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1、-第 1 页南昌大学第五届高数南昌大学第五届高数竞赛经济类试题及答竞赛经济类试题及答案案-第 2 页南昌大学第五届高等数学竞赛南昌大学第五届高等数学竞赛(经济类经济类)试题试题-第 3 页序号：序号：姓名：姓名：学院学院:第第考场考场专业：专业：学号：学号：考试日期：考试日期：2008 年 9 月 21 日题号题号一一二二三三四四五五六六七七八八九九十十十一十一十二十二总分总分累 分 人累 分 人签签名名题分题分18186676767667100得分得分注:本卷共七页,十二道大题,考试时间为 8:3011:30.一、填空题(每空 3 分，共 18 分)得分得分评阅人评阅人1、设121 cos(
2、1tan),(,0)(0,)()22 ,0 xxxf xkx 在 x=0 连续，则常数 k=_。2、设函数f(x)在x=e点处有连续一阶导数，且1()2fee，则cos0lim()xxdf edx=_。3、函数21()xf xe在闭区间-2,2上的最大值为_。4、221(1)(arctan)dxxx=_。5、已知二元函数 u（x,y）满足条件：22uxyy，2(,)1u x x，则 u（x,y）=_。6、函数项级数1nxnne的收敛域为_。-第 4 页二、单项选择题(每题 3 分，共 18 分)得分得分评阅人评阅人1、下列函数中在开区间（0，1）内有界的是（）。A、()lnf xxxB、1()
3、ln(1)xdtf xtC、23()32xf xxxD、11()cosf xxx2、设 f(x)具有二阶导数，f(0)=0,(0)1f,而(),0()(0),0f xxg xxfx，则 g(x)在 x=0点处（）。A、间断B、可导且1(0)2gC、连续但不可导D、可导且(0)1g3、设 周 期 函 数 f(x)在(,)内 可 导，周 期 为6，且 满 足 条 件0()()lim1xffxx，则曲线 y=f(x)在点(7,(7)f处的切线斜率为（）。A、-2B、0C、-1D、14、设222222()()ttxttxF tdxfxydy，(0,)t，其中 f(u)为连续函数，(1)0f,则(1)F
4、等于（）。A、(1)fB、2(1)fC、2(1)fD、05、设ln(1)nnnUn，则级数（）。A、1nnU与21nnU都收敛；B、1nnU与21nnU都发散；C、1nnU收敛而21nnU发散；D、1nnU发散而21nnU收敛。6、考虑二元函数 f(x,y)的下面 4 条性质：f(x,y)在点00(,)xy处连续。(,)xfx y，(,)yfx y在点00(,)xy处连续。f(x,y)在点00(,)xy处可微。00(,)xfxy，00(,)yfxy存在若用“PQ”表示可用性质 P 推出性质 Q,则有（）。A、=B、=C、=D、=-第 5 页三、（本题满分 6 分）设11,a 12222.,2,
5、3,.1112nnnnnannnnn，求limnna。四、（本题满分 6 分）求函数ln xyx的 n 阶导数()ny。得分得分评阅人评阅人得分得分评阅人评阅人-第 6 页五、（本题满分 7 分）讨论方程xxea有几个实根？（常数 a0）。.六、（本题满分 6 分）确定常数 a,b 使得2001lim2sin3xxtdtaxxbt。得分得分评阅人评阅人得分得分评阅人评阅人-第 7 页七、（本题满分 7 分）设()2()yxzxfyxy，其中()f u，()u都是二阶可导的函数。求zx，2zx y；如果()()f uu，且22x azbyx y ，试求()f u。八、（本题满分 6 分）计算二重
6、积分22yDIx edxdy，其中 D 是由直线yx，1y 以及 y 轴围成的闭区域。得分得分评阅人评阅人得分得分评阅人评阅人-第 8 页九、（本题满分 7 分）若函数 f(x),g(x)满足条件：()()fxg x，()()g xf x，且(0)0f，(0)0g。试求：()f x；由曲线()()f xyg x，(0)x 与直线1y 和0 x 所围成的平面图形的面积。十、（本题满分 6 分）设sin ,0()1 ,0 xxf xxx。将 f(x)展开成 x 的幂级数；问(2)1(0)nnf是否收敛？若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？得分得分评阅人评阅人得分得分评阅人评阅人-第 9 页十一、（本题
7、满分 6 分）已 知 f x在,内 连 续，01f，且 对 一 切0 x，满 足 关 系 式 102xf xef xt dtx，求 f x。十二、（本题满分 7 分）设()f x，()g x都在闭区间a,b上单增、连续。证明：()()()()()bbbaaabaf x g x dxf x dxg x dx。得分得分评阅人评阅人得分得分评阅人评阅人-第 10 页南昌大学第五届高等数学竞赛南昌大学第五届高等数学竞赛(经济类经济类)试题答案试题答案一、填空题：（每题 3 分，共 18 分）1、2e；2、1；3、3e；4、2；5、22421x yyx；6、(0,)二、选择题：（每题 3 分，共 18
8、分）1、A；2、B；3、C；4、C；5、C；6、A三、解：11221kknnnnnkkann而1011211limlimlim21211ln2kknnnxnnnnkkndxnnn 所以由夹逼定理，1limln2nna。四、解：()(1)(1)!(ln)(1)kkkkxx，()11!()(1)kkkkxx，1,2,.,kn五、解：作函数(),(,)xf xxea x ，则()(1)xfxex，令()0fx 得驻点1x。(,1)x 时()0fx；(1,)x时()0fx。可见()f x在(,1x 上单增，在1,)上单减，1(1)fea是()f x的最大值。）当1ae时，1(1)0fea，可见恒有()
9、0f x，故()f x无零点，从而方程0 xxea无实根。）当1ae时，1(1)0fea，而1x 时，有()(1)0f xf，故()f x有唯一零点1x，即方程0 xxea有唯一实根1x。）当10ae时，1(1)0fea，lim()xf x，lim()0 xf xa ，并且()f x分别在(,1)与(1,)内单增和单减，故()f x在(,1)与(1,)内分别有唯一零点，即方程0 xxea分别在(,1)与(1,)内各有唯一实根。六、解：由题意知23tbt在0t 的某邻域内有定义，所以0b。由罗必塔法则222000033limlimlimsincos(cos)3xxxxtxdtxbtbxaxxax
10、axbx-第 11 页据题意 a=1,且2b=2，即11ab七、解：()()2()zyyyxffxxxxy 由f，且22x azbyx y 得令yua，代入上式得3341()2()u fufa buu式中将u用1u换之得334111()2()ffua buuu由解得342()()3a bfuuu故333122()918a ba bf uucucu八、解：九、解：由题意得()()0fxf x，这是二阶常系数齐次线性方程，通解为12()xxf xC eC e由(0)0f,(0)(0)0fg知，21CC 且10C 故1()()xxf xC ee曲线方程()()xxxxf xeeyfxee因为0 x
11、时，1xxxxeeee所以平面图形的面积：十、解：因为2101sin(1)(21)!nnnxxn，(,)x 所以0 x 时，201()(1)(21)!nnnf xxn显然上式对0 x 也成立，故 先求(2)(0)nf方法一：由幂级数展开式的唯一性知-第 12 页方法二：因为2421221111()1.(1)(1).3!5!(21)!(23)!nnnnf xxxxxnn 所以由幂级数的和函数的性质：(,)x 时故(2)1(0)(1)21nnfn，1,2,.n 于是(2)111(0)(1)21nnnnfn是交错级数，因为121n单调减少，且1lim021nn所以由莱布尼兹定理知，级数是收敛的。但由
12、于1111(1)2121nnnnn发散，故级数是条件收敛十一、解：对一切,x 有即 02xxf t dtf xe，显然 f x可导，上式两边求导得 xf xfxe，即 xfxf xe，解得由 01f 得1c ，故 1xf xex。十二、证法一：设()()()()()()xxxaaaF xxaf t g t dtf t dtg t dt则()F x在a,b上可导，且(,)xa b时，因为(,)ta x时()()()()0f xf tg xg t所以()0F x，故()F x在a,b上单增，从而()()F bF a即()()()()()0bbbaaabaf x g x dxf x dxg x dx证法二：令(,),Dx y axb ayb，(,)()()()()F x yf xf yg xg y则(,)F x y在 D 上非负连续，且(,)F x y不恒为零。故(,)0DF x y dxdy 因为-第 13 页(,)()()()()()()()()2()()()2()()bbbbbbbbaaaaaaaaDbbbaaaF x y dxdydyf x g x dxf y dyg x dxf x dxg y dydxf y g y dybaf x g x dxf x dxg x dx所以()()()()()bbbaaabaf x g x dxf x dxg x dx注：其它证法参照给分