202212/27/2022107107 例例例例 求由求由 表述系统的表述系统的G(s)由传递函数阵公式得：由传递函数阵公式得
34、：根据矩阵求逆公式：根据矩阵求逆公式：12/27/202212/27/2022108108求得传递函数阵为：求得传递函数阵为：12/27/202212/27/20221091093.3.G(sG(s)的实用算法的实用算法 结论结论 2.7 算法算法：线性定常系统(A,B,C,D）的传递函数矩阵G(s)可如下计算：其中证明：略（自学）。12/27/202212/27/2022110110例：例：计算计算G(s)(1).计算特征多项式(2).计算Ei12/27/202212/27/2022111111(3).计算G(s)12/27/202212/27/20221121122.8 2.8 线性系统在
35、坐标变换下的特性线性系统在坐标变换下的特性大部分已讲过，其余自学12/27/202212/27/20221131132.9 2.9 组合系统状态空间描述和传递函数矩阵组合系统状态空间描述和传递函数矩阵1.1.由两个或两个以上的子系统按一定方式联接构成由两个或两个以上的子系统按一定方式联接构成的系统称为组合系统。的系统称为组合系统。2.2.组合的基本方式可以分为串联、并联和反馈三种组合的基本方式可以分为串联、并联和反馈三种类型。一个比较复杂的系统，常常是包含几种联类型。一个比较复杂的系统，常常是包含几种联接方式的一个组合系统。接方式的一个组合系统。3.3.本节中，仅就上述三种基本组合方式，分别讨
36、论本节中，仅就上述三种基本组合方式，分别讨论相应的组合系统状态空间描述和传递函数矩阵。相应的组合系统状态空间描述和传递函数矩阵。12/27/202212/27/2022114114子系统并联子系统并联 12/27/202212/27/2022115115结论结论2.13 2.13 并联系统的状态空间描述并联系统的状态空间描述 12/27/202212/27/202211611612/27/202212/27/2022117117结论结论2.14 2.14 多并联系统的状态空间描述多并联系统的状态空间描述 12/27/202212/27/2022118118结论结论2.15 2.15 并联系统的
37、传递函数矩阵并联系统的传递函数矩阵 12/27/202212/27/2022119119子系统串联子系统串联 12/27/202212/27/2022120120结论结论2.16 串联系统的状态空间描述串联系统的状态空间描述12/27/202212/27/202212112112/27/202212/27/2022122122结论结论2.17 2.17 串联系统的传递函数矩阵串联系统的传递函数矩阵 12/27/202212/27/2022123123子系统的反馈联接子系统的反馈联接 12/27/202212/27/2022124124结论结论2.18 输出反馈系统的状态空间描述输出反馈系统的状态空间描述 12/27/202212/27/2022125125结论结论2.19 2.19 输出反馈系统的传递函数矩阵输出反馈系统的传递函数矩阵 12/27/202212/27/202212612612/27/202212/27/2022127127本章小结本章小结12/27/202212/27/2022128128n动态系统分类动态系统分类n状态方程的约当规范形状态方程的约当规范形12/27/202212/27/202212912912/27/202212/27/2022130130