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1、按Esc键退出返回目录6.4数列的通项与求和按Esc键退出返回目录按Esc键退出返回目录基础梳理自测基础梳理自测考点探究突破考点探究突破按Esc键退出返回目录基础梳理自测基础梳理自测构建能力大厦的奠基石构建能力大厦的奠基石按Esc键退出返回目录数列求和的常用方法1.公式法(1)直接用等差、等比数列的求和公式.(2)掌握一些常见的数列的前n项和.1+2+3+n=;1+3+5+(2n-1)=;2+4+6+2n=;12+22+32+n2=;13+23+33+n3=.知识梳理按Esc键退出返回目录答案：(2)n2n(n+1)按Esc键退出返回目录2.倒序相加法如果一个数列an,与首末两端等“距离”的两
2、项的和相等或等于同一常数,那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法,如数列的前n项和公式即是用此法推导的.答案：等差3.错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n项和即可用此法来求,如数列的前n项和公式就是用此法推导的.答案：等比按Esc键退出返回目录把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和.5.分组转化法把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合,使其转化成等差数列或等比数列,然后由等差、等比数列求和公式求解.6.并项求和法一个数列的前n项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和.形如an=(-1)nf(n
3、)类型,可采用两项合并求解.例如Sn=1002-992+982-972+22-12=(100+99)+(98+97)+(2+1)=5050.4.裂项相消法按Esc键退出返回目录基础自测1.+等于().A.B.C.1-D.3-答案：A按Esc键退出返回目录2.已知数列an的通项公式是an=,其前n项和Sn=,则项数n等于().A.13B.10C.9D.6答案：D按Esc键退出返回目录4.已知数列an的前n项和为Sn且an=n2n,则Sn=.答案：(n-1)2n+1+23.数列(-1)n(2n-1)的前2012项和S2012=().A.-2012B.2012C.-2011D.2011答案：B按Es
4、c键退出返回目录思维拓展利用裂项相消法求和时应注意哪些问题?提示:(1)在把通项裂开后,是否恰好等于相应的两项之差;(2)在正负项抵消后,是否只剩下了第一项和最后一项,或有时前面剩下两项,后面也剩下两项.按Esc键退出返回目录考点探究突破考点探究突破拓展升华思维的加油站拓展升华思维的加油站按Esc键退出返回目录一、分组转化法求和【例1】已知函数f(x)=2x-3x-1,点(n,an)在f(x)的图象上,an的前n项和为Sn.(1)求使an0的n的最大值;(2)求Sn.按Esc键退出返回目录解:(1)依题意an=2n-3n-1,an0,即2n-3n-10.函数f(x)=2x-3x-1在1,2上为
5、减函数,在3,+)上为增函数.当n=3时,23-9-1=-20,2n-3n-10,故q=.由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1,所以a1=.故数列an的通项公式为an=.按Esc键退出返回目录(2)bn=log3a1+log3a2+log3an=-(1+2+n)=-.故=-=-2,+=-2=-.所以数列的前n项和为-.按Esc键退出返回目录方法提炼1.利用裂项相消法求和时,应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项.将通项裂项后,有时候需要调整前面的系数,使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等.2.一般情况如下,若an是等差数列,则=,=.此外根式在分母
6、上时可考虑利用分母有理化相消求和.按Esc键退出返回目录3.常见的拆项公式有:(1)=-;(2)=;(3)=;(4)=;(5)=(-).请做针对训练1按Esc键退出返回目录三、错位相减法求和【例3-1】已知等差数列an和正项等比数列bn,a1=b1=1,a3+a5+a7=9,a7是b3和b7的等比中项.(1)求数列an,bn的通项公式;(2)若cn=2an,求数列cn的前n项和Tn;(3)求使Tn0,b5=4.q4=4.又q0,q=.bn=b1qn-1=.按Esc键退出返回目录(2)cn=2an=(n+1)2n-1,Tn=c1+c2+cn=2+32+422+(n+1)2n-1,2Tn=22+3
7、22+n2n-1+(n+1)2n,-得-Tn=2+21+22+2n-1-(n+1)2n=-(n+1)2n+1=-n2n,Tn=n2n.(3)由Tn52,得n2n52.n2n是递增数列,而当n=3时,323=2452.n的最大值为3.按Esc键退出返回目录【例3-2】已知数列an中,a1=3,点(an,an+1)在直线y=x+2上.(1)求数列an的通项公式;(2)若bn=an3n,求数列bn的前n项和Tn.解:(1)点(an,an+1)在直线y=x+2上,an+1=an+2,即an+1-an=2.数列an是以3为首项,2为公差的等差数列,an=3+2(n-1)=2n+1.按Esc键退出返回目录
8、(2)bn=an3n,bn=(2n+1)3n.Tn=33+532+733+(2n-1)3n-1+(2n+1)3n,3Tn=332+533+(2n-1)3n+(2n+1)3n+1.-得-2Tn=33+2(32+33+3n)-(2n+1)3n+1=9+2-(2n+1)3n+1=-2n3n+1Tn=n3n+1.按Esc键退出返回目录方法提炼1.用错位相减法求和时,应注意(1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形;(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式.2.利用错位相减法求和时,转化为等比数列求和.若公比是个参数(字母),则应先对参数加以讨论,一般情况下分等于1和不等于1两种情况分别求和.请做针对训练3按Esc键退出返回目录本课结束本课结束谢谢谢观看谢观看