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1、数值计算方法教案（计算方法）教案课程名称：计算方法适用专业：医学信息技术适用年级：二年级任课老师：张利萍编写时间：2020年8月新疆医科大学工程学院张利萍教案目录（计算方法）教学大纲(4)一、课程的性质与任务(4)二、课程的教学内容、基本要求及学时分配(4)三、课程改革与特色(5)四、推荐教材及参考书(5)（计算方法）教学日历.错误！未定义书签。第一章绪论.(6)第1讲绪论有效数字(6)第2讲误差第二章线性方程组的直接法(14)第3讲直接法、高斯消去法(14)第4讲高斯列主元消去法(22)第5讲平方根法、追赶法(29)第三章插值法与最小二乘法(31)第6讲机械求积、插值型求积公式(32)第7讲
2、牛顿柯特斯公式、复化求积公式(37)第8讲高斯公式、数值微分(42)第9讲第10讲第12讲第四章数值积分与数值微分(48)第11讲欧拉公式、改良的欧拉公式(48)第12讲龙格库塔方法、亚当姆斯方法(52)第13讲收敛性与稳定性、方程组与高阶方程(56)第14讲第15讲第五章微分常微分方程的差分方法(59)第16讲迭代收敛性与迭代加速(60)第17讲牛顿法、弦截法(64)第18讲第19讲第20讲第六章线性方程组的迭代法(67)第21讲迭代公式的建立(68)（计算方法）教学大纲课程名称：计算方法/ComputerNumericalAnalysisB学时/学分：54/4先修课程：高等数学、线性代数、
3、高级语言程序设计如：Matlab语言适用专业：计算机科学与技术、信息管理与信息系统开课学院部、系(教研室)：医学工程技术学院、医学信息技术专业一、课程的性质与任务计算方法是一门专业必修课。当前，由于科学技术的快速发展和计算机的广泛应用，学习和把握计算机上常用的数值计算方法及有关的基础理论知识，并能用某种高级语言如Matlab语言将这些常用算法编程实现，这对于计算机专业的学生来讲是非常重要的。本课程着重介绍进行科学建设所必须把握的一些最基本、最常用的算法，向高等院校有关专业的学生普及计算方法的知识。二、课程的教学内容、基本要求及学时分配一教学内容1引论数值分析的研究对象、误差及有关概念、数值计算
4、中应注意的一些原则。2线性代数方程组的数值解法Gauss消去法、Gauss消去法的矩阵形式、主元消去法、三角分解法、迭代法、迭代法的收敛条件及误差估计。3插值方法Lagrange插值、Newton插值、分段插值、Hermite插值、三次样条插值、数据拟合的最小二乘法。4数值积分与微分机械求积、Newton-Cotes求积公式、复化求积、Romberg求积算法、Gauss求积公式、数值微分。5常微分方程初值问题的数值解法Euler方法及其改良、龙格-库塔(Runge-Kutta)方法、线性多步法、收敛性与稳定性、一阶方程组与高阶方程。6方程求根的数值方法二分法、迭代法、迭代经过的加速、Newto
5、n迭代法、Newton迭代法的几种变形。二基本要求1了解数值分析的研究对象、把握误差及有关概念。2正确理解使用数值方法求方程的解的基本思想、数学原理、算法设计。3了解插值是数值逼近的重要方法之一，正确理解每一种算法的基本思想、计算公式、算法设计、程序框图设计和源程序。4把握数值积分的数学原理和程序设计方法。5能够使用数值方法解决一阶常微分方程的初值问题。6理解和把握使用数值方法对线性方程组求解的算法设计。三学时分配本课程的理论教学时数为54学时分配如下表：四课程内容的重点、难点重点：Lagrange插值、Newton插值、分段插值、Hermite插值、三次样条插值、机械求积、Newton-Co
6、tes求积公式、复化求积、Romberg求积算法。难点：Gauss消去法、Gauss消去法的矩阵形式、主元消去法、三角分解法、迭代法、迭代法的收敛条件及误差估计。三、课程改革与特色本课程是一门重要的专业基础课。数值计算方法既是一门古老的学科，又是一门新兴的学科。电子计算机的产生和发展极大地促进了数值计算方法的发展。只要把数值计算方法和程序设计严密结合起来，把算法变为计算机能直接执行的程序，才能真正使计算机帮助人们解决各种复杂的计算任务。本课程试图将数值计算方法和程序设计方法学融为一体，这也是一种尝试。四、推荐教材及参考书推荐教材：（计算机数值方法）第三版，主编：施吉林、刘淑珍、陈桂芝，出版社：
7、高等教育出版社，出版时间：2005年3月参考书：（数值计算方法和算法），主编：张韵华、奚梅成、陈效群，出版社：科学出版社，出版时间：2002年3月（NumericalAnalysis），主编：RichardL.Burden，出版社：高等教育出版社影印，出版或修订时间：2003（数值分析），主编：金聪、熊盛武，出版社：武汉理工大学出版社，出版时间：2003年8月第一章绪论一、教学目的及基本要求通过对本章的学习，使学生对了解涉及工程和科学实验中常见的数学问题，其中包括线性方程组、函数插值、离散数据的拟合、微积分、微分方程等，这些问题是其他数学问题的基础。二、教学内容及学时分配本章主要介绍数值分析的
8、研究对象及误差的概念。详细内容如下：第1-2学时讲授内容：计算方法的研究内容、对象与特点；误差的基本概念。三、教学重点难点1教学重点：误差、误差种类；误差分析：误差与有效数字的关系。2.教学难点：误差分析、误差与有效数字的关系。四、教学中应注意的问题多媒体课堂教学为主。适当提问，加深学生对概念的理解。第1讲绪论基本求解步骤数学模型是通过科学实验或者观察分析一系列数据后，用数学作为工具近似地描绘客观事物的一种数学表达式。在数学模型中，往往包含了若干参量，这些物理参数通常由实验仪器测得，根据仪器的精细程度，物理参数确实定也会产生一定的误差。在建立了数学模型之后，并不能立即用计算机直接求解，还必须寻
9、找用计算机计算这些数学模型的数值方法，即将数学模型中的连续变量离散化，转化成一系列相应的算法步骤，编制出正确的计算程序，再上机计算得出满意的数值结果。算法：从给定的已知量出发，经过有限次四则运算及规定的运算顺序，最后求出未知量的数值解，这样构成的完好计算步骤称为算法。例132()3426pxxxx=+-+计算多项式的值。23,1xxx由计算出后再进算法：行计算。需乘法5次，加法3次。 ()(34)226pxxxx=+-+算法：需乘法3次，加法3次。一般地，计算n次多项式的值1110()nnnnnPxaxaxaxa-=+如若按kkax有k次乘法运算,计算()nPx共需()1122nnn+=次乘法
10、和n次加法运算。采用：秦九韶算法(1247)有递推公式:1210()()nnnnPxxxxxaxaaaa-=+从内往外一层一层计算，社层表示第kkvknknnnkaxaxaxav-+-+=).)(.(11?=+=-nknkkavaxvv01需乘法n次，加法n次，存储单元n+3个。对算法所要考虑的问题,包括如下:计算速度例如,求解一个20阶线性方程组,用消元法需3000次乘法运算；而用克莱姆法则要进行209.710?次运算,如用每秒1亿次乘法运算的计算机要30万年。存储量大型问题必要考虑计算机的数据存贮。数值稳定性在大量计算中,舍入误差是积累还是能控制,这与算法有关。实际算法往往表现为某种无穷递
11、推经过算法的精度控制方程根的二分法求解*,0)(,)(0)()(,)(xbaxfbaxfbfafbaxf定实根为内一定有唯一实根。假在即方程内一定有实的零点，在，根据连续函数性质，上单调连续，在=标准形式为nmaaax.01021*?=，则：a)naxxxnx-?-11*1021|位有效数字，则有若证：nmnmnmaaxxxx-?=?-1111*10211010211021|b)naxxx-?+-11*10)1(21|若，则位有效数字有nx*证：nmmnnaaxaxx-?=?+?+?+-102110)1(10)1(2110)1(211111*11*例，已知.14159265.3=，试问其近似值
12、1416.3,1415.3,14.3,1.33321=xxxx各有几位有效数字？并给出它们的误差限和相对误差限。111102104.0-?nnn取即，则*=3.141591.3数值计算的若干原则1.避免两相近数相减当x较大时，计算xx-+1，可先转化为xxxx+=-+111hhhfxxxf222)2(2)(-=得导数值在,准确值353553.0)2(=f令h=0.1得35350.02.03784.14491.1222)2(-hhhf令h=0.0001得00002.04142.14142.1222)2(=-hhhf计算。1,sincos1=-xxx，分子出现相近数相减，可转换为xxxxcos1s
13、insincos1-，再计算2.避免绝对值太小的数做除数分母接近零的数会产生溢出错误,因此产生大的误差,此时能够用数学公式化简后再做.10001001100010011+=-=y3.要防止大数“吃掉小数计算机在进行算术计算时,首先要把参加运算的数对阶，即把两数都写成绝对值小于1,而阶码一样的数。如：1109+=x必须改写成:1010100000000001.0101.0?+?=x假如计算机只能表示8位小数，则算出10101.0?=x,大数吃掉了小数。这种情形是要尽量避免的。4.简化计算步骤，提高计算效率简化计算步骤是提高程序执行速度的关键，它不仅能够节省时间，还能减少舍入误差。例4：设A、B、
14、C、D分别是10?20、20?50、50?1、1?100的矩阵，试按不同的算法求矩阵乘积E=ABCD.解：由矩阵乘法的结合律，可有如下算法1.E=(AB)C)D.计算量N=11500flop2.E=A(B(CD).计算量N=125000flop3.E=(A(BC)D.计算量N=2200flop5.要使用数值稳定的算法我们已经知道，所谓算法的稳定性，是指误差的传播能够得到控制，在用计算机解决实际问题时，运算次数成千上万。假如误差的传播得不到控制，那么误差的累积会使问题的解答成为荒唐的，尤其是某些病态问题如病态方程组，舍入误差对其计算结果往往有非常严重的影响。因而，在选择计算方案时，要十分慎重。考察方程组