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1、小学四年级奥数第1讲植树问题知识方W在生活中经常会碰到植树类的问题，我们可以把这些生活中的植树类题转化成数学上的植树问题。植树问题主要会有以下几种情形：一、在线段上的植树问题可以分为以下三种情形。1 .如果植树线路的两端都要植树，那么植树的棵数应比要分的段数多1,即:棵数=段数+12 .如果植树线路只有一端要植树，那么植树的棵数和要分的段数相等，即:棵数=段数。3 .如果植树线路的两端都不植树，那么植树的棵数应比要分的段数少1,即:棵数=段数-1。二、在封闭线路上植树，棵数段数相等，即:棵数=段数。三、在方形线路上植树，如果每个顶京都要植树，则棵数=（每边的棵数-1）X边数。重点点拔|【例1】
2、在一条长600米的道路上植树，从头到尾每隔5米栽一棵树，一共可以栽多少？分析这条路共600米，每隔5米栽一棵，600米中共有:600*5=120（段）。因为路两端都要栽树，所以栽树的棵数应该比段数多1,也就是要栽120+1=121（棵）解答6004-5+1=120+1=121（棵）答:可以栽121棵树。【例2】一条马路边，从头开始每隔40米有一根电线杆，一辆汽车在一根电线杆旁开始行驶，5分钟后刚好经过第60根电线杆（起点的那根电线杆不计在内）。汽车每分钟行驶多少米？分析要求汽车每分钟行驶多少米?从题中可以知道：汽车5分钟后刚好经过第60根电线杆，也就是经过60个间隔（因为起点的那根电线杆不计在
3、内），那么每分钟经过60+5=12（个）间隔，每个间隔是40米，这样就可以求出汽车每分钟行驶多少米了。解答60+5=12（个）40X12=480（米）答:汽车每分钟行驶480米。例3从甲地到乙地原来有电线杆51根，每相邻两根之间的距离为12米。现在要减少到41根，相邻两根之间的距离应是多少米?分析甲地到乙地原有51根电线杆，它们之间有50个间隔，因为每相邻两根之同的距离为12米，所以甲地到乙地的距高是50X 12=600米。现在要减少到41根电线杆，就有40个间隔，相邻两根之间的距离为600+40=15（米）。解答（51-1）X12=600（米）600+（41-1）=15（米）答:现在减少到4
4、1根，相邻两根之间的距离是15米。【例4】学校两栋楼之间相距50米，每隔5米栽一棵松树，两栋楼之间能栽多少棵松树？分析我们把两棵松树之间的距离看作一段，两栋楼之间的距离可以分为着干段,即5米为一段,50米应分成的段数是50+5=10（段）。两端不能栽种（因为不能紧挨着楼种树），种树的棵数应该比段数少1。解答50+5-1=9（棵）答:两栋楼之间能栽9棵松树例5一所小学的操场是长方形，在其周围共植树70棵，每两棵树之间的距离是5米。已知这个操场的长是100米，宽是多少米?分析这是一道在方形线路上植树的问题。如果把每两棵树之间看作一段，因为是在方形路上植树，所以段数等于植树棵数，所以段数是70段。这
5、样就可以求出长方形的周长是70X5=350米，长是已知的，这样就可以求出宽。解答70X5=350（米）350+2-100=75（米）答:宽是75米。【例6】为美化环境，市攻府要修建一个周长为2400米的圆形花坛。如果沿着这一圈每隔6米栽1株月季花，再在每相邻的2株月季花之间等距离地栽2株丁香花，可栽月季花多少株?可栽丁香花多少株？分d因为是一个封闭图形，所以栽月季花的株数应该同以6米为一段的段数相等。所以可以载2400+6=400（株）月季花。又因为2株月季花之间的距离就是一段，在这个圆周上有400段，每段种2林丁香花，那么就可以求出丁香花的株数了。解答2400*6=400（株）2X（2400
6、:6）=800（株）答:可以栽月季花400株,可以栽丁香花800株。培忧高才1 .一条小路全长800米，要在路的一旁植树，从头到尾共植树51棵，每两棵树之间相距多少米?2 .一个人在马路上散步，从第一根电线杆走到第六根电线杆用了10分钟。这人走了30分钟，他走过了多少根电线杆？3 .在一个圆形鱼池的周围每隔9米种1棵柳树，一共种了40棵。这个鱼池的周长是多少米4 .车站停有10辆小公共汽车，每隔5分钟发一辆车，第一辆车开出以后，再过多少分钟最后一辆车才能出发？5 .一条马路边，原来每隔30米有一根电线杆，共有112根，现在改成每隔37米有一根电线杆，这样可以节约多少根电线杆？6 .在一个圆形湖
7、的周围筑3600米的大堤，堤上每隔6米栽1棵柳树，然后在相邻的2棵柳树之间栽2棵桃树。大堤上栽的柳树和桃树各多少棵？7 .一座挂钟，走到几点就敲几下，4点的时候，敲完4下，用了6秒，10点的时候敲完10下，要用多少秒？8 .在一个正方形池塘四周植树，四个顶点各植一棵树，这样每边都植了10棵树。四周共植多少棵树？9 .两棵松树间相距180米，计划在两棵松树间补栽小柳树17棵,使得所有树中每两棵树之间间隔相等，间隔是多少米？10 .甲、乙两人在长1000米的公路两旁栽树，每隔10米栽一棵,又知甲比乙多栽14棵，甲、乙两人各栽树多少棵?（头尾都栽）11 .张叔叔要在一个长50米、宽30米的长方形水池
8、旁植树，从一个顶点开始，每隔10米植一棵树，一共可以植多少棵树？12 .小明和小亮在一条人行道上比赛竞走，两人同时从同一棵树旁开始竞走，4分钟后，用到管13棵树旁，小喜走到第10棵树旁若两棵树之间的距离是20米，小明每分钟比小亮多走多少米？小学四年级奥数第2讲速算与巧算知识方H我们已经学过了加法交换律、加法结合律及乘法交换律、乘法交换律、乘法分配律等运算定律，这些定律在学习中经常会用到这就需要我们首先要掌握好这几个定律，在经常练习的基础之上，巧秒地运用运算定律和性质，可以把较复杂的计算转化为简单的计算，使得计算正确而迅速。重点点次【例1】计算:598-65-35分析如果按照运算顺序进行计算显然
9、比较麻烦。这里我们可以利用减法的性质:从一个数里连续减去几个数，等于从这个数里减去这几个数的和。因为65与35的和刚好等于整百数，所以这题可以先用65与35相加，得到100再用598减去100,这样计算非常简便。解答598-65-35=598-(65+35)=598-100减法的性质:a-b-c=a-(b+c)【例2】计算:8X42X125分析这题是三个数连乘，可以按照从左到右的顺序进行计算,这样也能求出结果，但比较麻烦。今后碰到这样的题目，在动笔计算之前，可以先研究一下，你就会发现把8与125先相乘，计算会非常简便。解答8X42X125=8X125X42=1000X42=42000这里运用了
10、乘法交换律使得计算更加简便。例3计算:780025+4分析在除法里有这样一种性质，“一个数连续除以几个数，可以先把这几个数相乘，再用这个数去除以后面几个数的，结果不变”这题我们可以先把25与4相乘，再用7800除以它们的积，这样计算起来会非常简便。解答78004-254-4=78004-(25X4)=78004-100=78除法的性质是:a + b + c=a+:(bXc)。例4计算:85X27+85X74-85分析这题看起来有点复杂，因为它不是典型的乘法分配律的运用。但仔细观察这其中也蕴藏着规律，85也可以看成85X1,这样我们可以利用乘法分配律，提取公因数85进行计算。解答85 X 27+
11、85 X 74-85=85X27+85X74-85X1=85X(27+74-1)=85X100=8500【例5】计算321321X789-789789X321分析观察这个算式，感觉无法下手。如果我们把321321这个数进行分解，你就会发现其中的规律，321321=321X1001o同样的道理789789也可以写成789与1001相乘的形式。再观察被减数与减数,就会发现它们所包含的因数相同，因此这题的结果为0。解答321321X 789-789789 X 321=321X 1001X 789-789 X 321X 1001=0【例6】计算:1999+999X999分析我们可以把1999拆成100
12、0与999相加，再观察999 X 999,实际是999个999,如果与前面的999合在一起，就变成了1000个999,这样计算起来就很简便。解答1999+999X999=1000+999+999X999=1000+999X1000=1000X(999+1)=1000000培优高事1.(1)995-166-342.4X9X253.(1)3604-84-5(2)6304-354.(1)125X103-3756.19999+9999X99997.125X5X32X58.63630+9+79.72004-254-411.999X1111+3333X666712.99999X84-111111小学四年级
13、奥数第3讲因数和倍数知识方函因为5X6=30,我们就说30是5的倍数，30也是6的倍数，5和6都是30的因数。一个数只有1和它本身两个因数，这样的数叫做素数（或质数）。一个数除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。如果一个数是2的倍数，我们就说这个数是偶数，不是2的倍数叫奇数。奇偶数的性质:1个奇数土 1个奇数=偶数1个奇数XI个奇数=奇数1个偶数土 1个偶数=偶数重点点拔I1个奇数士1个偶数=奇数1个奇数XI个偶数=偶数1个偶数XI个偶数=偶数【例1】2016个连续自然数相加，和是奇数还是偶数?为什么？分析和的奇偶性与2016个数中奇数和偶数的个数有关联。根据奇偶数的性质便可判断。解答
14、在2016个连续自然数中，有1008个偶数，它们相加的和是偶数;在2016个连续自然数中，有1008个奇数，它们相加的和也是偶数。所以2016个连续自然数相加的和是偶数。【例2】两个素数的和是99,这两个素数的积是多少？分析素数中除去2以外都是奇数，两个奇数相加的和一定是偶数。而题目中告诉我们两个素数相加的和是99,那其中必定有一个素数是2,那另外一个素数一定是97。解答99=97+297X2=194答:两个素数的和是99,这两个素数的积是194例3一个数是40的因数，同时又是5的倍数，这个数可能是多少？分析这个数一定在5与40之间。一个数是5的倍数，它的个位一定是。或5。在这些数中，再找到4
15、0的因数，这个数就是我们要找的数。解答40以内5的倍数有5,10,15,20,25,30,35,40,这些数中40的因数有5,10,20,40o答:一个数是40的因数，同时又是5的倍数，这个数可能是5,10,20,40o【例4】一个四位数3A4B是2,3,5的倍数，这样的四位数有哪几个？分H 一个数同时是2,5的倍数，这个数的个位一定是0,因此可以确定B=0。当B确定以后，再考虑是3的倍数的情况，一个数要是3的倍数，这个数各个数字相加的和一定是3的倍数。3+A+4+0=7+A, A 可以是2,5,8。解答一个数同时是2,5的倍数，B肯定等于0。3+A+4+0=7+A, A可以是2,5,8o这时
16、所求的四位数为3240,3540,3840。答：】一个四位数3A4B是2,3,5的倍数，这样的四位数有3240,3540,3840【例5】从写有7,1,4,6,。的五张卡片中取出四张，组成若干个是3的倍数的四位数，共有多少个？分析根据3的倍数特征确定应从7,1,4,6,0的五张卡片中取出哪四张，加起来的和是3的倍数，然后再将所选四个数按一定的顺序排列最后再求出是3的倍数的所有四位数的个数。解答7+1+4+6=18,这四个数组成的四位数有24个；7+1+4+0=12,这四个数组成的四位数有18个24+18=42（个）答:一共有42个【例6】有一列数1,1,2,3,1,8,13,21,从第三个数开
17、始，每个数都是前两个数的和。在前2015个数中，有多少个偶数?分析要求出这组数中有多少个偶数，我们可以先写出一些数1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,认真观察可以发现，这些数的排列是有一定规律的，它们的奇偶性是这样的:奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶，也就是说每三个数为一组，前两个数是奇数，第三个是偶数，这样间题就很容易解决了。解答20154-3=6712答:在前2015个数中,有671个偶数培优高手|1.2020个连续自然数相加，和是奇数还是偶数?为什么？2.三个不同素数的和是16,这三个素数分别是多少?3.一个五位数7A36B是2,3,5的倍数，这个数可能是多少?4.一
18、个数是30的因数，又是3的倍数，这个数可能是几?5.从0,1,2,9四张卡片中选出3个数字组成三位数，其中是3的倍数的三位数，一共有多少个?最小的一个是多少？6.有一列数0,1,3,8,21,55,144,，从第二个数开始,每个数的3倍正好是它前边一个数和后面一个数的和，则这列数中的第2013个数是奇数还是偶数？7.1+2+3+4+5+-+2013+2014的结果是奇数还是偶数?8.2015个连续自然数（0除外）相乘的积是奇数还是偶数?9.边长为自然数，面积为165的形状不同的长方形有多少个?10.已知X是素数，而且X+4, X+6, X+10都是素数，那么X最小是几？1L用2,3,4,5这其
19、中的三个数能组成哪些三位数的素数?12.从2,5,6,7,0这五张卡片中取出四张，组成若干个是3的倍数的四位数，一共有多少个?最大的一个是多少?小学四年级奥数第4讲乘法原理和加法原理知识方浦在现实生活中，经常要将两种或两种以上的事物进行搭配。如果完成一件工作有几种不同的方法，每种方法又有很多种不同的方法，而且这些方法彼此互斥，那么完成这件工作的方法总数就是等于各类完成这件工作的综合。这种方法我们称之为加法原理，也叫分类计数原理。如果完成一件工作需要很多步骤，每个步骤中又有很多种不同的方法，那么完成这件工作的方法，就是把每一个步骤中的不同方法连乘起来。这种方法我们称之为乘法原理,又叫做分步计数原
20、理。重点点次【例1】小军、小兰和小红三个小朋友排成一排照相，有多少种不同的排法？分析我们可以把他们所排列的位置分为一、二、三号位。把他们的排列分成三个步骤。从一号位开始可以有三个选择，这时二号位只能有两个选择（因为一号位已经站了一个人），这时三号位只能有一个选择。这样我们可以根据乘法原理进行解决。解答2 X 3=6（种）答:有6种不同的排法【例2】书架上有5本不同的科技书，6本不同的故事书，8本不同的英语书。如果从中各取一本科技书、一本故事书和一本英语书，那么共有多少种取法？分析完成这件工作可以分三步完成，第一步取科技书有5种取法，再取一本故事书有6种取法，最后取一本英语书有8种取法，根据乘法
21、原理可以求出所有的取法。解答56X8=240（种）答:共有240种取法。【例3】一个盒子里装有5个小球，另一个盒子里装有9个小球，所有这些小球颜色各不相同。（1）从两个盒子任取一个小球，有多少种不同的取法？（2）从两个盒子里各取个球，有多少种不同的取法？分.（1）从两个盒子里任取一个球，可以从第一个金子里取，也可以从第二个盒子里取，这是两大类不同的方法，所以是加法原理的间题。（2）从两个金子里各取一个小球，这要分两个步骤进行。可以先从第一个盒子里取球后，再从第二个盒子里取球，这是乘法原理的问题。解答（1）5+9=14（种）（2）5X9=45（种）答:从两个盒子任取一个小球，有14种不同的取法。
22、从两个盒子里各取一个球，有45种不同的取法。【例4】四个数字3,5,6,8可以组成多少个没有重复数字的四位数？分析要组成四位数，可以分成四个步骤:首先确定千位上的数字有4种选择，接着确定百位上的数字有3种选择，再接着确定十位上的数字有2种选择，最后确定个位上的数字只有1种选择。这样可以借助乘法原理进行解答。解答1X3X2X 1=24（个）答:可以组成24个没有重复数字的四位数。【例5】用4种不同的颜色给下面的图形涂色，使相邻的长方形颜色不相同，有多少种不同的涂法?ABCD分析给图形涂色，我们可以分成四个步骤进行，第一步给A涂色有4种不同的方法，接着给B涂色只能有3种方法（因为与A的颜色不能相同
23、），接着给C涂色只能有2种方法（因为不能与A和B的颜色相同），最后给D涂色也有2种方法（只要不与A和C的颜色相同就行），这样可以借助乘法原理进行解答。解答 IX3X2X2=48（种）答:一共有48种不同的涂法。【例6】南京与上海的动车组特快列车，中途只停靠常州、无锡、苏州三个火车站，共要准备多少种不同的车票？（考虑往返）分析两个站点之间虽然票价相同，但因为起始点不同，就要准备不同的车票。以南京为起点，准备4种不同的票，以常州为起点，往上海方向准备3种不同的票，以无锡为起点，往上海方向准备2种不同的票，以苏州为起点，往上海方向准备1种不同的票。从南京往上海方向，一共要准备4+3+2+1=10（种
24、）不同的票，同理，上海往南京方向，也要准备10种不同的票。解答（l+2+3+4）X 2=20（种）答:一共要准备20种不同的票。想一想：列式4 X 5=20（种）是怎么想的？培优高中1.五一前夕，学校举行亲子活动。玲玲有红、白、黄、花四件上衣和蓝、黄、青共三种颜色的裙子，找出来搭配着穿，她一共有多少种不同的搭配方法？2 .甲、乙、丙三个组，甲组6人，乙组5人，丙组4人，如果从三组中选出一个代表，有多少重不同的选法？3 .有7,3,6三个数字卡片，能组成几个不同的三位数?4 .有6个不同的文具盒，4支不同的铅笔，4支不同的钢笔，2把不同的尺子。若从中各取一个，配成一套学习用具，最多可以有多少种不
25、同的配法？5 .春节期间，有四个小朋友，如果他们互相寄一张节日贺卡，共寄了多少张？6 .有8,0,2,4,6五个数字可以组成几个不同的五位数?7 .一个袋子里装有6个白色乒乓球，另一个袋子里装有8个黄色乒乓球(1)从两个袋子里任取一个乒乓球，共有多少种不同的取法？(2)从两个袋子里各取一个乒乓球，有多少种不同的取法？8 .北京到广州的火车，中间要停靠8个大站，火车站要准备多少种不同的车票?有多少种不同的票价？(考虑往返)9 .有8位同学和1位老师排成一排照相,规定老师必须站在中间,有多少种不同的排注10 .在A、B、C、D四个长方形区域中涂上红、黄、蓝、黑这四种颜色，使任何相邻两个长方形颜色不
26、同，一共有多少种不同的涂法?11 .下图中有多少个长方形?12 .舰船信号兵用红、黄、蓝三面旗从上到下挂在旗杆上表示不同的信号，每次可以任意挂一面、两面、三面，不同的顺序表示不同的信号。一共可以表示出多少种不同的信号？小学四年级奥数第5讲还原法解题知识方W已知一个数的变化过程和最后结果，求原来的数，通常称此类问题叫“还原问题”，解答“还原问题”一般采用倒推法，简单地说:就是倒过来想。解答“还原问题”，我们可以采用从结果出发，按它变化的相反方向一步步倒着想，直到解决问题。同时也可以利用线段图、表格、示意图等方式来帮助理解题意,解答问题。重点点M【例1】甲、乙两桶各有若干升水。如果从甲桶中倒出和乙
27、桶同样多的水放入乙桶，再从乙桶倒出和甲桶同样多的水放人甲桶，这时两桶水恰好都是48升。问:两桶原来各有多少升水？甲桶乙桶60360d3048从最后状态都是48升入手，如果后来乙桶不倒出和甲桶同样多的水放入甲桶，甲桶应有水48+2=24（升），乙桶应有水48+24=72（升）;如果开始不从甲桶倒出和乙桶同样多的水倒入乙桶，乙桶原有水722=36（升），甲桶原有水24+36=60（升）（回到了最初的状态）。解答48+2=24（升）（48+24）+2=36（升）36+24=60（升）答:甲桶原有水60升。乙桶原有水36升。例2班级分得42本故事书，丽丽和明明两人争着去领。丽丽先拿了若干本，明明看丽丽
28、拿得太多了，就从丽丽的手中拿过来10本，丽丽不肯，就又从明明那里夺得6本。这时丽丽的本数是明明的2倍。最初丽丽拿了多少本？丽丽明明22+1020-1028-614+62814分析从最后的状态“丽丽拿的故事书是明明的2倍”可知，丽丽现在拿42+（2+l）X2=28（本），丽丽从明明手中夺了6本后是28本。如果不夺，丽丽应该有28-6=22（本），开始明明看见丽丽拿得太多，就抢了10本；如果不抢,丽丽就有22+10=32（本）。解客424-（2+1） X 2=28（本）28-6+10=32（本）答:最初丽丽拿了32本。【例3】书架分上、中、下三层，一共放192本书。现在从上层取出与中层同样多的书放
29、到中层，再从中层取出与下层同样多的书到下层，最后从下层取出与上层剩下的本数同样多的书放到上层。这时,三层书架所放的本数同样多。这个书架上、中、下原来各有多少本书?分析与解从最后的状态”三层书架所放的本数相同”知道，192+3=64（本）。列表倒推：上中下上层给中层8856中层给下11248下层给上层3296最后状态646464答:这个书架上层原来有88本，中层原来有56本，下层原来有48本。【例4】有一堆西瓜，第一次搬走一半，第二次搬走剩下的一半多3个，第三次搬走剩下的一半少3个，第四次搬走剩下的一半多3个，第五次搬走剩下的一半,最后还剩3个。这堆西瓜原有多少个？分析与解从最后的状态分析列表倒
30、推：最初66X2=132（个）第一次后（30+3）X2=66（个）第二次后（18-3）X2=30（个）第三次后（6+3）X2=18（个）第四次后3X2=6个）第五次后3个答:这堆西瓜最初有132个【例5】袋里有若干个珠子，小军每次拿出其中的一半再放回1个，这样操作了四次后袋中还有5个珠子。问:袋中原来有多少个珠子？分析与解利用列表倒推法，从第四次操作后向前倒推，第四次是5个珠子，第三次是操作后有（5-l）X2=8（个），第二次列表如下：操作次数袋中珠子数初始状态（26-1） X 2=50（个）第一次操作后（14-1） X 2=26（个）第二次操作后（8-1） X 2=14（个）第三次操作后（5
31、-1） X 2=8（个）第四次操作后5（个）答:袋中原来有50个珠子。【例6】甲、乙、丙各有玻璃球若干个，如果甲按乙现有玻璃球个数数给乙，再按丙现有的玻璃球个数数给丙之后，乙也按甲、丙现有的玻璃球个数再数给甲、丙，最后丙也按同样的方法数给甲、乙，这时，他们三人都各有32个玻璃球。问:甲原有多少个玻璃球？分析与解最后一次三人的玻璃球数都是32个，每次变化另两个人都增加了一倍，倒推时就除以2。列表如下：变动情况甲丙初始情况8+28+16=52564-2=28324-2=16甲给乙、丙后164-2=856644-2=32乙给甲、丙后324-2=16324-2=1664丙给甲、乙后323232答:甲原
32、有52个玻璃球。培优高手1 .有甲、乙、丙三个数，从甲数取15加到乙数，再从乙数取18加到丙数，最后从丙数取12加到甲数。这时三个数都是180o甲、乙、丙三个数原来各是多少？2 .有26盒牛奶，兄弟二人争着去拿。弟弟抢在前面，刚装好，哥赶到了，哥哥看弟弟拿得太多，就抢过来一半。弟弟生气，哥哥又给了他4盒，这时哥哥比弟弟多2盒。弟弟最初拿了几盒?（列表倒推法）3 .小明、小华、小冬各有画片若干张。如果小明按小华现有的画片张数数给小华、小半小冬现有的张数数给小冬，最后小冬按小明现有的张数数给小明。这时他们三人名32张画片。小明原来有多少张画片？4 .冰柜里的鸡蛋，第一天拿走了一半少2个，第二天拿走
33、了余下的一半多4个，第三天拿走余下的一半后，最后还剩1个。冰柜里原来有多少个鸡蛋？5 .解放军某部接到抢险任务，因情况有变化，需要从一队抽调一半的人到宣传队，抽调20人去支援二队，抽调剩下的一半去支援三队，后来团部4名通讯员调到一队，这时队有50人。原来一队有多少人？6 .袋子里有若干个球。小军每次拿出其中的一半再放回1个球,这样共操作了5次，袋中还有4个球。问:袋中原来有多少个球？7 .书架分上、中、下三层，各有书若干本。现在从上层取出与中层同样多的书放到中层，再从中层取出与下层同样多的书放到下层，最后从下层取出与上层剩下的本数同样多的书放到上层。这时，三层书架各有48本，这个书架上、中、下
34、层原来各有多少本书？8 .学校运来27棵树苗，四班和四班争着去栽。四班先拿了若干棵，四班看到四班拿的太多了，就夺回4棵，四班不肯，又从四班那里夺回2棵。这时四班棵数是四班的2倍。问:最初四班拿了多少棵?（列表倒推）9 .一种有益的细菌每小时可以增长1倍。现有一批这样的细菌,10小时后达到100万个。当它们达到25万个时，经历了多长时间?10 .猴子吃香蕉，第一天吃了一半又一根，第二天吃了余下的一半又一根，第三天吃了余下的一半又一根，第四天吃了余下的一半又一根。四天后只剩下一根香蕉。间:原来有多少根香蕉？11 .甲、乙、丙三人各有贴画若干，甲先拿出自己的一半平分给乙、丙，然后乙也拿出自己现有的一
35、半平分给甲、丙，最后丙又把自己现有的一半平分给甲、乙。这时三人的贴画数各32张。问:他们三人原来各有多少张贴画?12 .甲、乙、丙各有棋子若干枚，甲先拿出自己棋子的一部分给了乙、丙，使乙、丙每人棋子各增加一倍然后乙也把自己的棋子以这样的方式给了甲、丙；丙也用这样的方式将自己的棋子给了甲、乙。这时3人的棋子都是16枚。问:甲、乙、丙三人原来各有棋子多少枚?小学四年级奥数第6讲抽屉原理知识方函桌上有3个苹果，要把这3个革果放到2个抽屉里，无论怎样放,有的抽屉可以方1个，有的可以放2个，也可以把3个苹果放在1个抽屉里，但最终我们会发现至少有一个抽屉里面至少放2个苹果。这一现象就是我们所说的抽屉原理。
36、根据题目中的条件设想出“抽屉”，并确定抽屉的准确数目，当然抽屉的种类很多，要我们具体问题具体分析；再把题目中的另一个条件当作“苹果”,从而结合抽屉原理求出最终的结果。重点点拨【例1】任意三个自然数，其中至少有两个是偶数或奇数，为什么？分析与解自然数可以分成两类:奇数与偶数。我们把奇数与偶数看成两个“推屉”，把这三个自然数比作三个“苹果”，把三个“苹果”放入两个抽屉，根据抽屉原则，至少有一个抽屉放有两个或两个以上的“苹果”，也就是说至少有两个数是奇数或偶数。【例2】试解释400人中至少有2人的生日相同。分析与解将一年中的366天（间年）视为366个抽屉，400个人看作400个苹果，由抽屉原理可以
37、得知，至少有2人的生日相同。例3五中队第一小队共有14个少先队员，试解释其中至少有2位同学的生肖是相同的。分析与解生肖有:鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊猴、鸡、狗、猪共12个。我们把12个生肖看作12个抽屉，把14个少先队员看作14个苹果，把14个苹果放进12个抽屉中去，至少有一个抽屉放了不止一个苹果，也就是14个队员中至少有2位同学的生肖是相同的。【例4】停车场上有40辆客车，各种车辆的座位数不同，最少的有26座，最多的有44座，那么在这些客车中，至少有几辆客车的座位数是相同的?分析与解已知客车的座位数最少有26座，最多有4座，可知这40辆客车中有26,27,28,，44座共19种不同座位数
38、的客车。把19种座位看作19个抽屉，40辆客车当作40个“苹果”，苹果放进抽屉里，根据抽屉原理，因为40=19X2+2,可知，在这些客车中，至少有3辆客车的座位数是相同的。【例5】篮子里有苹果、梨、桃和橘子，如果每个小朋友都从中任意拿2个水果，那么至少有多少个小朋友，才能保证至少有2个小朋友拿的水果完全一样?分析与解篮子里有苹果、梨、挑和橘子，那么组合成两个水果的情况有:两个苹果两个梨、两个桃、两个橘子、一个苹果和一个梨、一个苹果和一个桃、一个苹果和一个橘子、一个梨和一个桃、一个梨和一个橘子、一个桃和一个橘子，一共有10种情况。把这10种情?兄看作10个抽屉，小朋友看作苹果，要想至少有一个抽屉
39、里有2个苹果，至少要有11个苹果，也就是要有11个小朋友。也就是至少要有11个小朋友，才能保证至少有2个小朋友拿的水果完全一样。例6育英小学六年级的同学要从10名候选人中投票选举三好学生，规定每位同学必须从这10人中任选2人。问:至少有多少人参加投票，才能保证必有不少于5位同学投了相同2个候选人的票。分析从10人中选2人，共有10X9+2=45（种）不同选法。要保证至少有5位同学投了相同候选人的票，至少要45X4+1=181（人）。解答10X9+2=45（种）45X4+1=181（人）答:至少有181人参加投票，才能保证必有不少于5个同学投了相同2个候选人的票。培优高才1 .在任意三个自然数中
40、，其中必然有两个数的和为偶数，为什么?2 .在今年入学的一年级新生中有370多人是在同一年出生的。试说明:他们中至少有2个人是在同一天出生的。3 .一副扑克牌（去掉两张王牌），最少摸出几张，才能保证有三张牌的花色情况是相同的4 .一副扑克牌（去掉两张王牌）最少摸出几张，才能保证有六张牌的花色情况是相同的?5 .学校买来历史、文艺、科普三种图书若干本，每位学生从中任意借两本。那么至少几位学生中一定有两位所借的图书属于同一种？6 .口袋中放有足够多的红、白、蓝三种颜色的球，现有31个人轮流从口袋中取球，每人各取三个球。证明:至少有4个人取出的球的颜色完全相同。7 一副扑克牌共54张，至少从中取出多
41、少张牌，才能保证其中至少有3种花色相同。（大王、小王不算花色）8 .有5个小朋友，每人都从装有许多黑白棋子的布袋中任意摸出3枚棋子。请你证明，这5个小朋友中至少有2个小朋友摸出棋子的颜色配组是一样的。9 .五年级同学参加数学竞赛。已知满分为100分，最低分为75分，每个人的得分为整数，并且班上至少有3人的得分相同，那么五年级至少有多少人参加了这次考试？10 .有一批四种颜色的小旗，任意取出三面排成一行，表示各种信号。在200个信号中少有多少个信号完全相同？11 .库房里有一批篮球、排球、足球和手球，每人任意搬运三个。在61个搬运者中至少有多少人搬运的球完全相同？12 .幼儿园买来了不少白兔、熊
42、猫、长颈鹿塑料玩具，每个小朋方任意选择两件，那么不管怎样挑选，在任意7个小朋友中总有2个彼此选的玩具都相同，试说明道理。小学四年级奥数第7讲统筹规划知识方函在生活中，我们经常要遇到将一些事情进行合理安排的问题，也就是在一定的时间内要做好几件事情，同时还要做到省时、省力，从而取得最大工作效率的问题,我们把这类回题和为统筹问题。重点点4【例1学校进行打扫卫生，四位同学拎着大小不同的水桶去接水。要注满整个水桶，第一人需要5分钟，第二人需要3分钟，第三人需要4分钟，第四人需要2分钟。现在只有一个水龙头，应该如何安排四个人的接水顺序，使得他们花费的等候时间最少？分析我们可以这样思考，如果第一人先接，第二
43、人后接，第二人接完时，花费的总时间是5+3+5=13（分钟），如果是第二人先接，第一人后接，花费的总时间是3+3+5=11（分钟）。由此我们可以发现:让占用时间少的工作先做，所花费的时间最少。根据这个分析，可以安排的接水顺序是:第四人、第二人、第三人、第一人。解答2 X 4+3 X 3+4 X 2+5 X 1=30（分钟）答:安排接水的顺序是:第四人、第二人、第三人、第一人，等候的总时间是30分钟。例2有137吨货物要从甲地运往乙地，大卡车的载重量是5吨，小卡车的载重量是2吨，大卡车与小卡车每车次的耗油量分别是10升和5升。问:如何选派车辆才能使运输耗油量最少?这时共需耗油多少升？分析与解根据
44、题意，大卡车每吨耗油量为105=2（升）；小卡车每吨耗油量为5+2=2.5（升）。为了节省汽油应尽量选派大卡车运货，又由于137=5X27+2,因此，最优调运方案是:选派27车次大卡车及1车次小卡车即可将货物全部运完，且这时耗油量最少。需用油:10X 27+5X1=275（升）【例3】小明骑在牛背上赶牛过河，共有甲、乙、丙、丁四头牛,甲牛过河需1分钟，乙牛需2分钟，丙牛需5分钟，丁牛需6分钟，每次只能骑一头牛，赶一头牛过河。要把4头牛都赶到对岸去，最少需要多长时间？分析要使过河时间最少，应抓住以下两点乂1）同时过河的两头牛过河时间差要尽可能小乂2）过河后应骑用时最少的牛回来。解答小明骑在甲牛背
45、上赶乙牛过河后，再骑甲牛返回，用时2+1=3（分钟）。然后骑在丙牛背上赶丁牛过河后，再骑乙牛返回，用时6+2=8（分钟）。最后骑在甲牛背上赶乙牛过河，不用返回，用时2分钟。总共用时（2+1）+（6+2）+2=13（分钟）。答:最少需要13分钟。例4在一条公路上有4个工厂，任意相邻的两个工厂距离相等（如图所示）。现在要在这条公路上设一车站，使得这4个工厂的所有工人步行到车站的总路程最少，这个车站应设在几号工厂门口？123r100人120人80人215人分析与解我们把任意相邻的两个工厂距离看成1,算算每种情况下所有工人步行到车站的总路程：设在1厂：120X1+80X2+215X3=925(2)设在
46、2厂：100X1+80X1+215X2=610(3)设在3厂:120X1+215大1+100X2=535(4)设在4 V80X1+120X2+100X3=620可见车站应设在3厂门口。【例5】某加油站能够对2辆车同时加油，现在有6辆车同时来到加油站，各辆车加油所需的时间分别是:A车14分钟；B车7分钟； C车7分钟；D车17分钟；E车3分钟:F车2分钟。请算出这6辆车加油需要的总时间最少是多少分钟?分析与解为了减少等待时间，应尽量安排加油时间较短的车先加油，并且两组加油的时间和尽量一样，可以按照:E-B-A和F-C f D两组加油。这样第一组用时3+7+14=24(分)第二组用时2+7+17=26(分)答:最少需要26分钟。【例6服装厂的工人每人每天可以生产4件上衣或7条裤子，一件上衣和一条裤子为一套服装，现有66名工人生产，每天最多能生产多少套服装？分析与解由“每人每天可以生产4件上衣或7条裤子”可以知道，如果我们把11个工人分成一组，使其中的7名工人生产上衣，4名