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1、-南昌大学第五届高数竞赛理工类试题及答案-第 12 页 南昌大学第五届高等数学竞赛(理工类)试题 序号： 姓名： 学院: 第 考场专业： 学号： 考试日期： 2008年9月21日 题号一二三四五六七八九十十一十二总分累分人 签名题分15158677677787 100得分注: 本卷共七页, 十二道大题, 考试时间为8:3011:30.一、 填空题(每空3分，共15分) 得分评阅人 1、 . 2、设在处可导，则 . 3、设是连续函数，且，则 . 4、已知两直线方程是与，则过且平行的平面方程为 . 5、由方程所确定的函数在点处的全微分为 . 二、 单项选择题(每题3分，共15分) 得分评阅人 1、
2、 设=，则可导点的个数为（ ） (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 无穷.2、 设是正值连续函数， ，关于曲线，下列说法正确的是（ ） (A) 在上是凹的，在上是凸的.(B) 在上是凸的，在上是凹的.(C) 在上是凹的.(D) 在上是凸的.3、 级数的收敛域为（ ） (A) . (B) .(C). (D).4、 设为圆周，则（ ） (A) . (B) . (C)4. (D) 2.5、 设，则( ) (A)发散. (B) 条件收敛. (C) 绝对收敛. (D) 无法判断.得分评阅人 三、（本题满分8分） 设二元函数 试解答(1) 在点是否连续？ (2) 求，.(3) ，在点是否连续
3、？ (4) 在点是否可微? 得分评阅人 四、（本题满分6分） 计算定积分值. 得分评阅人 五、（本题满分7分） 计算曲线积分，其中为椭圆的正向.得分评阅人 六、（本题满分7分） 设连接两点与的一条凸弧，点为凸弧上的任意一点，已知凸弧与弦之间的面积为，求此凸弧的方程. 得分评阅人 七、（本题满分6分） 设为非零常数，试判断级数的敛散性（发散、条件收敛还是绝对收敛）.得分评阅人 八、（本题满分7分） 设函数连续，且，其中空间区域为：，求导数和极限. 得分评阅人 九、（本题满分7分） 设，其中具有二阶连续偏导数，二阶可导，求. 得分评阅人 十、（本题满分7分） 计算. 得分评阅人 十一、（本题满分8
4、分） 求级数的和. 得分评阅人 十二、（本题满分7分） 设在上有连续的导数，求证：当，有. 南昌大学第五届高等数学竞赛(理工类)试题答案一、1. , 2. , 3. , 4. , 5. . 二、1、B 2、C 3、A 4、D 5、B三、由于，因此=，所以在点连续. 2分， 3分同理. 4分求得 5分当时，不存在，因此在点不连续，同理在点不连续. 6分= =0 于是在点是可微. 8分四、原式= 3分 = 5分 = 6分五、， . 2分由格林公式得，于是， 3分其中为的正向，令，则 6分 = 7分六、设凸弧的方程为，依题意得 . 3分两边对求导得即通解为 , 6分由得.故所求曲线为 . 7分七、=, 3分当充分大时，级数是交错级数.=0，且当充分大时，因此级数收敛. 4分其次，考虑级数，由于因此级数发散， 5分所以级数条件收敛. 6分八、 = 2分 = 3分 =, 5分. 6分由罗毕达法则得 . 7分九、令，, 2分. 7分十、因为 , 2分所以., 4分, 6分由夹逼准得=. 7分十一、=,. 2分令, 则 =， 4分， 6分= 7分十二、因为连续，也连续，所以由积分中值定理存在使. 2分又，即， 4分所以 6分故. 7分