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1、3.43.4基本不等式基本不等式:2021/8/9 星期一1ICM2002会标会标赵爽：弦图赵爽：弦图2021/8/9 星期一2ADBCEFGHba基本不等式基本不等式1：一般地，对于任意实数一般地，对于任意实数a、b，我们有，我们有当且仅当当且仅当a=b时，等号成立。时，等号成立。ABCDE(FGH)ab2021/8/9 星期一3基本不等式基本不等式2：当且仅当当且仅当a=b时，等号成立。时，等号成立。注意：注意：（1）两个不等式的）两个不等式的适用范围适用范围不同不同,而等号成立的条件相同而等号成立的条件相同（2）称为正数称为正数a、b的几何平均数的几何平均数 称为它们的算术平均数。称为它
2、们的算术平均数。2021/8/9 星期一4基本不等式的几何解释：基本不等式的几何解释：半弦半弦CD不大于半径不大于半径ABEDCab2021/8/9 星期一5例例1.(1)已知已知 并指出等号并指出等号成立的条件成立的条件.(2)已知已知 与与2的大小关系的大小关系,并说明理由并说明理由.(3)已知已知 能得到什么结论能得到什么结论?请说明理由请说明理由.应用一：利用基本不等式判断代数式的大小关系应用一：利用基本不等式判断代数式的大小关系2021/8/9 星期一6练习练习2：若：若 ，则（，则（）（1）（）（2）（）（3）B练习练习1：设：设a0，b0，给出下列不等式，给出下列不等式其中恒成立
3、的其中恒成立的 。2021/8/9 星期一7应用二：解决最大（小）值问题应用二：解决最大（小）值问题 例例2、已知、已知 都是正数，求证都是正数，求证（1）如果积）如果积 是定值是定值P，那么当，那么当 时，时，和和 有最小值有最小值（2）如果和）如果和 是定值是定值S，那么当，那么当 时，时，积积 有最大值有最大值（1）一正：各项均为正数）一正：各项均为正数（2）二定：）二定：两个正数积为定值，和有最小值。两个正数积为定值，和有最小值。两个正数和为定值，积有最大值。两个正数和为定值，积有最大值。（3）三相等：求最值时一定要考虑不等式是否能取）三相等：求最值时一定要考虑不等式是否能取“”，否，
4、否则会出现错误则会出现错误小结：利用小结：利用 求最值时要注意下面三条：求最值时要注意下面三条：2021/8/9 星期一8例例3、（1）用用篱篱笆笆围围一一个个面面积积为为100m2的的矩矩形形菜菜园园，问问这这个个矩矩形形的的长长、宽宽各各为为多多少少时时，所所用用篱篱笆笆最最短短。最最短篱笆是多少？短篱笆是多少？（2）一一段段长长为为36m的的篱篱笆笆围围成成一一矩矩形形菜菜园园，问问这这个个矩矩形形的的长长、宽宽各各为为多多少少时时，菜菜园园的的面面积积最最大大。最最大大面面积积是多少？是多少？2021/8/9 星期一9例例4、某工厂要建造一个长方形无盖贮水池，其、某工厂要建造一个长方形
5、无盖贮水池，其容积为容积为4800立方米，深为立方米，深为3米，如果池底每米，如果池底每平方米的造价为平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价元，池壁每平方米的造价为为120元，元，怎样设计水池能使总造价最低？最怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？低总造价是多少？2021/8/9 星期一102、(04重庆）已知重庆）已知则则x y 的最大值是的最大值是 。练习：练习：1、当、当x0时，时，的最小值为的最小值为 ，此时，此时x=。21 3、若实数、若实数 ，且，且 ，则，则 的最小值是（的最小值是（）A、10 B、C、D、4、在下列函数中，最小值为、在下列函数中，最小值为2的是（的是（）A、B、C、D、DC2021/8/9 星期一11例4、求函数 的最小值构造积为定值，利用基本不等式求最值思考：求函数 的最小值2021/8/9 星期一12构造和为定值，利用基本不等式求最值例5、已知 ，求 的最大值 练习：已知 且 ，则最大值是多少？2021/8/9 星期一13)(.34,0,0,0,0.2)(),(1.12222224442cbaabccacbbacbaacadbcbdbcaddcbabayxRyxybxaba+=+证明：求证：已知求证：，是正数，且、已知等式利用基本不等式证明不2021/8/9 星期一14