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1、3.43.4基本不等式基本不等式2021/8/9 星期一120022002年国际数学家大会会标年国际数学家大会会标 创设情境、体会感知创设情境、体会感知：三国时期三国时期吴国数学家赵爽吴国数学家赵爽2021/8/9 星期一2一、新课引入一、新课引入ADCBHGFE2021/8/9 星期一3“风车风车”中有哪些图形，中有哪些图形，这些图形的面积有什么相这些图形的面积有什么相等关系和不等关系？等关系和不等关系？探究探究2021/8/9 星期一4问：那么它们有相等的情况吗？问：那么它们有相等的情况吗？2021/8/9 星期一5不等式：不等式：一般地，对于任意实数一般地，对于任意实数a、b，我们有，我
2、们有当且仅当当且仅当a=b时，等号成立。时，等号成立。ABCDE(FGH)ab证明推导证明推导1：v问：何时相等？问：何时相等？2021/8/9 星期一6结论：结论：一般地，对于任意实数一般地，对于任意实数a a、b b，我们有，我们有 当且仅当当且仅当a=ba=b时，等号成立时，等号成立当当a,ba,b为任意实数时，为任意实数时，还成立吗？还成立吗？形数此不等式称为此不等式称为重要不等式重要不等式2021/8/9 星期一72.代数意义：代数意义：几何平均数小于等于算术平均数几何平均数小于等于算术平均数2.代数证明:3.几何意义：几何意义：半弦长小于等于半径半弦长小于等于半径（当且仅当当且仅当
3、a=b时时，等号成立等号成立）二二、新课讲解新课讲解算术平均数算术平均数几何平均数几何平均数3.几何证明:从数列角度看从数列角度看:两个正数的等比中项小于等于它们的两个正数的等比中项小于等于它们的等差中项等差中项1.1.思考思考:如果当如果当 用用 去替换去替换 中的中的 ,能得到什么结论能得到什么结论?基本不等式2021/8/9 星期一8基本不等式：基本不等式：当且仅当当且仅当a=b时，等号成立时，等号成立.当且仅当当且仅当a=b时，等号成立时，等号成立.重要不等式：重要不等式：注意：注意：（1）不同点：两个不等式的）不同点：两个不等式的适用范围适用范围不同。不同。（2）相同点：当且仅当）相
4、同点：当且仅当a=b时，等号成立。时，等号成立。2021/8/9 星期一9例例1 1用篱笆围一个面积为的矩形用篱笆围一个面积为的矩形菜园菜园,问该矩形的长、宽各为多少时问该矩形的长、宽各为多少时,所用篱笆最短，最短的篱笆是多少所用篱笆最短，最短的篱笆是多少?三三、应用应用解解:(1):(1)设矩形菜园的长为设矩形菜园的长为 ,宽为宽为 ,则则 ,篱篱笆的长为笆的长为 .由由等号当且仅当等号当且仅当 时成立时成立,此时此时因此因此,这个矩形的长和宽都是这个矩形的长和宽都是10m10m时时,所用的篱笆最短所用的篱笆最短,最短为最短为40m40m得得即即2021/8/9 星期一10(2)一段长为一段
5、长为36m的篱笆围成一个矩形的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长，宽各为多少菜园，问这个矩形的长，宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多时，菜园的面积最大，最大面积是多少？少？2021/8/9 星期一11已知已知a,ba,b都是正数，都是正数，（1 1）若）若abab是定值是定值P,P,则当则当a=ba=b时时,a+ba+b有最小值有最小值 ；（2 2）若）若a+ba+b是定值是定值S,S,则当则当a=ba=b时时,ab,ab有最大值有最大值 ；利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值（均值不等式定理）（均值不等式定理）积一定，和有最小值；积一定，和有最小值；和一定，积有最大值。和一定，
6、积有最大值。积一定，和有最小值；积一定，和有最小值；和一定，积有最大值。和一定，积有最大值。注意：一正二定三相等！注意：一正二定三相等！2021/8/9 星期一121、本节课主要内容？、本节课主要内容？你会了你会了吗？吗？五五 、小结小结2 2、两个结论、两个结论:两个正数两个正数,积定和最小积定和最小;和定积最大。和定积最大。2021/8/9 星期一13构造条件构造条件三三、应用应用例例1、若若 ,求求 的最小值的最小值.变变3:若若 ,求求 的最小值的最小值.变变2:若若 ,求求 的最小值的最小值.发现运算结构，应用不等式发现运算结构，应用不等式问问:在结论成立的基础上在结论成立的基础上,
7、条件条件“a0,b0”可以变化吗可以变化吗？变变1:若若 求求 的最小值的最小值2021/8/9 星期一14三三、应用应用例例2、已知已知 ,求函数求函数 的最大值的最大值.变式变式:已知已知 ,求函数求函数 的最大值的最大值.发现运算结构，应用不等式发现运算结构，应用不等式应用要点：应用要点：一正数一正数 二定值二定值 三相等三相等结论结论1 1：两个正数积为定值，则和有最小值两个正数积为定值，则和有最小值结论结论2 2：两个正数和为定值，则积有最大值两个正数和为定值，则积有最大值2021/8/9 星期一152021/8/9 星期一163.3.已知直角三角形的面积等于已知直角三角形的面积等于
8、5050，两条直角边各，两条直角边各为多少时为多少时,两条直角边的和最小，最小值是多两条直角边的和最小，最小值是多少？少？4.4.用用20cm20cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应怎样折？怎样折？四四 、巩固巩固大大933小小2021/8/9 星期一17证明证明:要证要证只要证只要证 ()要要证证，只要，只要证证 ()要要证证，只要，只要证证（)显然显然:是成立的是成立的,当且仅当当且仅当 时时中的等号成立中的等号成立.证明:当 时,.2021/8/9 星期一18作业作业课本课本P100P100习题习题3.4A3.4A组组 第第1,21,2题题再见再见!2021/8/9 星期一19oabABPQ1.1.如图如图,AB,AB是圆是圆o o的的直径，直径，Q Q是是ABAB上任上任一点，一点，AQ=AQ=a a,BQ=,BQ=b b,过点过点Q Q作垂直于作垂直于ABAB的弦的弦PQPQ，连，连AP,BPAP,BP,则半弦则半弦PQ=PQ=_ _,_ _,半径半径AO=AO=_几何意义：几何意义：圆的半径不小于圆内半弦长圆的半径不小于圆内半弦长你能用这个图得出基本你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗不等式的几何解释吗?2.PQ2.PQ与与AOAO的大小关系怎样的大小关系怎样?2021/8/9 星期一202021/8/9 星期一21