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1、第1章误差分析与数值计算31.1 引言31.2 绝对误差与相对误差、有效数字91.3 近似数的简单算术运算121.4 数值计算中误差分析的一些原则，4第2章非线性方程（组）的近似解法.172.1 引言172.2 根的隔离182.3 对分法192.4 迭代法212.6 弦截法242.7 弦截法251.7用牛顿法解方程组26本章小结28第3章线性方程组的解法293.1 引言293.2 高斯消去法313.3 矩阵的LU分解353.4 对称矩阵的LDlJ分解363.5 线性方程组解的可靠性373.6 简单迭代法40本章小结46第4章矩阵特征值与特征向量的计算474.1 引言474.2 基法和反暴法48
2、4.3 雅可比方法494.4 QR 方法*51本章小结52第5章插值与拟合535.1 引言535.2 插值多项式的存在和唯一性545.3 拉格朗日插值多项式555.4 均差插值公式575.5 差分等距结点插值公式595.6 爱尔米特插值公式615.7 分段低次插值625.8 三次样条函数635.9 曲线拟合的最小二乘法685.10 71第6章数值积分和数值微分726.1 引言726.2 牛顿一科特斯型积分公式736.3 复合求积公式756.4 龙贝格求积公式796.5 高斯求积公式806.6 二重积分的数值积分法846.7 数值微分856.8 87第7章常微分方程的数值解法887.1 引言88
3、7.2 欧拉法和改进的欧拉法897.3 龙格-库塔方法907.4 线性多步法967.5 算法的稳定性与收敛性987.6 微分方程组和高阶微分方程解法“99本章小结101第1章误差分析与数值计算1.1引言1、课程任务和目的：在第七届国际软件工程学术会议上，“计算方法”被列入应用方法学的研究领域，强调了计算方法的研究应用与软件方法学的研究密切结合。这就说明了计算方法与软件之间的联系以及在应用软件研制中的地位与作用，计算方法是研究各种数学问题求解的数值计算方法。在计算机成为数值计算的主要工具的今天，则要求研究适合于计算机使用的数值计算方法。计算方法就是研究用计算机解决数学问题的数值方法及其理论，它的
4、内容包括函数的数值逼近、数值微分与数值积分、非线性方程值解、线性方程组数值解、常微和偏微数值解等，即都是以数学问题为研究对象的。因此，计算方法是数学的一个分支，只是它不象纯数学那样只研究数学本身的理论，是把理论与计算紧密结合，着重研究数学问题的数值方法及其理论，计算方法是计算机应用和软件研制开发的重要组成部分，通过本课程的学习和上机实习，使学生掌握利用计算机进行科学计算的基本理论和基本方法，并且学会将基本理论和基本方法应用于软件开发以及软件研制。2、本课程基本要求(1)掌握方法的基本原理和思想。(2)掌握方法处理的技巧及与计算机的结合。(3)掌握误差分析，收敛性及稳定性的基本理论。(4)学会进
5、行可靠的理论分析，对近似计算要确保精度要求，要进行误差分析。(5)通过例子，学习使用各种计算方法解决实际计算问题。(6)通过上机实践，能编写算法和实现算法。(7)掌握数值计算中一些最基本、最常用的计算方法和算法。3、本课程与各课程的关系：由于本课内容包括了微积分、代数、常微分方程的数值方法，学生必须掌握这几门课的基本内容才能学好这一课程，同时，学习此课程还必须具备计算机系统的初步知识，掌握一门常用的高级语言，如：BASIC, PASCAL, C语言等，并须具备一定的编程能力。4、本课程的特点：(1)面向计算机，要根据计算机特点提供实际可行的有效算法。即算法只能包括加、减、乘、除运算和逻辑运算，
6、是计算机能直接处理的。(2)有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求，对近似算法要保证收敛性和数值稳定性，还要对误差进行分析，而且都是建立在相应数学理论基础上的。(3)有好的计算复杂性。时间复杂性好是指节省时间：空间复杂性好是指节省存储量。这也是建立算法时要研究的问题，因为它关系到算法能否在计算机上完成。(4)要有数值实验。即任何一种算法除了从理论上要满足上述三点外，还要通过数值实验证明是行之有效的。计算方法最基本的立足点是容许误差，在误差容许的范围内对某一数学问题进行近似计算，得到能满足耍求的近似结果。现实世界中误差是普遍存在的，由于世界上没有绝对精确的量具（绝对精确的量具是没有刻度的），
7、因此人类通过量具采集的数据都是近似值，另一方面，我们的生产、实验工具都不是绝对精确的，这就使得人类在生产和科学实验中必需容许误差。计算机的应用可以分为二个方面，即数值计算和非数值计算。利用计算机进行数值计算的过程如下图所示:实际问题数学模型计算方法程序设计上机求解在上图中，计算方法的任务是：由建立的数学模型给出可编程并由计算机能完成的计算方法，然后编程和上机求解。由于计算方法是编程后可由计算机求解的近似计算方法，如何确保近似解的精度显得尤为重要，必须深入讨论有关误差的基本概念和基本理论，为近似计算的精度分析打下基础。1、误差的来源（种类）误差的来源主要有以下四种（1）模型误差：建立数学模型时的
8、误差。例如：在求重量的数学模型 G=m*g中，重量G不是仅与质量和重力加速度有关，它还与温度、测量地点的海拔、地层结构等众多因素有关，为了使模型较为简单和实用，采用抓住主要矛盾的方法，去掉了大量对重量影响不大的次要因素，建立了上述重量的近似模型，由此产生了模型误差。（2）观测误差：采集数据时的误差。采集数据时，通常是依靠仪器和量具，由于没有绝对精确的仪器和量具，因此采集的数据有误差，此误差称为观测误差。（3）舍入误差：由于计算机字长有限而产生的误差。硬件再发展，计算机的字长总是有限的，在计算过程中，当数据的长度超过了计算机的字长时，计算机就会进行四舍五入，由此产生的误差称为舍入误差。（4）截断
9、误差：无限形式的有限化而产生的误差。在计算中有时会运用无限形式的计算公式，例如台劳公式：f(x) = f(x0)+ f-Xx-x0) + - +f(n)(x0)n!(x-x0)n +显然此公式无法进行计算，因此必需根据实际需要，从某项起将后面的各项截断，即f(x)= f(xo)+彗以(x xo)+吧，。xo)n1!n!由此产生的误差称为截断误差。1.2绝对误差与相对误差、有效数字为描述方便，首先约定x*是精确值x的近似值。引入误差的概念，其目的是为了衡量近似值x*的好坏。(1)绝对误差：x*-x由于精确值X通常无法确定，因此绝对误差无法计算，由此引入绝对误差限的概念。绝对误差限：绝对误差的一个
10、上界。即：若|x*-x|e,则称e为X*的绝对误差限。绝对误差限的性质是：A.不唯一这是因为|x*-x|的上界是不唯一的。B.可确定只要我们对x*的实际背景有一定的了解，就不难确定|x*-x I的上界。例如，X*表示身高，则I x*-x I的上界可为3米。当X*是你求出的，那么为了说明你的工作认真，你一定会将| x*-x |的上界估计得尽量小，因此在这种意义上绝对误差限可用来衡量x*的好坏。由于绝对误差限没有考虑问题的规模，因此有时它也不能衡量x*的好坏。例如：x是地球与太阳的距离， y是分子中二个原子间的距离，若|x*-x|41公里，|y*-y|4l厘米，则并不能说y*比x*精确。由此引入相
11、对误差和相时误差限的概念。(2)相对误差：(x*-x)/x*相对误差限：相对误差绝对值的一个上界。3、有效数字这里我们必须搞清楚什么是有效数字以及如何确定X*有几位有效数字。(1)有效数字的定义若|x*-x|x*的某一位的半个单位，则称X*精确到这,位，并从这一位开始，一直到前面第一个不为零的数都是X*的有效数字。此定义实际上定义了什么叫精确到某一位和什么叫有效数字。例如:若x*精确到小数点后第3位，即指|x*-x |0.5x10-3o(2)有效数字的判定方法方法一：四舍五入此方法首先确定x*是由x的哪一位四舍五入产生的，然后从这一位的前一位开始一直到前面第一个不为零的数都是x*的有效数字。例
12、1若x=0.872596, x*=0.87,求x*的有效位数。解： x*是由x的小数点后第三位四舍五入产生的，所以x*有二位有效数字。注意，方法一判定有效数字很简单，但有时会失效。例如，若x=0.272987 x*=0.273102,此时无法用方法-确定x*的有效位数，原因是x*不是由x四舍五入产生的，在这种情况下，必须用有效数字的定义来确定X*的有效位数。即方法二：用定义此方法首先计算I x-x |,再判断它小于等于X*的哪一位的半个单位，然后从近一位开始，一直到第一个不为零的数都是有效数字。例2若x=0.62073, x*=0.6207,确定x*的有效位数。解：因为|x*-x |40.00
13、0340.5x10-4, x*精确到小数点后第4位，所以x*有四位有效数字。例3若x=0.080199, x*=0.802,确定x*的有效位数。解：因为|x*-x 1=0.0000140.5x10-3,所以推出x*有三位有效数字。例4若x=6.28936, x*=7.3132,确定x*的有效位数。解：|x*-x|=0.023570(k=l,2,.n)淇准确值为 xk0,(k=l,2,.n)x*=fx；的绝对误差限E(x*) k=E)= f - f 工这(- x；)= f)k= k=l k=k=l|(x)|(x；)|A=1(1)和的绝对误差等于各项绝对误差之和。(2)和的绝对误差限不超过各项绝对
14、误差限之和。类似的可以得到：和的相对误差限介于各项相对误差限的最小者与最大者之间。1.3.2 近似数的乘法结论：乘积的相时误差限不超过各项相对误差限之和。1.3.3 似数的除法结论：商的相对误差限不超过被除数与除数相对误差限之和。134近似数的鼎和根(见教材p9)1.3.5 近似数的对数(见教材p9)1.3.6 近似数的减法结论：差的绝对误差等于各项绝对误差之和。注意两个几乎相等的近似数相减会使结果的有效数字损失，影响整个计算工作的准确性，应尽量避免。7101-700=2= l-cos(x)=2sin2(-) ln(x)- ln(x,)= ln(-) V3.01+ V3.002x2(当|x|很
15、小时，X与X2很接近时)1.4 数值计算中误差分析的一些原则为保证计算结果的高精度，在进行数值计算时应遵循下述几个原则。(1)在进行除法时，要避免除数的绝对值被除数的绝时值。为什么要“避免”？若不“避免”，则除出的结果很大，由于计算机字长有限，它装不下，因此会进行四舍五入，一个很大的数进行四舍五入时舍去的部分也会很大，这会使舍入误差变大。怎样“避免”？因为用户只关心最后的计算结果，当中间计算过程中出现了除数的绝对值被除数的绝对值时，就应该换一种计算方法，以避免这种情况的发生，以后我们将会针对具体的计算问题来讨论“避免”的方法。(2)在进行减法时，要避免二个相近的数相减。为什么要“避免”？若不“
16、避免”，就可能失去大量的有效数字，例如：若a=30001和b=30000都有五位有效数字，因为a-b=l,所以结果至多有1位有效数字。怎么“避免”？“避免”的思路与第1个原则中“避免”的思路相同，须针对具体计算问题来讨论。（3）要防止“大数吃小数”什么是“大数吃小数”？我们用一个例子为说明。n计算8756294874+Zaj，其中IO?。,（KasKT6。i=l此题是一个很大的数与很多很小的数相加，若采用将大数依次与a1,a2,an相加，由于计算机字长有限，因此在与内相加时会进行四舍五入将为舍去，这样，最后的结果仍是大数，这就是大数将ai,a2,a”吃掉了。为什么要“避免”？尽管每个小数都很小
17、，但它们很多，可能它们的和比大数还大，而最后计算工结果为大数，显然误差可能很大。怎样“避免”？有的同学提出先将小数相加，然后再与大数相加，这个思路是对的，但有一个漏洞，因为小数相加到一定程度也会变成大数，它也开始吃小数了。可以采取分部相加的方法解决。第2章非线性方程（组）的近似解法2.1 引言方程Rx）=O的解称为方程的根。也叫做函数Rx）的零点。方程求根大致包括三个问题（1）方程有没有根？如果有根，有几个根？（2）哪里有根？求有根的区间，区间内的任意一点作为根的近似值。（3）根的精确化，已知一个根的近似值后设法逐步把根精确化，直到足够精确为止。本课程主要研究问题（2）和（3）.2.2 根的隔
18、离求方程f(x)=()的解的近似值时，首先要确定若干个区间，使每个区间内只有的一个根，这个步骤称为根的隔离。对一般的方程，根的隔离有两种方法(1)试值法。求出f(x)在若干点上的函数值，观察函数值符号变化的情况，从而确定隔根区间。(2)作图法。画出尸f(x)的草图，观察曲线产f(x)与x轴交点的大致位置，从而确定隔根区间。例1.2.1讨论方程f(x)=2x*-4x-+4x+2=0的根的位置。fl=inline(2*xA3-4*xA2+4*x+2),fplot(fl,-1,1),f2=inline(log(x)-1/x), fplot(f2,l,2)例1.2.2将方程xlog(x)=1的根进行隔
19、离。设有方程1x)=0在(a b)内有且仅有个根a,这时有f(a) f(b)0可用对分法求a的近似值，方法如下(1)准备：计算区间(ab)两个端点的函数值f(a), Rb)(2)对分：取c=(a+b)/2为(ab)的中点，计算的)(3)判断:如果f(c)=0,则c为f(x)=0的根，否则检验:若fic)f(a)0,则方程的根位于a c内,用c代替b,若f(c)f(b)ep1.25001.5000c=(a+b)/2;1.25001.3750iff(c)*f(a)01.31251.3750a=c;1.31251.3438else1.32811.3438b=c;1.32811.3359end1.32
20、811.3320a,b,abs(b-a),pause1.32811.3301end1.32811.3291fplot(f,l 2)方程的解x=1.32862.4迭代法设有方程f(x)=O在ab上有且仅有一个根a,可用迭代法求a的近似值，方法如下(1)将方程电)=0写成迭代形式x=p(x)(2)在a b上任取一个初始值xo.(3)计算 xi=p(xo)(4)若|xLX()|e(e为精度要求)，此时计算结束a=x”否则令x()=X|转(3)。定理241(收敛定理)设函数p(x)在ab上连续，在(a b)内可导，且满足(1)当 xa b时,(p(x)ea b(2)当 x G a b时，|(p(x)|
21、 m1,m 为一个常数。则以下结论成立：(1)在a b上) otnm(3)成立误差估计式区1王一与11。一工区|xn-xn_ m m讨论：(1)此定理说明只要|Xn-Xn足够小，就可以保证X。充分接近方程的根电所以在实际计算时，用条件| Xn-Xn-e控制迭代过程的结束。(2)定理2.4.1指当对任意xwab作为初始条件，迭代过程都收敛，这种形式的收敛定理称为大范围收敛定理，是一个充分条件。当此条件不成立时，往往可以取初始值X。接近于方程的根a,使迭代过程收敛。(见 P21定理2.4.2)。(3)从定理2.4.1中可以看出，收敛速度与m值有很大关系，m越小，收敛速度越快。当m接近于1时，收敛速
22、度很慢。根据卬(x)mg(x+2),观察两个计算过程的区别。e=le-3迭代过程：1.00000.47710.39390.37910.37640.3759迭代6次 x=0.3759Mnlme(logl0(x+2)X=1 x=f(x)例2.4.2用迭代法求方程 f(x)=x3+2x-5=0的根，x0=l xn+|=5-2xn迭代过程:1.00001.44221.28371.34491.32201.33061.32741.32861.3281迭代9次乂=1.3281Mnline(,(5-2*x)A(l/3y) x=l x=Rx)2.5牛顿迭代法牛顿法是解方程f(x)=O的重要方法，它也是一种迭代法
23、。设有方程f(x)=O在ab上有且仅有一个根a,可用牛顿法Xn+产Xf(Xn)/ f(Xn)求a的近似值，具体计算步骤如下(1)求出f(x)的导数f(X),在a b上任取一个初始值Xo。(2)计算 xi=x4x-7= O在34内的根x0=4,迭代过程：4.00003.67863.63293.6320迭代4次 x=3.6320f=inline(xA3-2*xA2-4*x-7)fd= inline(3*xA2-4*x-4)x=4x=x-f(x)/fd(x)2.6弦截法弦截法也是一种是解方程f(x)=O的迭代法，它的特点是不需要计算f(x)的导数f(x),且收敛速度也相当快,是工程计算中常用的算法之
24、一。设有方程4x)=0在a b上有且仅有一个根a,可用弦截法求a的近似值，方法如下(1)求函数fix)在区间a b的两个端点的函数值Nxo),f(X|)，其中a=x(),b=X(2)计算 x2= Xi- f(x() X!- x0/ Rxi)- f(x)(3)若| X2-X|1称为超线性收敛，P=2称为平方收敛，显然P越大，迭代过程收敛的越快。可以证明当a是方程f(x)=O的单根时，牛顿法是平方收敛的。当a是方程4x)=0的重根时，牛顿法仅为线性收敛。对分法：收敛速度与公比为1/2的等比级数相同。收敛速度最慢，但简单有效，不存在发散问题。弦截法：弦截法的收敛阶P=1.618。收敛速度次之，不需要
25、计算f(x)的导函数，有发散问题。牛顿法：牛顿法是平方收敛，收敛速度最快，但要计算f(x)的导函数，有发散问题。第3章线性方程组的解法3.1引言在科学实验和工程设计中，经常用到解线性方程组的问题。本章讨论用计算机求解线性方程组的两类主要方法：I接法和迭代法。解线性方程组的一般表达式aMi+ag+ amXn =5 a21X|+a22x2+-+ a2nxn=b2根据矩阵的运算的性质有3b,an|Xi+an2X2+ annXn=b简记为Ax=b其中A =4 b,方程组AxH有唯一解的充分必要条件是det(A/O。理论上，可以用克莱姆法则x产AJA,(k=l,2.n)其中 A=det(A),是A中第k
26、列换成向量所得到的矩阵的行列式。计算需耍的乘法次数为(n-l)(n+l)!,当n较大时,计算量很大。这种方法效率低，在实际应用中很少使用。解线性方程组的方法可以分为两类：一类是直接法，其特点是只包含有限次的四则运算，在每次运算都无舍入误差的情况下，所得到的是方程组的准确解。由于实际计算中总是有舍入误差，所以实际得到的也是近似解。令一类是迭代法，它首先选择一组初始值，再运用同样的计算步骤，重复计算，得到近似解。由于这类方法中出现了极限过程，必须研究迭代过程的收敛性。本章主要介绍：直接法中的高斯消去法和主元高斯消去法。迭代法中的简单迭代法和塞德尔单迭代法。3.2.1顺序高斯消去法以n=4为例说明高
27、斯消去法的计算过程，设有线性方程组anxi a2ixi a31XI a川X+ a12x2+a13x3+a14x4 =bj+ a + a 24X4 = b2 =+ a32x2+a33x3+a34x4=b3+ a42x2 + a43x3 + a44x4 = b4a11x,+a12x2+a13x3+a14x4 =b,a，* 32 42+ aXj + &22X4 = b?+ a；?X3+a；?X4 =b,=+ a；?X3 + a；：, = b?a“X|+ al2x2 +a13x3 +a14x4 = b.aux】 +a12x2+ a13x3+a14x4 =b,ax2 +ax3 +ax4 =ba22）X2
28、 +a22）X3 +a22）X4 =a* +a（2） d33 X3 十 d34分（2）乂 +分（2） d43 X3 十 d44X4 =b;a数3+a数4=中ax4 = b）经过3次消元步骤，得到以上形式。从最后一个方程中解出山依次回代得到方程组的全部解。计算过程见教材(P37)算法3.23.2.2主元消去法例3.2.2解线性方程组0.0003X,+3.0000x2=2.00011.0000%,+1.0000x2=1.0000解：按4位小数计算，得至iJxi=0.6667,孙=0.0000,准确解(勺=1/3,*2=2/3),误差很大。如果将方程组的顺序对换，得到LOOOOX+ LOO。= L0
29、0000.0003+3.0000x2=2.0001按4位小数计算，得到占=0.3334,*2=0.6667,准确解(勺=1/3,*2=2/3),误差很小。在顺序主元消去法中，如果遇到方程组Ax斗中4的主对角线元素为零时，计算过程不能进行。如果A的主对角线元素的绝对值很小，也会产生较大的舍人误差，使得最后得到的解可准确解有较大的误差。工程中使用较多的是列主元高斯消去法，计算过程见教材(P42)算法3.4(6xi+3x2+2x3=6例2.2.3用顺序消去法解方程组10X1+5X2+6X3=0I 8xi+5x2+3x3=0方程组的增广矩阵A|b6326105608530消元6.00003.00002
30、.00006.0000002.6667-10.000001.00000.3333-8.0000方程组系数矩阵主对角线元素为零，消元过程无法进行!例2.2.4用主元高斯消去法解例2.2.3中的方程组。方程组的增广矩阵A|b6326105608530选主元1056063268530消元10.00005.00006.0000000-1.60006.000001.0000-1.80000选主元10.00005.00006.0000001.0000-1.8000000-1.60006.0000消元10.00005.00006.0000001.0000-1.8000000-1.60006.0000回代得到
31、方程组的解5.6250-6.7500-3.7500定理3.3.1设矩阵4的各阶顺序主子式不等于O0(k=l,2,n),则A有唯一的LU分解，A=LU,其中L为单位下三角矩阵，。为上三角矩阵。对于线性方程组Ax=b如果已经得到了的LU分解，方程组的解可以通过以下方法得到LUx=b，令I7x=y，则有D=所以，求解Ax=6如的问题等价于求解两的系数矩阵为三角方阵的方程组。X =4k-1忆=2,3,y=lXn=yn/UnnX*=(”-Zk=n-,n-2-六2+1求解方程组AxR的计算变得非常简单。例3.3.1解线性方程组A尸力PA=LU. LUx=Pb, Ly=Pb, Ux=yA=magic(3),
32、 b=l ;2;3,L,U,P=lu(A), y=L(P*b), x=Uy3.4 对称矩阵的LDI?分解设矩阵4的各阶顺序主子式不等于。卜和(k=l,2,n),则A有唯一的LV分解，其中L为单.位下三角矩阵，U为主对角线元素不为0的上三角矩阵。M11W12.1 uU10.011u =022M20“22,-01“2/ M22=DV00.00.:000, Unn.00 u nn J。01从而A=L。匕若为对称矩阵A=，则有4=( LOV)T=户(。，其中为L为单位下三角矩阵，(。)为主对角元素不为0的上三角矩阵，由LU分解的唯一性得到，L=L,于是定理3.4.1设对称矩阵4的各阶顺序主子式不等于A
33、#。(k=l,2,.n),则唯一确定一个单位下三角矩阵L和主对角元素不为0的对角矩阵。，使例3.4.1 A=5105-5;1024-2-6;5-244-6-1123,L,P=chol(A), L* L如果线性方程组Ax=b系数矩阵是对称正定的，A=lJL, lJlx=b，令Lx=y,LTy=b例3.4.3b=510-1-19, y=Lb, x=Ly3.5 线性方程组解的可靠性3.5.1 向量范数和误差向量定义3.5.1设是定义在W上的实值函数，如果对于W中的任意向量及任意非负实数A,满足（非负性）对任意向量x都有|闺|0且想|=0的充分必要条件是尸0。（正齐性）对任意实数A和任意向量x都旬|曰
34、|国|。（3）（三角不等式）对任意向量版旬归|r|+|刖称|.|为向量范数。定理3.5.1对瞪上的任意向量x=（xgx“）T,记IM =同+上|+闻 Wl2=：+.一|x|L = max|xj|x|p |x|2,|X b都是向量范数。定义352设II .|是定义在/?而上的实值函数，如果对于Rg中的任意矩阵4s及任意非负实数%满足（1）（非负性）对任意矩阵A都有且M|=0的充分必要条件是4=0。（2）（正齐性）对任意实数k和任意矩阵4都有|必|=川川|。（3）（三角不等式）对任意矩阵4,5都有M+用区MH+II训，|4阳区|4|旭|称|.|为矩阵范数。定理3.5.2对Rmn上的任意矩阵A记1阀=,黑| Ax3,若极限limx(k)=x*存在，则x*就是原方程组的解。以n=4为例XT”厂Y(k+1)X2Y(k+1)A3Y(k+DLA4=m21m3i_m4im12 m22 m32 m421%m?3m43m； m24 m34 m人工厂Y(k) X2 xf)x+f.f2 f3 J4.TT?Tx(k+l)yx(k)f写成分量形式(k+l)一 m x(k)X1- milXl+ m搂x.+ m13X3k)+ m14x*lk+ f.X并)iX,+ m22X2k)+ m23xk)+ m24x(4k)+ f2xk+l)=m31xk+ m32X2k)+ m33xk)+