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1、2.3.2-2.3.4 面面垂直的判定和性质一、二面角及二面角的平面角一、二面角及二面角的平面角平面的一条直线把平面分为平面的一条直线把平面分为两两部分，部分，其中的每一部分都叫做一个其中的每一部分都叫做一个半平面半平面。1 1、半平面半平面ll 从空间一直线出发的两个半从空间一直线出发的两个半2、二面角的定义二面角的定义3、二面角的平面角二面角的平面角角角 的平面角的平面角 一一个个平平面面垂垂直直于于二二面面角角的的棱棱，并并与与两两半半平平面面分分别别相相交交于于射射线线PA、PB垂足为垂足为P，则，则APB叫做二面叫做二面ABP平面所组成的图形叫做二面角平面所组成的图形叫做二面角记作：
2、记作：ABP APB 与与 APB是否相等是否相等?思考思考思考思考:相等相等(利用等角定理利用等角定理)约定：约定：二面角的平面角取值范围是二面角的平面角取值范围是:00,1800二面角的大小用它的平面角的大小来度量二面角的大小用它的平面角的大小来度量.注：二面角的平面角的特点二面角的平面角的特点：3）角的边都要垂直于二面角的棱角的边都要垂直于二面角的棱1）角的顶点在棱上角的顶点在棱上2）角的两边分别在两个半平面内角的两边分别在两个半平面内10 lOABAOB(1)(2)注：二面角的平面角的特点二面角的平面角的特点：3）角的边都要垂直于二面角的棱角的边都要垂直于二面角的棱1）角的顶点在棱上角
3、的顶点在棱上2）角的两边分别在两个半平面内角的两边分别在两个半平面内10 lOABAOB(1)(2)2、二面角的平面角的作法：、二面角的平面角的作法：1、定义法：、定义法：根据定义作出来。根据定义作出来。2、作垂面：、作垂面：作与棱垂直的平面与两半平面作与棱垂直的平面与两半平面的交线得到。的交线得到。注意：二面角的平面角必须满足：注意：二面角的平面角必须满足：（1）、角的顶点在棱上。）、角的顶点在棱上。（2）、角的两边分别在两个面内。）、角的两边分别在两个面内。（3）、角的边都要垂直于二面角的棱。）、角的边都要垂直于二面角的棱。oABoAoABB二面角的二面角的 平面角的定义、范围及作法平面角
4、的定义、范围及作法角角BAO边边边边顶点顶点从一点出发的两条射线从一点出发的两条射线所组成的图形叫做所组成的图形叫做角角。定义定义构成构成边边点点边边 （顶点）（顶点）表示法表示法AOB二面角二面角AB面面面面棱棱a从一条直线出发的两个从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫半平面所组成的图形叫做做二面角二面角。面面直线直线面面 （棱）（棱）二面角二面角l或二面角或二面角AB图形图形角与二面角的比较角与二面角的比较平面与平面垂直平面与平面垂直定义：定义：如果两个平面相交所成的二面角是如果两个平面相交所成的二面角是直二面角，直二面角，那么我们称这那么我们称这两个平面互相垂直两个平面互相垂直。AB
5、两个平面垂直的判定定理：两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直垂线，那么这两个平面相互垂直.CD两个平面垂直的判定定理：两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直。那么这两个平面相互垂直。两个平面垂直的判定定理：两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直。那么这两个平面相互垂直。证明：证明：判定定理：判定定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，则这如果一个平面过
6、另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。两个平面垂直。作用：作用：由线面垂直证明面面垂直。由线面垂直证明面面垂直。例例1、如图，、如图，AB是圆是圆O的直径，的直径，PA垂直于圆垂直于圆O所在的所在的平面，平面，C是圆周上不同于是圆周上不同于A，B的任意一点，的任意一点，求证：平面求证：平面PAC垂直平面垂直平面PBC。ABCDSO已知：已知：ABCD为正方形，为正方形，SD平面平面AC，问：图中所示的问：图中所示的7个平面中，共有多少个平面互相垂直？个平面中，共有多少个平面互相垂直？思考题？1.平面平面SAD平面平面ABCD2.平面平面SBD平面平面ABCD3.平面平面SCD平面平面ABCD4.
7、平面平面SAD平面平面SCD5.平面平面SBC平面平面SCD6.平面平面SAB平面平面SAD7.平面平面SAC平面平面SBD两个平面垂直的两个平面垂直的性质定理：性质定理：如果两个平面垂直，那么在第一个平面内如果两个平面垂直，那么在第一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。ABCD证明：证明：两个平面垂直的判定定理：两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直垂线，那么这两个平面相互垂直.两个平面垂直的性质定理：两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在第一个平面内如果两
8、个平面垂直，那么在第一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。例例2：求证三个两两垂直的平面的交线两两垂直求证三个两两垂直的平面的交线两两垂直.证明证明：（面面垂直的性质定理）（面面垂直的性质定理）例例2：求证三个两两垂直的平面的交线两两垂直求证三个两两垂直的平面的交线两两垂直.例例3.如图，四棱锥如图，四棱锥P-ABCD的侧面的侧面PAD是正三角形且垂直是正三角形且垂直于底面，底面于底面，底面ABCD是矩形，是矩形，E是是PD的中点的中点.（1）求证：平面）求证：平面ACE平面平面PCD；（2）若）若PBAC,求求PB与底面与底面AC所成的角所成的
9、角.ABCDPE例例3.如图，四棱锥如图，四棱锥P-ABCD的侧面的侧面PAD是正三角形且垂直是正三角形且垂直于底面，底面于底面，底面ABCD是矩形，是矩形，E是是PD的中点的中点.（1）求证：平面）求证：平面ACE平面平面PCD；解：解：（1）PAD是正三角形，是正三角形，AEPD.又平面又平面PAD平面平面ABCD,且且ABCD是矩形是矩形,CDAD,CDAE.AE平面平面PCD.平面平面ACE平面平面PCD.E为为PD的中点，的中点，CD平面平面PAD.（面面垂直的性质定理）（面面垂直的性质定理）（面面垂直的判定定理）（面面垂直的判定定理）ABCDPE（2）设）设AD的中点为的中点为O，连连 PO、BO，则则 POAD，平面平面PAD平面平面AC,PO平面平面AC,PBO就是就是PB与底面与底面AC所成的角所成的角.设设 AO=a，AC与与OB的交点为的交点为F，则则 FB=2OF PBAC,由三垂线定理得：由三垂线定理得：AFOB.PBO=45故故 PB与底面与底面AC所成的角为所成的角为45.ABCPEDOF例例3.如图，四棱锥如图，四棱锥P-ABCD的侧面的侧面PAD是正三角形且垂直于底面，是正三角形且垂直于底面，底面底面ABCD是矩形，是矩形，E是是PD的中点的中点.（2）若）若PBAC,求求PB与底面与底面AC所成的角所成的角.