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1、 迭代法迭代法 /*Fixed-Point Iteration*/f(x)=0 x=(x)等价变换等价变换f(x)的的根根 (x)的不动点的不动点思思路路从一个初值从一个初值 x0 出发，计算出发，计算 x1=(x0),x2=(x1),xk+1=(xk),若若 收敛，即存在收敛，即存在 x*使得使得 ，且，且 连续，则由连续，则由 可可知知 x*=(x*)，即，即x*是是 的的不动点，也就是不动点，也就是f 的根。的根。So basically we are done!I cant believe its so simple!Whats the problem?Oh yeah?Who tell
2、s you that the method is convergent?简单迭代法(基本迭代法)将非线性方程f(x)=0化为一个同解方程继续称为求解非线性方程的简单迭代法则称迭代法收敛,否则称为发散如果将方程表示为与原方程同解收敛发散例.解:(1)将原方程化为等价方程显然迭代法发散(2)如果将原方程化为等价方程仍取初值x2=0.9644x3=0.9940 x4=0.9990 x5=0.9998x6=1.0000 x7=1.0000依此类推,得已经收敛,故原方程的解为同样的方程不同的迭代格式有不同的结果什么形式的迭代法 能够收敛呢?迭代函数的构造有关定理1.(全局收敛性)证:由条件(1)由根的存
3、在定理,由由微分中值定理因0L1，故当k时，序列xk收敛到x*。证毕.定理1指出,只要因此,当迭代就可以终止,只要构造的迭代函数满足此时虽收敛但不 一定是唯一根注注：定理条件非必要条件，可将定理条件非必要条件，可将a,b缩缩小小定义局部收敛性：定义局部收敛性：设设x*为的为的(x)不动点，若在不动点，若在 x*的某的某 邻邻域域 B()=x|x x*|有有 (x)连续，连续，且且|(x*)|1，则则 x0 B()开始的迭代收敛。开始的迭代收敛。即调整初值可得到收敛的结果。即调整初值可得到收敛的结果。例.用迭代法求方程的近似解,误差小于10-6解:本题迭代函数有两种构造形式因此采用迭代函数d1=
4、0.1000000d2=-0.0105171d3=0.115610-2d4=-0.126510-3d5=0.139010-4d6=-0.150010-5d7=0.100010-6由于|d7|=0.100010-6 110-6因此原方程的解为x7=0.090525x1=0.1000000 x2=0.0894829x3=0.0906391x4=0.0905126x5=0.0905265x6=0.0905250 x7=0.0905251由定理1的结论可以看出,迭代法收敛就越快定义1.不可能直接确定定理2.例.为线性收敛证明:所以例4.至少是平方收敛的由定义注意例4与例3的迭代法是相同的,两例有何区别?证明:令则所以由定理2该迭代法至少是平方收敛的