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1、 6.2 不动点迭代法及其收敛定理 第第6章章 方程与方程组的迭代解法方程与方程组的迭代解法一、迭代法原理-(2)将非线性方程 f(x)=0 化为一个同解方程继续-(3)称(3)式为求解非线性方程(2)的简单迭代法则称迭代法则称迭代法(3)收敛收敛,否则称为发否则称为发散散-(4)例1.解:(1)将原方程化为等价方程显然迭代法发散(2)如果将原方程化为等价方程仍取初值x2=0.9644x3=0.9940 x4=0.9990 x5=0.9998x6=1.0000 x7=1.0000依此类推,得已经收敛,故原方程的解为同样的方程不同的迭代格式有不同的结果什么形式的迭代法 能够收敛呢?迭代函数的构造
2、有关如果将(2)式表示为与方程(2)同解收敛发散定理1.-(5)-(6)-(7)(局部收敛性)迭代过程的收敛性迭代过程的收敛性证:由条件(1)由根的存在定理,证:由由微分中值定理证毕.定理1指出,只要构造的迭代函数满足由(6)式,只要因此,当迭代就可以终止,-(8)定义定义1：如果存在 的某个邻域 ，使迭代过程 对于任意初值 均收敛，则称迭代过程 在根 邻近具有局部收敛性。例2.用迭代法求方程的近似解,精确到小数点后6位解:本题迭代函数有两种构造形式因此采用迭代函数d1=0.1000000d2=-0.0105171d3=0.1156e-002d4=-0.1265e-003d5=0.1390e-
3、004d6=-0.1500e-005d7=0.1000e-006由于|d7|=0.1000e-0061),则利用m构造新的迭代公式:此时,至少2阶收敛.不实用:m往往不确定.方法二方法二.取 ,再对函数F(x)用Newton迭代:此时,X*为F(x)的单根,所以是2阶收敛.但要用到二阶导数.6.Newton6.Newton6.Newton6.Newton法的改进法的改进法的改进法的改进(I)-(I)-(I)-(I)-重根情形重根情形重根情形重根情形NewtonNewton迭代法迭代法需要求每个迭代点处的导数需要求每个迭代点处的导数 f(xk)复杂！复杂！这种格式称为这种格式称为简化简化Newt
4、onNewton迭代法迭代法精度稍低精度稍低6.Newton6.Newton6.Newton6.Newton法的改进法的改进法的改进法的改进(II)(II)(II)(II)则则NewtonNewton迭代法变为迭代法变为这种格式称为这种格式称为弦截法弦截法收敛阶约为收敛阶约为1.6181.618 例例例例4 4 用简化用简化Newton法和弦截法解下面方程的根，并和法和弦截法解下面方程的根，并和Newton 迭代法比较迭代法比较 解解解解:由简化由简化Newton法法由弦截法由弦截法由由Newton迭代法迭代法x0=0.5x1=0.3333333333x2=0.3497942387x3=0.3
5、468683325x4=0.3473702799x5=0.3472836048x6=0.3472985550 x7=0.3472959759x8=0.3472964208x9=0.3472963440 x10=0.3472963572x11=0.3472963553x0=0.5;x1=0.4;x2=0.3430962343x3=0.3473897274x4=0.3472965093x5=0.3472963553x6=0.3472963553简化简化Newton法法由弦截法由弦截法要达到精度要达到精度10-8 简化简化Newton法迭代法迭代11次次弦截法迭代弦截法迭代5次次Newton迭代法迭
6、代法迭代迭代4次次x0=0.5;x1=0.3333333333x2=0.3472222222x3=0.3472963532x4=0.3472963553由由Newton迭代法迭代法无论哪种迭代法：无论哪种迭代法：NewtonNewton迭代法迭代法简化简化NewtonNewton法法弦截法弦截法用用NewtonNewton迭代法求解迭代法求解:x0=2x1=-3.54x2=13.95x3=-279.34x4=122017是否收敛均与初值的位置有关是否收敛均与初值的位置有关.例例例例:x0=1x1=-0.5708x2=0.1169x3=-0.0011x4=7.963110-10 x5=0收敛收敛
7、发散发散迭代法的迭代法的迭代法的迭代法的局部收敛性局部收敛性局部收敛性局部收敛性6.Newton6.Newton法的改进法的改进法的改进法的改进(III):(III):牛顿下山法牛顿下山法 一般地说，牛顿法的收敛性依赖于初值 的选取，如果 偏离 较远，则牛顿法可能发散。为了防止发散，通常对迭代过程再附加一项要求，即保证函数值单调下降：满足这项要求的算法称为下山法下山法。牛顿下山法牛顿下山法采用以下迭代公式：其中 称为下山因子。牛顿下山法只有线性收敛牛顿下山法只有线性收敛.例7.解:1.先用Newton迭代法x4=9.70724 x5=6.54091 x6=4.46497 x7=3.13384
8、x8=2.32607 x9=1.90230 x10=1.75248x11=1.73240 x12=1.73205x13=1.73205迭代13次才达到精度要求2.用Newton下山法,结果如下k=0 x0=-0.99 fx0=0.666567k=1 x1=32.505829 f(x)=11416.4 w=0.5 x1=15.757915 f(x)=1288.5 w=0.25 x1=7.383958 f(x)=126.8 w=0.125 x1=3.196979 f(x)=7.69 w=0.0625 x1=1.103489 f(x)=-0.655k=2 x2=4.115071 f(x)=19.1
9、w=0.5 x2=2.60928 f(x)=3.31 w=0.25 x2=1.85638 f(x)=0.27k=3 x3=1.74352 f(x)=0.023k=4 x4=1.73216 f(x)=0.00024k=5 x5=1.73205 f(x)=0.00000k=6 x6=1.73205 f(x)=0.000000故有且由例3.对于Newton迭代法趋于零Newton迭代法也只是线性收敛此时Newton迭代法可能不收敛由定理2，迭代法至少是二阶收敛Steffensen方法 第第6章章 方程与方程组的迭代解法方程与方程组的迭代解法 简单迭代公式的加速简单迭代公式的加速 设 是根 的某个近似值，用迭代公式校正一次得假设 ，则有据此可导出如下加速公式：其一步分为两个环节：迭代:改进:埃特金迭代法求方程的实根定理定理 设序列 线性收敛于x*,则 的Aitken序列 存在,且 即 比 更快收敛于x*.SteffensenSteffensen迭代迭代在Aitken加速法中,只要有三个相邻的点就可以进行家速,即对任意线性收敛序列 构建的.现将其与不 动点迭代 方法结合起来:迭代函数 迭代初始值 迭代序列或写成不动点迭代形式