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1、线性系统理论线性系统理论(Linear System Theory)第二章第二章 线性系统状态空间描线性系统状态空间描述述Copyright by Jiang Yanshup 系统模型系统模型是对现实世界中的系统或其部分属性的一个简化是对现实世界中的系统或其部分属性的一个简化描述描述 系统模型的作用：仿真、预测预报、综合和设计控制器系统模型的作用：仿真、预测预报、综合和设计控制器 模型类型的多样性：用数学模型描述、用文字、图表、数据模型类型的多样性：用数学模型描述、用文字、图表、数据或计算机程序表示或计算机程序表示 数学模型的基本性：着重研究可用数学模型描述的一类系统数学模型的基本性：着重研究
2、可用数学模型描述的一类系统 建立数学模型的途径：解析、辨识建立数学模型的途径：解析、辨识 系统建模的准则：在系统模型的简单性和分析结果的准确性系统建模的准则：在系统模型的简单性和分析结果的准确性之间作出适当的折衷。之间作出适当的折衷。线性系统理论线性系统理论研究对象是研究对象是(线性的线性的)模型系统，不模型系统，不是物理系统。是物理系统。系系统统建建模模即即对对系系统统建建立立模模型型,在在系系统统控控制制理理论论中中具具有有基基本本的的重重要要性性。建建模模的的目目的的在在于于深深入入和和定定量量地地揭揭示示系系统统行行为为的的规规律律性性或或因因果果关关系系性性。建建模模的的实实质质是是
3、对对系系统统的的动动态态过过程程即即各各个个变变量量和和参参量量间的关系按照研究需要的角度进行描述。间的关系按照研究需要的角度进行描述。2Copyright by Jiang Yanshup 线性系统的数学模型主要有两种形式：即时间域模型和频线性系统的数学模型主要有两种形式：即时间域模型和频率域模型。率域模型。对应于系统的这两种模型，发展和形成了线性系统理论的两对应于系统的这两种模型，发展和形成了线性系统理论的两类不同方法。类不同方法。p 建立系统的数学模型的基本途径是解析法和实验法。建立系统的数学模型的基本途径是解析法和实验法。p 建模问题是系统研究中的一项非常基本和重要的问题，已建模问题是
4、系统研究中的一项非常基本和重要的问题，已经构成系统理论中的一个独立的分支。经构成系统理论中的一个独立的分支。时间域模型表现为微分方程组或差分方程组，可同时适用于常时间域模型表现为微分方程组或差分方程组，可同时适用于常系数系统和变系数系统。系数系统和变系数系统。频率域模型表现为传递函数和频率响应，只是用于常系数系统。频率域模型表现为传递函数和频率响应，只是用于常系数系统。解析法是通过分析系统的机制直接运用物理原理来建立表征系统动态解析法是通过分析系统的机制直接运用物理原理来建立表征系统动态过程的数学描述。过程的数学描述。实验法是在通过试验区的数据和按照相应准则处理数据的基础上来导实验法是在通过试
5、验区的数据和按照相应准则处理数据的基础上来导出最接近系统实际情况的简化数学描述。出最接近系统实际情况的简化数学描述。系统辨识系统辨识系统辨识系统辨识。3Copyright by Jiang Yanshu本本章章主主要要内内容容2.1 2.1 状态空间的基本概念状态空间的基本概念状态空间的基本概念状态空间的基本概念 2.2 2.2 系统的状态空间模型系统的状态空间模型系统的状态空间模型系统的状态空间模型2.3 2.3 控制系统的实现控制系统的实现控制系统的实现控制系统的实现2.4 2.4 状态方程的规范形式状态方程的规范形式状态方程的规范形式状态方程的规范形式2.5 2.5 由状态空间描述导出系
6、统输入由状态空间描述导出系统输入由状态空间描述导出系统输入由状态空间描述导出系统输入-输出描述输出描述输出描述输出描述2.6 2.6 组合系统的状态空间描述和传递函数矩阵组合系统的状态空间描述和传递函数矩阵组合系统的状态空间描述和传递函数矩阵组合系统的状态空间描述和传递函数矩阵2.7 2.7 离散系统的状态空间模型离散系统的状态空间模型离散系统的状态空间模型离散系统的状态空间模型第二章第二章 线性系统的状态空间描述线性系统的状态空间描述p 状状态态空空间间方方法法是是基基于于状状态态空空间间模模型型对对自自动动控控制制系系统统进进行行分分析析与与设设计计的的一一种种方方法法。状状态态空空间间模
7、模型型描描述述了了系系统统内内部部状状态态和和系系统统输输入入、输输出出之之间间的的关关系系，比比输输入入输输出出模模型型更更深深入入地地揭揭示示了了系系统统的动态特性。的动态特性。p 本本章章首首先先介介绍绍状状态态的的概概念念以以及及状状态态空空间间模模型型的的建建立立方方法法，然然后介绍系统状态空间模型的实现，为系统分析与设计奠定基础。后介绍系统状态空间模型的实现，为系统分析与设计奠定基础。4Copyright by Jiang Yanshu系统的系统的 p 维控制输入变量维控制输入变量系统的系统的 n 维状态变量维状态变量系统的系统的 q 维测量输出变量维测量输出变量符符号号说说明明：
8、一一个个动动态态系系统统,它它是是由由相相互互制制约约和和相相互互作作用用的的一一些些部部分分所所组组成成的的一一个个整整体体,习习惯惯地地采采用用如如下下图图所所示示的的一一个个方方块块来表征。方块以外的部分称为来表征。方块以外的部分称为系统环境系统环境。环环境境对对系系统统的的作作用用称称为为系系统统输入输入，属于，属于外部变量外部变量系系统统对对环环境境的的作作用用称称为为系系统统输出输出，属于，属于外部变量外部变量用用以以刻刻画画系系统统在在每每个个时时刻刻所所处处态态势势的的变变量称为量称为系统状态系统状态，属于，属于内部变量内部变量系统的方块图表示及其变量系统的方块图表示及其变量符
9、号写法规定：符号写法规定：分量，时间量，标量分量，时间量，标量 -小写字母小写字母 向量向量 -小写字母加小写字母加粗粗 矩阵矩阵 -大写字母加大写字母加粗粗5Copyright by Jiang Yanshup 状状态态：是是描描述述系系统统运运动动行行为为的的一一些些信信息息集集合合，在在已已知知未未来来外外部部输输入入的的情情况况下下，这这些些信信息息对对于于确确定定系系统统未未来来的的行行为为是是充充分分且且必必要的。包含了系统的过去、现在和将来的状况。要的。包含了系统的过去、现在和将来的状况。2.1 状态空间的基本概念状态空间的基本概念 p 状态变量：状态变量：能够能够完全表征完全表
10、征完全表征完全表征系统运动状态的系统运动状态的最小变量组。最小变量组。最小变量组。最小变量组。表示为表示为表示为表示为完全表征完全表征完全表征完全表征：(1)表示系统表示系统 时刻的状态时刻的状态(2)当当 时的输入时的输入 给定，且上述初始状态确定时，状态变给定，且上述初始状态确定时，状态变量能够完全确定系统在量能够完全确定系统在 时的行为。时的行为。最最最最小小小小变变变变量量量量组组组组：意意味味着着这这组组变变量量是是互互相相独独立立的的。减减少少变变量量，描描述述不不完完整整，增增加加则则一定存在线性相关的变量，毫无必要。在数学上又称最大线性无关变量组。一定存在线性相关的变量，毫无必
11、要。在数学上又称最大线性无关变量组。系系统统的的状状态态由由描描述述系系统统内内部部动动态态行行为为特特征征的的变变量量表表示示。随随着着时时间间的的推推移移，系系统统会会不不断断演演化化。导导致致系系统统状状态态和和演演化化进进程程发发生生变变化化的的主主要要因因素素，包包括括外外部部环环境境的的影影响响，内内部部组组成成的的相相互互作作用用，以以及及人人为为的控制作用等。的控制作用等。该最小变量组中状态变量的个数称为系统的阶数。该最小变量组中状态变量的个数称为系统的阶数。6Copyright by Jiang Yanshu状态变量的特点：状态变量的特点：(1)独立性独立性：状态变量之间线性
12、独立；：状态变量之间线性独立；(2)多多样样性性：系系统统中中线线性性无无关关的的变变量量数数总总小小于于系系统统的的变变量量个个数数，使使状状态态变变量量的的选选取取并并不不唯唯一一，实实际际上上存存在在着着无无穷穷多多种种方方案案；即即可可用用某某一一组，也可用另一组数目最少的变量。组，也可用另一组数目最少的变量。(3)等价性等价性：任意选取的两个状态变量组之间只差一个非奇异变换；：任意选取的两个状态变量组之间只差一个非奇异变换；(4)现实性现实性：状态变量通常取为含义明确的物理量；：状态变量通常取为含义明确的物理量；(5)抽象性抽象性：状态变量可以没有直观的物理意义。状态变量可以没有直观
13、的物理意义。非奇异矩阵非奇异矩阵：n 阶阶方阵方阵 A 的行列式的行列式|A|是否等于是否等于0，若等于，若等于0，称矩阵，称矩阵 A 为奇异矩阵；为奇异矩阵；若不等于若不等于0，称矩阵，称矩阵 A 为非奇异矩阵。为非奇异矩阵。线性非奇异变换线性非奇异变换：即当前的矩阵或者向量乘以一个：即当前的矩阵或者向量乘以一个非奇异矩阵非奇异矩阵。(相当于坐标变换相当于坐标变换)线性相关线性相关：一个向量组：一个向量组 ，存在一组不全为零的数，存在一组不全为零的数 ，使得，使得 成立，则称这组向量线性相关。成立，则称这组向量线性相关。即这组向量中至少有一个向量可以用其余向量表示。即这组向量中至少有一个向量
14、可以用其余向量表示。线性无关线性无关：如果这个向量组中的任何向量都不能由其余向量线性表示，即它们之间：如果这个向量组中的任何向量都不能由其余向量线性表示，即它们之间不存在相互依赖的关系，称这个向量组线性无关。不存在相互依赖的关系，称这个向量组线性无关。7Copyright by Jiang Yanshu当当系系统统能能用用最最少少的的n个个状状态态变变量量 完完全全确确定定系系统统状状态态时时，则则把把这这n个个状状态态变变量量看看作作列列向向量量 的的分分量量，则则 称称为为状状态态向向量量，简称状态。记为简称状态。记为 上标上标T为矩阵转置记号。为矩阵转置记号。若状态向量由若状态向量由n个
15、分量组成，则称个分量组成，则称n维状态向量维状态向量。一旦给定一旦给定 时的初始状态向量时的初始状态向量 及及 的输入向量的输入向量 ，则，则 的状态由状态向量的状态由状态向量 唯一确唯一确定。定。p 状态向量状态向量 8Copyright by Jiang Yanshu(3)初初始始时时刻刻 的的状状态态 在在状状态态空空间间中中为为一一初初始始点点；随随着着时时间间推推移移，系系统统状状态态在在变变化化，便便在在状状态态空间中描绘出一条轨迹，称空间中描绘出一条轨迹，称状态轨迹状态轨迹。(2)状状态态向向量量的的端端点点在在状状态态空空间间中中的的位位置置，代代表表系系统统在在某某一一时时刻
16、刻的的运运动动状状态。因此，系统在任一时刻的状态由状态空间中一点表示，例如态。因此，系统在任一时刻的状态由状态空间中一点表示，例如 二阶系统的状态可由二阶系统的状态可由 轴、轴、轴组成的状态平面轴组成的状态平面(即相平面即相平面)中一点表示；中一点表示；三阶系统的状态可由三阶系统的状态可由 轴、轴、轴、轴、轴组成的三维状态空间中一点来表示；轴组成的三维状态空间中一点来表示；n阶系统的状态则由阶系统的状态则由 轴组成的轴组成的n维状态空间中一点来表示。维状态空间中一点来表示。p 状态空间：状态空间：以状态变量以状态变量 为坐标轴构成为坐标轴构成的的n维正交空间。维正交空间。(1)状状态态空空间间
17、的的维维数数等等同同于于状状态态变变量量的的维维数数；以以n个个状状态态变变量量作作为为坐坐标标轴轴所所组组成成的的n维维空空间间称称状态空间。状态空间。说明：说明：9Copyright by Jiang Yanshup 状态方程状态方程 状状态态变变量量的的一一阶阶导导数数与与状状态态变变量量、输输入入变变量量关关系系的的数数学学表达式称为状态方程。表达式称为状态方程。状状态态方方程程是是用用于于描描述述系系统统中中状状态态变变量量与与输输入入变变量量之之间间关关系系的的一阶一阶微分方程组或差分方程组。微分方程组或差分方程组。状态方程也反映了每个状态变量对时间的变化关系。状态方程也反映了每个
18、状态变量对时间的变化关系。状态方程是状态空间分析法的基本数学方程。状态方程是状态空间分析法的基本数学方程。系统的状态方程具有非唯一性。系统的状态方程具有非唯一性。状状态态方方程程描描述述的的是是系系统统动动态态特特性性，其其决决定定系系统统状状态态变变量量的的动态变化。动态变化。fi 是线性或非线性函数。是线性或非线性函数。10Copyright by Jiang Yanshup 状态空间表达式状态空间表达式 状状态态方方程程、输输出出方方程程的的组组合合称称为为状状态态空空间间表表达达式式，简简称称动动态态方程。用于表示线性系统的状态空间模型。方程。用于表示线性系统的状态空间模型。状状态态空
19、空间间模模型型是是应应用用状状态态空空间间分分析析法法对对动动态态系系统统所所建建立立的的一一种种数数学模型，它是应用线性系统理论对系统进行分析和综合的基础。学模型，它是应用线性系统理论对系统进行分析和综合的基础。状状态态空空间间法法用用状状态态方方程程、输输出出方方程程来来表表达达输输入入输输出出关关系系，提提示示了系统内部状态对系统性能的影响。了系统内部状态对系统性能的影响。p 输出方程输出方程 系系统统输输出出量量与与状状态态变变量量、输输入入变变量量关关系系的的数数学学表表达达式式称称输出方程。输出方程。j 是线性或非线性函数。是线性或非线性函数。11Copyright by Jian
20、g Yanshup 状态空间分析法状态空间分析法 以状态向量描述、分析系统性能的方法称为状态空间分析法。以状态向量描述、分析系统性能的方法称为状态空间分析法。u 它具有下列优越之处：它具有下列优越之处：便于在数字计算机上求解；便于在数字计算机上求解；容易考虑初始条件；容易考虑初始条件；能了解并利用处于系统内部的状态信息；能了解并利用处于系统内部的状态信息；数学描述简化；数学描述简化；适适于于描描述述多多输输入入-多多输输出出、时时变变、非非线线性性、随随机机、离离散散等等各各类类系系统统，是是最优控制、最优估计、辨识、自适应控制等现代控制系统的基本描述方法。最优控制、最优估计、辨识、自适应控制
21、等现代控制系统的基本描述方法。倒立摆控制系统倒立摆控制系统航天器控制系统航天器控制系统机器人控制系统机器人控制系统导弹控制系统导弹控制系统12Copyright by Jiang Yanshu建立方法建立方法：通过系统的物理模型建立动态方程：通过系统的物理模型建立动态方程适用对象：系统结构和参数已知。适用对象：系统结构和参数已知。核心问题：合理选择系统的状态变量核心问题：合理选择系统的状态变量状态变量的选择规则：状态变量的选择规则：注意事项：注意事项：选择系统中储能元件的输出物理量作为状态变量选择系统中储能元件的输出物理量作为状态变量 选择系统的输出及其各阶导数作为状态变量选择系统的输出及其各
22、阶导数作为状态变量 选择能使状态方程成为某种标准形式的变量作为状态变量选择能使状态方程成为某种标准形式的变量作为状态变量 同一系统选择状态变量不同，则其空间表达式不同；同一系统选择状态变量不同，则其空间表达式不同；两个不同的系统，其状态空间表达式有可能相同。两个不同的系统，其状态空间表达式有可能相同。描描述述系系统统输输入入、输输出出和和状状态态变变量量之之间间关关系系的的方方程程组组称称为为系系统统的的状状态态空空间间描描述述(动动态态方方程程或或运运动动方方程程)，包包括括状状态态方方程程(描描述述输输入入和和状状态态变变量量之之间间的的关关系系)和和输输出出方方程程(描描述述输输出出和和
23、输输入入、状态变量之间的关系状态变量之间的关系)。2.2 系统的状态空间模型系统的状态空间模型 13Copyright by Jiang Yanshu【例例】求图示求图示RLC回路的状态空间表达式回路的状态空间表达式建立方法：建立方法：1、根据物理定律建立系统的物理模型。、根据物理定律建立系统的物理模型。2、选选择择系系统统中中储储能能元元件件的的输输出出作作为为状状态态变变量量，将将物物理理模模型型转转化为状态方程和输出方程。化为状态方程和输出方程。14Copyright by Jiang Yanshu2)根据基尔霍夫定律，列写电路原始回路方程，并转化为一阶微分方程：根据基尔霍夫定律，列写电
24、路原始回路方程，并转化为一阶微分方程：整整理理方方法法：将将状状态态变变量量的的一一次次导导数数看看成成待待定定量量，并并运运用用按按代代数数方方程程组组的的求求解解方方法法，通过求解上述连立方程可得通过求解上述连立方程可得1)选选取取状状态态变变量量：考考虑虑到到给给定定电电路路只只含含有有电电容容 C 和和电电感感 L 两两个个独独立立储储能能元元件件,可可知知系系统统有有且且仅仅有有两两个个线线性性无无关关的的内内部部变变量量。基基此此,不不妨妨选选取取电电路路中中独独立立储储能能元元件件的的变变量量组组即即电电容容端端电电压压 和和流流经经电电感感的的电电流流 作作为为电电路路状状态态
25、变变量量组组。显显然然,和和 必必满满足状态变量定义中所指出的线性无关极大组属性。足状态变量定义中所指出的线性无关极大组属性。15Copyright by Jiang Yanshu3)导出状态方程和输出方程导出状态方程和输出方程 状态方程状态方程输出方程输出方程则输出则输出令令16Copyright by Jiang Yanshu【例例】17Copyright by Jiang Yanshu18Copyright by Jiang Yanshub19Copyright by Jiang YanshuA称系统矩阵称系统矩阵(系数矩阵，状态阵系数矩阵，状态阵)，b称输入矩阵称输入矩阵(在此为列矩阵
26、在此为列矩阵)。式中式中 可写成向量矩阵形式：可写成向量矩阵形式：一般形式的状态方程一般形式的状态方程(SISO线性系统线性系统)：式中常系数式中常系数 与系统特性有关。与系统特性有关。线性系统的状态空间模型的一般形式线性系统的状态空间模型的一般形式 线性系统的状态方程中各个状态变量的导数与状态变量和输入线性系统的状态方程中各个状态变量的导数与状态变量和输入变量都是线性关系，输出变量与状态变量，输入变量也是线性关系。变量都是线性关系，输出变量与状态变量，输入变量也是线性关系。单输入单输入体现在体现在？20Copyright by Jiang Yanshu式中常系数式中常系数 与系统特性有关。与
27、系统特性有关。可写成向量矩阵形式：可写成向量矩阵形式：式式中中 为为输输出出矩矩阵阵(在在此此为为行行矩矩阵阵)，d 为为直直接接联联系系输入量、输出量的前向传递输入量、输出量的前向传递(前馈前馈)系数，又称前馈系数。系数，又称前馈系数。单输出定常连续系统的输出方程一般形式为：单输出定常连续系统的输出方程一般形式为：单输入单输出系统动态方程一般形式为：单输入单输出系统动态方程一般形式为：式中式中 x 为为 n 维状态向量，维状态向量，u 与与 y 为标量，为标量，A为为n阶方阵，阶方阵，b为为 向量，向量，c 为为 向量，向量，d 为标量。为标量。单输出单输出体现在体现在？21Copyrigh
28、t by Jiang Yanshu多输入线性定常连续系统的状态方程一般表达式为：多输入线性定常连续系统的状态方程一般表达式为：其向量矩阵形式为其向量矩阵形式为 式中式中u为为p维列向量，维列向量，B为为 输入矩阵，或称控制系数矩阵，输入矩阵，或称控制系数矩阵，有有22Copyright by Jiang Yanshu其向量矩阵形式为其向量矩阵形式为式中式中C 称为称为 输出矩阵，输出矩阵，D 称为称为 前馈矩阵。前馈矩阵。多输入多输出线性定常连续系统的输出方程一般表达形多输入多输出线性定常连续系统的输出方程一般表达形式为：式为：23Copyright by Jiang Yanshu多输入多输出
29、系统动态方程一般形式为多输入多输出系统动态方程一般形式为式中：式中：x为为 状态向量，状态向量，u为为 输入向量，输入向量，y为为 输出向量。输出向量。简记为简记为A 为为n n维系统状态矩阵，表征各状态变量间的关系；维系统状态矩阵，表征各状态变量间的关系；B 为为n p维系统的输入矩阵，表征输入对每个变量的作用；维系统的输入矩阵，表征输入对每个变量的作用；C 为为q n维系统的输出矩阵，表征输出和每个状态变量的关系；维系统的输出矩阵，表征输出和每个状态变量的关系；D 为为q p维系统的直接转移维系统的直接转移(传输、前馈传输、前馈)矩阵，表征输入对输出矩阵，表征输入对输出的直接传递关系。的直
30、接传递关系。线性时不变系统模型线性时不变系统模型简记为简记为线性时变系统模型线性时变系统模型24Copyright by Jiang YanshuA 表征各状态变量间的关系；表征各状态变量间的关系；B 表征输入对每个变量的作用；表征输入对每个变量的作用；C 表征输出和每个状态变量的关系；表征输出和每个状态变量的关系；D 表征输入对输出的直接传递关系。表征输入对输出的直接传递关系。由于由于 完整地表征了系统动态特性，故有时把一个完整地表征了系统动态特性，故有时把一个指定的动力学系统简称为系统指定的动力学系统简称为系统 。l 状状态态变变量量非非唯唯一一，导导致致矩矩阵阵A,B,C,D非非唯唯一一
31、。状状态态空空间间表表达达式式非非唯唯一一性性，这这是是和和传传递递函函数数明明显显区区别别的的地地方方。同同一一系系统统具具有有不不同同的的状状态态空空间间模模型型，但但是是这这些些状状态态方方程程都都描描述述了了同同一一个个系系统统，因因此此这这些些方方程程本本质质上上是是相相同同的的，它它们们相相互互之之间间可可以以通通过过线线性性变变换换而而得得到到，因因此此这这些些模模型型在在相相似似意意义义下下是是等等价价的的，又又称称等等价价变变换换(变变换换前前后后系系统统的的特特征征值不变值不变)。l 可可以以通通过过线线性性变变换换将将系系统统的的一一般般模模型型变变换换为为简简单单规规范
32、范的的标标准准型型，从而简化系统的分析和设计从而简化系统的分析和设计；线线性性变变换换是是一一种种交交换换基基底底的的坐坐标标变变换换，虽虽然然改改变变了了数数学学模模型型的的形形式式，但但状状态态方方程的特征值不变，所以模型的固有性质不变。程的特征值不变，所以模型的固有性质不变。(P为非奇异常量矩阵，即存在为非奇异常量矩阵，即存在P-1。)25Copyright by Jiang Yanshu 动态方程的结构图表示见下图，各方块的输入输出关系动态方程的结构图表示见下图，各方块的输入输出关系规定为规定为:输出向量输出向量(方块所示矩阵方块所示矩阵)(输入向量输入向量)注意注意:在向量、矩阵的乘
33、法运算中，相乘顺序不允许任意颠倒。在向量、矩阵的乘法运算中，相乘顺序不允许任意颠倒。线性系统的结构图表示线性系统的结构图表示离散时间线性系统离散时间线性系统连续时间线性系统连续时间线性系统A 表征各状态变量间的关系；表征各状态变量间的关系；B 表征输入对每个变量的作用；表征输入对每个变量的作用；C 表征输出和每个状态变量的关系；表征输出和每个状态变量的关系；D 表征输入对输出的直接传递关系。表征输入对输出的直接传递关系。26Copyright by Jiang Yanshup 状状态态空空间间描描述述考考虑虑了了“输输入入-状状态态-输输出出”这这一一过过程程，其其中中它它考考虑虑了了被被经经
34、典典控控制制理理论论的的输输入入-输输出出描描述述所所忽忽略略的的状状态态，因因此此它它揭揭示示了了问问题题的本质，即输入引起状态变化，而状态决定了输出。的本质，即输入引起状态变化，而状态决定了输出。p 输输入入引引起起的的状状态态变变化化是是一一个个运运动动过过程程，数数学学上上表表现现为为向向量量微微分分方方程程，即即状状态态方方程程。状状态态决决定定输输出出是是一一个个变变换换过过程程，数数学学上上表表现现为为变变换换方方程程，即代数方程。即代数方程。p 对对于于给给定定的的系系统统，状状态态变变量量的的选选择择不不唯唯一一，因因此此状状态态方方程程也也不不唯唯一一；通通常常选选择择可可
35、以以测测量量的的物物理理量量作作为为状状态态变变量量；状状态态变变量量可可以以是是有有明明显显物物理理意意义义的的量量，也也可可以以是是没没有有明明显显物物理理意意义义的的量量。状状态态变变量量可可以以是是可可测测的量，也可以是不可测的量。的量，也可以是不可测的量。p 状态变量的个数仅等于系统包含的独立储能元件的个数；状态变量的个数仅等于系统包含的独立储能元件的个数；p 很多系统虽然具有不同的物理特性，但却具有相同形式的数学模型。很多系统虽然具有不同的物理特性，但却具有相同形式的数学模型。p 对于结构和参数未知的系统通常只能通过对于结构和参数未知的系统通常只能通过辨识辨识辨识辨识的途径建立状态
36、方程。的途径建立状态方程。p 状状态态空空间间分分析析法法是是时时域域内内的的一一种种矩矩阵阵运运算算方方法法，特特别别适适合合于于计计算算机机计算。计算。状态空间描述特点：状态空间描述特点：27Copyright by Jiang Yanshu2.3 控制系统的实现控制系统的实现 实实际际物物理理系系统统动动态态方方程程的的建建立立，通通常常是是根根据据所所含含元元件件遵遵循循的的物物理理、化化学学定定律律，列列写写其其微微分分方方程程，选选择择可可以以量量测测的的物物理理量量作作为为状状态态变变量量来来导导出出的的，它它能能反反映映系系统统的的真真实实结结构构特特性性，故故动动态态方方程程
37、可可由由诸诸元元件件的的微微分分方方程程组组或或传传递函数结构图演化而来。不过据此建立的动态方程一般不具有典型形式。递函数结构图演化而来。不过据此建立的动态方程一般不具有典型形式。由由于于系系统统微微分分方方程程或或传传递递函函数数也也是是一一种种线线性性定定常常连连续续系系统统的的通通用用数数学学模模型型，当当其其已已知知时时，可可按按规规定定方方法法导导出出典典型型形形式式的的动动态态方方程程，便便于于建建立立统统一一的的研研究究理理论论，并并揭揭示示系系统统内内部部固固有有的的重重要要结结构构特特性性，下下面面来来分分别别加加以以研研究。究。对对于于给给定定的的系系统统微微分分方方程程或
38、或系系统统传传递递函函数数，寻寻求求对对应应的的动动态态方方程程而而不改变系统的输入不改变系统的输入-输出特性，称此动态方程是系统的一个状态空间实现。输出特性，称此动态方程是系统的一个状态空间实现。由由于于所所选选状状态态变变量量不不同同，其其动动态态方方程程也也不不同同，故故其其实实现现方方法法有有多多种种。为便于揭示系统内部的重要结构特性，导出标准形实现最有意义。为便于揭示系统内部的重要结构特性，导出标准形实现最有意义。从从传传递递函函数数组组成成上上可可看看到到存存在在与与不不存存在在零零、极极点点对对消消两两种种情情况况，这这里里只只研研究究不不存存在在零零、极极点点对对消消的的情情况
39、况，所所求求得得的的动动态态方方程程中中，状状态态变变量量数数目目最最少少，各各矩矩阵阵的的维维数数最最小小，构构造造硬硬件件系系统统时时所所需需积积分分器器个个数数最最少少，故故有有最最小实现小实现之称。之称。28Copyright by Jiang Yanshu一、系统的实现问题一、系统的实现问题p 概概念念：由由系系统统的的外外部部数数学学模模型型确确定定等等价价内内部部数数学学模模型型。即即化输入化输入-输出描述为状态空间描述输出描述为状态空间描述。(微分方程、传递函数或矩阵微分方程、传递函数或矩阵)(状态空间模型状态空间模型)p 本质：本质：根据系统的外部描述构造一个内部结构根据系统
40、的外部描述构造一个内部结构；p 要要求求：既既保保持持外外部部描描述述的的输输入入输输出出关关系系，又又要要将将系系统统的的内内部结构确定下来，故常称为部结构确定下来，故常称为系统的实现问题系统的实现问题。p 本节分析对象：本节分析对象：SISO系统。系统。p 这这里里所所谓谓的的实实现现，是是指指数数学学意意义义上上的的实实现现，不不是是物物理理意意义义上上的的实实现现，也也就就是是说说并并不不是是设设计计一一个个具具有有给给定定数数学学模模型型的的物物理理系系统。统。29Copyright by Jiang Yanshu已知：已知：对于单输入对于单输入-单输出线性时不变系统，其微分方程描述
41、单输出线性时不变系统，其微分方程描述 其传递函数描述其传递函数描述 求：求：其状态空间描述其状态空间描述基本步骤：基本步骤：选取适当的状态变量组；选取适当的状态变量组；确定对应的参数矩阵组确定对应的参数矩阵组 。式中式中 y 为系统输出量，为系统输出量，u 为系统输入量。为系统输入量。二、典型实现二、典型实现式中式中30Copyright by Jiang Yanshu 给定单输入给定单输入-单输出线性时不变系统的输入输出描述，单输出线性时不变系统的输入输出描述，其对应的状态空间描述可按如下两类情况导出：其对应的状态空间描述可按如下两类情况导出：(1)不包含输入函数不包含输入函数 u 的各阶导
42、数的情况的各阶导数的情况 此时输入输出描述为此时输入输出描述为:算法算法1、由微分方程描述导出状态空间描述、由微分方程描述导出状态空间描述 选取状态变量选取状态变量选取状态变量选取状态变量：n阶系统有且仅有阶系统有且仅有n个状态变量。当给定个状态变量。当给定 和和时时的的输输入入时时，系，系统统在在时时的运的运动动就完全确定了。所以可就完全确定了。所以可选选为为系系统统的一的一组组状状态变态变量，并令量，并令 31Copyright by Jiang Yanshu 化方程组化方程组(1)和和(3)为为 的一阶微分方程组。的一阶微分方程组。则则系统的输出表达式为系统的输出表达式为方程(1)方程组
43、(3)方程组(3)32Copyright by Jiang Yanshu 将将方方程程组组(4)改改写写为为向向量量形形式式，即即系统的状态方程，系统的状态方程，为此，令为此，令则式则式(4)可表示为可表示为由方程由方程(5)得输出方程为得输出方程为系系统统矩矩阵阵A特特点点：矩矩阵阵主主对对角角线线上上方方的的第第1个个元元素素为为1，最最下下面面一一行行为为微微分分方方程程系系数数的的负负值值，其其它元素全为它元素全为0。这种矩阵称为。这种矩阵称为友矩阵友矩阵。33Copyright by Jiang Yanshu解：解：选取选取则则34Copyright by Jiang Yanshu(
44、2)包含输入函数导数项的情况包含输入函数导数项的情况 此时输入输出描述为此时输入输出描述为:此时这种情况不能选输出及其导数作为状态变量。因为如果把此时这种情况不能选输出及其导数作为状态变量。因为如果把 作为状态变量，仍如式作为状态变量，仍如式(3)所示，则状态方程为：所示，则状态方程为：选取状态变量：选取状态变量：这时，状态变量中包含了输入信号的导数项，使得当输入信号出现阶跃，状态这时，状态变量中包含了输入信号的导数项，使得当输入信号出现阶跃，状态变量将是不确定的，不满足选择状态变量的要求，因此当微分方程含有输入导变量将是不确定的，不满足选择状态变量的要求，因此当微分方程含有输入导数项时，不能
45、选择数项时，不能选择 作为状态变量。下面介绍一种方法：作为状态变量。下面介绍一种方法：(6)35Copyright by Jiang Yanshu 选选取取状状态态变变量量：考考虑虑到到所所导导出出的的一一阶阶微微分分方方程程组组中中，等等式式右右边边不不应应出出现的导数项，否则就可能使方程组解的存在性和唯一性被破坏。现的导数项，否则就可能使方程组解的存在性和唯一性被破坏。通常可选取输出变量通常可选取输出变量 y 和输入变量和输入变量 u 以及其各阶导数的适当组合得到。以及其各阶导数的适当组合得到。式中，式中，是是n个待定系数。下面个待定系数。下面给给出出 i 求解方法。求解方法。则则(6)则
46、则(8)(7)36Copyright by Jiang Yanshu则则不难看出，式不难看出，式(9)的等式左端相加，即为式的等式左端相加，即为式(6)的等式左边。因此，式的等式左边。因此，式(9)的的等式右端相加，应等于式等式右端相加，应等于式(6)的等式右端，即的等式右端，即(9)整理得整理得(6)对对比等式比等式的系数的系数37Copyright by Jiang Yanshu对对比等式比等式的系数，可得的系数，可得 上式即上式即为为根据根据和和计计算算的关系式。的关系式。及及整理得整理得(6)38Copyright by Jiang Yanshu 导出状态变量的一阶微分方程组和输出表达
47、式。导出状态变量的一阶微分方程组和输出表达式。由式由式(7)得得(10)(7)输出表达式输出表达式39Copyright by Jiang Yanshu其对应的状态空间描述为其对应的状态空间描述为:其中其中 将式将式(10)写成向量形式写成向量形式可见，状态矩阵的最后一行由微分方程系数决定，从低次幂系数到高次幂系可见，状态矩阵的最后一行由微分方程系数决定，从低次幂系数到高次幂系数排列，并加符号。数排列，并加符号。当当 时，可得时，可得代入上式，就可得到微分方程不包含有输入导数项的情况的结果。代入上式，就可得到微分方程不包含有输入导数项的情况的结果。(10)40Copyright by Jian
48、g Yanshu其实现的状态变量图如图所示其实现的状态变量图如图所示41Copyright by Jiang Yanshu由此可得状态方程和输出方程为由此可得状态方程和输出方程为 42Copyright by Jiang Yanshu其实现的状态变量图如图所示其实现的状态变量图如图所示43Copyright by Jiang Yanshu给定单输入给定单输入-单输出线性时不变系统的输入输出描述单输出线性时不变系统的输入输出描述,算法算法2、由输入输出描述导出状态空间描述、由输入输出描述导出状态空间描述式中式中令令式式(12)代入式代入式(11)，有，有(12)(13)(11)为为了直了直观观起
49、起见见，定，定义变义变量量如下如下图图所示。所示。利用长除法，则利用长除法，则44Copyright by Jiang Yanshu由由图图可知可知 (14)(15)将式将式(14)反反转换为转换为微分方程微分方程 (16)这里，定义这里，定义为系统的一个状态变量，为系统的一个状态变量，式式(16)与式与式(1)的不含输入函数的导数情况相当，则相对应，状态变量的不含输入函数的导数情况相当，则相对应，状态变量的选择方法相同，则其余的选择方法相同，则其余n-1个状态变量选为个状态变量选为45Copyright by Jiang Yanshu再由式再由式(16)，可得，可得另一方面，由另一方面，由式
50、式(11)，式，式(13)及式及式(15)，可，可得得将式将式(17)和式和式(18)写成矩写成矩阵阵形式，得形式，得其中其中(17)(18)(19)(15)(16)46Copyright by Jiang Yanshu其中其中(19)式式(19)的系数矩的系数矩阵阵的明的明显显特征是：矩特征是：矩阵阵A的最下面一行的最下面一行为为系系统传递统传递函数特征函数特征多多项项式的系数。特式的系数。特别别当当多项式多项式的系数。因此，又把式的系数。因此，又把式(19)称称为为相伴型状相伴型状态态方程式方程式。此。此时时时，矩阵时，矩阵C中的元素是系统传递函数分子中的元素是系统传递函数分子其中其中(2