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1、 异面直线所成的角异面直线所成的角2021/8/9 星期一1 对于两条异面直线对于两条异面直线a、b，经过空间任意，经过空间任意一点一点o，作直线，作直线a/a，b/b，则直线则直线a和和b所所成的成的锐角（或直角）锐角（或直角）叫做异面直线叫做异面直线a和和b所成所成的角。的角。两条异面直线所成的角两条异面直线所成的角两条异面直线所成的角的范围是两条异面直线所成的角的范围是（0，2021/8/9 星期一2abo.aO O是空间中的任意一点是空间中的任意一点 点o常取在两条异面直线中的一条上bo o o oo返回2021/8/9 星期一3二、数学思想、方法、步骤：二、数学思想、方法、步骤：转化
2、与化归转化与化归，即把，即把异面直线所成异面直线所成的角的角（空间角空间角）转化为）转化为平面角平面角，进而转化，进而转化为三角形的内角，然后通过解三角形为三角形的内角，然后通过解三角形求得求得.2.2.方法：方法：3.3.步骤：步骤：作（找）证 计算1.1.数学思想：数学思想：平移平移可解三角形可解三角形2021/8/9 星期一4ABDCA1B1D1C1在正方体在正方体AC1中，求异面直线中，求异面直线A1B和和B1C所成的角？所成的角？A1B和和B1C所所成的角为成的角为602021/8/9 星期一5PABCMN空间四边形空间四边形P-ABC中，中，M，N分别是分别是PB，AC的中点，的中
3、点，PA=BC=4，MN=3，求，求PA与与BC所成的所成的角？角？E返回2021/8/9 星期一6在正方体在正方体AC1中，求异面直线中，求异面直线D1B和和B1C所成的角？所成的角？ABDCA1B1D1C1E返回2021/8/9 星期一7A1ABB1CDC1D1FEG解：如图，取AB的中点G，O（证）（证）A1G与AE所成的锐角（或直角）就是AE与D1F所成的角。FG，A1G，A1G与AE交于O连结（作）（作）例例1:如图，如图，在正方体在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中，E E、F F分别分别是是BBBB1 1、CDCD中点。求中点。求AEAE
4、与与D D1 1F F所成的角。所成的角。返回A1D1FGAD又ADA1D1FG四边形A1GFD1为平行四边形A1GD1F的中点tRA1AGAOG=90ABEGA1A=GAO即直线AE与D1F所成的角为直角。E是BB1（算）（算）2021/8/9 星期一8例例2 在棱长都相等的四面体在棱长都相等的四面体A-BCD中中，M、N分别是棱分别是棱AD、BC 的中点，的中点，连结连结AN、CM，求异面直线，求异面直线AN、CM所成的角的余弦值。所成的角的余弦值。2021/8/9 星期一9例例2已知正方体的棱长为已知正方体的棱长为 a,M a,M 为为 AB AB 的的中点中点,N,N 为为 B BB
5、B1 1的中点，求的中点，求 A A1 1M M 与与 C C1 1 N N 所成角的余弦值。所成角的余弦值。解：解：A1D1C1B1ABCDMNEG如图，取如图，取AB的中点的中点E,连连BE,有有BE A A1 1M M 取取CC1的中点的中点G,连连BG.有有BG C C1 1N N 则则EBG即为所求角。即为所求角。BG=BE=a,F C1=a由余弦定理，由余弦定理，cosEBG=2/5F取取EB1的中点的中点F，连，连NF,有有BENF 则则FNC为所求角。为所求角。想一想：想一想：还有其它定角的方法吗？还有其它定角的方法吗？在在EBG中中2021/8/9 星期一10例例3 3：长方
6、体长方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，ABAB=AA=AA1 1=2 cm2 cm，AD AD=1cm1cm，求异，求异面直线面直线A A1 1C C1 1与与BDBD1 1所成角的余所成角的余弦值。弦值。返回2021/8/9 星期一11解法二解法二：方法归纳：方法归纳：补形法补形法把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、长方体等，其目的在于易于发如正方体、长方体等，其目的在于易于发现两条异面直线的关系。现两条异面直线的关系。F1EFE1BDB1A1D1C1ACBC1的长方体B1F，返回2021/8/9 星期一12
7、1：如图，在正方体如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，异中，异面直线面直线AC与与BC1所成角的大小是（所成角的大小是（）A30 B45 C60 D90解：在图形中，将解：在图形中，将AC平行移平行移动到动到A1C1，再连接，再连接A1B，则，则A1BC1是一个等边三角形，是一个等边三角形，A1C1与与BC1所成的角为所成的角为60,所所以以AC与与BC1所成角的大小也是所成角的大小也是60，选，选C.返回热身训练2021/8/9 星期一132：如图，正三棱锥如图，正三棱锥SA BC的侧棱与底面边的侧棱与底面边长相等，如果长相等，如果E、F分别为分别为SC、A B的中点，的中点，那么异
8、面直线那么异面直线EF与与SA所成角等于（所成角等于（）A90 B60 C45 D30返回G2021/8/9 星期一14解：取解：取AC的中点的中点G，连接，连接EG、FG，EG/SA，GEF是异面直线是异面直线EF与与SA所所成角，又成角，又FG/BC，SABC，EGF=90，EGF是直角三角形，又是直角三角形，又EG=SA，FG=BC，EG=FG，EGF是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，GEF=45，选，选C.返回2021/8/9 星期一15正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC、BD交于O,则OB1与A1C1所成的角的度数为A1B1C1D1ABCDO课堂练习：1900A1B1C1D1
9、ABCDO返回2021/8/9 星期一16在正四面体在正四面体S-ABC中，中，SABC,E,F分别为分别为SC、AB 的中点，那么异面直线的中点，那么异面直线EF 与与SA 所成的角等于（所成的角等于（）CSABEFD(A)300 (B)450 (C)600 (D)900练习2B返回2021/8/9 星期一172.已知：两异面直线已知：两异面直线a,b所成的角是所成的角是50，P P为为空间中一定点，则过点空间中一定点，则过点P P且与且与a,ba,b都成都成3030角的角的直线有直线有 条。条。abP PO2返回2021/8/9 星期一18定角一般方法有：定角一般方法有：定角一般方法有：定
10、角一般方法有：小结：小结：1 1、求异面直线所成的角是把空间角转化为平面、求异面直线所成的角是把空间角转化为平面 角，角，体现了化归的数学思想。体现了化归的数学思想。2、用余弦定理求异面直线所成角时，要注意角的、用余弦定理求异面直线所成角时，要注意角的 范围：范围：（1）当当 cos 0 时，所成角为时，所成角为（2）当当 cos 0 时，所成角为时，所成角为（3）当当 cos =0 时，所成角为时，所成角为 90o（2）补形法）补形法化归的一般步骤是：化归的一般步骤是：定角定角求角求角返回2021/8/9 星期一19说明说明：异面直线所成角的范围是（：异面直线所成角的范围是（0，在把异面直线所成的角平移转化为平面三角在把异面直线所成的角平移转化为平面三角形中的角，常用余弦定理求其大小，当形中的角，常用余弦定理求其大小，当余弦余弦值为负值值为负值时，其对应角为钝角，这时，其对应角为钝角，这不符合不符合两两条异面直线所成角的定义，故其补角为所求条异面直线所成角的定义，故其补角为所求的角，这一点要注意。的角，这一点要注意。返回2021/8/9 星期一20