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1、选修选修23 第一章第一章 第第5节节二项式定理二项式定理华县咸林中学华县咸林中学 武凤涛武凤涛1、理理解解并并掌掌握握二二项项式式定定理理的的项项数数、系系数数、二二项项式系数、通项的特征，熟记它的展开式式系数、通项的特征，熟记它的展开式2、能够能够运用展开式中的通项求展开式中的特定运用展开式中的通项求展开式中的特定项项学习目标学习目标重点：二项式定理重点：二项式定理难点：二项式定理的应用难点：二项式定理的应用(a+b)2 =a2+2ab+b2(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 那么将那么将(a+b)4 ，(a+b)10 ，(a+b)n 展开展开后，后，它们的它们的各项是什么呢？各
2、项是什么呢？同学们，请大家看下面两个公式这就是我们本节课研究的内容这就是我们本节课研究的内容结论结论：展开式中：展开式中的的各项是从各项是从每个括号每个括号中各取一个字母乘积构成的中各取一个字母乘积构成的.探究发现同学们，你们从中发现了什么？同学们，你们从中发现了什么？(a+b)2(a+b)(a+b)展开后其项的形式为：展开后其项的形式为：a2，ab，b2 下面我们从下面我们从b入手考虑入手考虑恰有1个取b的情况有C21种，则ab前的系数为C21恰有2个取b的情况有C22 种，则b2前的系数为C22每个都不取b的情况有1种，即C20,则a2前的系数为C20(a+b)2 =a2+2ab+b2 C
3、20 a2+C21 ab+C22 b2现在对(a+b)2=a2+2ab+b2进行分析由此得到由此得到尝尝试试二二项项式式定定理理的的发发现现:尝尝试试二二项项式式定定理理的的发发现现:探探求求得得:没有大胆的猜想，就不能有伟大没有大胆的猜想，就不能有伟大的发现和发明。的发现和发明。牛顿牛顿由此可得由此可得 这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做右边的多项式叫做(a+b)n的的 ，其中其中 （r=0,1,2,n）叫做）叫做 ，叫做二项展开式的叫做二项展开式的通项通项，用，用 Tr+1 表示，该项是指展开式的第表示，该项是指展开式的第 项，展开
4、式共有项，展开式共有_个项个项.二项展开式二项展开式二项式系数二项式系数r+1n+1二二 项项 式式 定定 理理通项是通项是二项展开式的特点二项展开式的特点:项数：项数：共共n1项项指数：指数：a按降幂排列，按降幂排列，b按升幂排列按升幂排列，每一项中每一项中a、b的指数和为的指数和为n系数系数:第第r1项的二项式系数项的二项式系数 为为 (r0,1,2,，n）二项式定理的证明二项式定理的证明 数学归纳法数学归纳法证:需要证明证毕判断判断(正确的打正确的打“”，错误的打，错误的打“”)(1)(ab)n展开式中共有展开式中共有n项项()(2)二二项项式式(ab)n与与(ba)n展展开开式式中中第
5、第r1项项相相同同()(4)(ab)n的的展展开开式式中中任任一一项项的的二二项项式式系系数数与与a，b的的取值取值无关无关()开动脑筋，独立完成开动脑筋，独立完成【答案答案】(1)(2)(3)(4)解解:例题讲解例题讲解变式训练变式训练1求求(a2b)4的展开式；的展开式；答案：答案：a48a3b24a2b232ab316b4.解解:第三项的二项式系数为第三项的二项式系数为 第六项的系数为第六项的系数为 解解:第三项的第三项的第三项的第三项的系数系数系数系数第三项的第三项的第三项的第三项的二项式系数二项式系数二项式系数二项式系数实战观摩实战观摩第三项第三项第三项第三项1、运用、运用二项式定理
6、展开二项式二项式定理展开二项式，要记准要记准展开式展开式，对于对于较复杂的二项式较复杂的二项式，应先应先化简再展化简再展开更开更简捷。简捷。2、一定要搞清楚二项展开式中某一项的、一定要搞清楚二项展开式中某一项的系数与二项式系数的区别，通常情况下，系数系数与二项式系数的区别，通常情况下，系数不等于二项式系数，不等于二项式系数，项的系数为项的系数为二项式系数与二项式系数与数字系数的乘积。数字系数的乘积。解：设展开式中的第解：设展开式中的第r+1r+1项为常数项，则：项为常数项，则：由题意可知，由题意可知，故常数项为故常数项为第第7项项常数项即常数项即 项项探究拓展探究拓展 求求 的展开式的展开式中
7、的常数项。中的常数项。规律方法规律方法：求二项展开式中的特定项求二项展开式中的特定项，一般是一般是利用通项公式进行利用通项公式进行，化简通项公式后化简通项公式后，令字令字母的指数符合要求母的指数符合要求(求常数项时求常数项时，指数为零指数为零)。变式训练变式训练2解：由二项展开式的通项知解：由二项展开式的通项知 由二项式系数的定义知，展开式由二项式系数的定义知，展开式中第三项的二项式系数为中第三项的二项式系数为而展开式中第三项的系数为而展开式中第三项的系数为240。我是超人，我要上黑板！我是超人，我要上黑板！求求 展开式展开式中的第三项，并求第三项的二项中的第三项，并求第三项的二项式系数和系数
8、式系数和系数。变式训练变式训练2解：由二项展开式的通项知解：由二项展开式的通项知 由二项式系数的定义知，展开式由二项式系数的定义知，展开式中第三项的二项式系数为中第三项的二项式系数为而展开式中第三项的系数为而展开式中第三项的系数为240。我是超人，我要上黑板！我是超人，我要上黑板！求求 展开式展开式中的第三项，并求第三项的二项中的第三项，并求第三项的二项式系数和系数式系数和系数。变式训练变式训练2解：由二项展开式的通项知解：由二项展开式的通项知 由二项式系数的定义知，展开式由二项式系数的定义知，展开式中第三项的二项式系数为中第三项的二项式系数为而展开式中第三项的系数为而展开式中第三项的系数为2
9、40。我是超人，我要上黑板！我是超人，我要上黑板！求求 展开式展开式中的第三项，并求第三项的二项中的第三项，并求第三项的二项式系数和系数式系数和系数。【答案答案】(1)A(2)20 （3）4走走进进高高考考3.3、若若 展开式的展开式的 常数项为常数项为60，则，则常数常数a的值为的值为_ 该公式所表示的定理叫做二项式定理，该公式所表示的定理叫做二项式定理，右边右边的多项式的多项式叫做叫做 的二项展开式的二项展开式，其其中的中的系数系数 叫做二项式系数。叫做二项式系数。式式中的中的 叫做叫做二项式通项，用二项式通项，用 表示，即通项为展开式的第表示，即通项为展开式的第 项项。本节内容再回顾本节
10、内容再回顾 课堂小结课堂小结1 1.要牢记二项式定理，并能应用其对二项式进行展开。要牢记二项式定理，并能应用其对二项式进行展开。2.2.区别区别二项式系数与项二项式系数与项的的系数。系数。3.3.掌握用通项公式求二项式系数，项的系数掌握用通项公式求二项式系数，项的系数及特定及特定项问题。项问题。（1 1）项数：共项数：共n+1n+1项项,是关于是关于a a与与b b的齐次多项式的齐次多项式（2 2）指数）指数:a:a的指数从的指数从n n逐项递减到逐项递减到0,0,是降幂排列；是降幂排列；b b的指数从的指数从0 0逐项递增到逐项递增到n n，是升幂排列。，是升幂排列。4.二项展开式的特点:俗话说：种瓜得瓜，种豆得豆俗话说：种瓜得瓜，种豆得豆。那么，同学们，你们应该播种什么，那么，同学们，你们应该播种什么，收获什么呢？收获什么呢？本节课我收获了什么？本节课我收获了什么？感悟感悟 分享分享布置作业布置作业1、课本第、课本第25页页1、2、3、4题题2、活页作业（九）、活页作业（九）19题题欢迎各位老师批评指导欢迎各位老师批评指导谢谢，再见！谢谢，再见！