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1、传递函数传递函数传递函数传递函数工程实践中常采用拉氏变换法求解线性常微分方程。工程实践中常采用拉氏变换法求解线性常微分方程。拉氏变换可以拉氏变换可以简化线性微分方程的求解。还可将线性定常微分方程转换为复数简化线性微分方程的求解。还可将线性定常微分方程转换为复数S S域内的数学模型域内的数学模型传递函数。传递函数。拉氏变换法求解微分方程的基本思路：拉氏变换法求解微分方程的基本思路：线性微分方程时域时域t拉氏变换拉氏变换代数方程代数方程复数域复数域s代数方程的解代数方程的解求求解解拉氏反变换拉氏反变换微分方程的解微分方程的解传递函数的基本概念传递函数的基本概念传递函数的定义传递函数的定义输出拉氏输
2、出拉氏 变换变换 设一控制系统设一控制系统输入输入输入拉氏输入拉氏 变换变换输出输出传递函数的定义：传递函数的定义：线性定常系统在线性定常系统在零初始条件下，系统输零初始条件下，系统输出量拉氏变换与系统输入量拉氏变换之比。出量拉氏变换与系统输入量拉氏变换之比。R(S)C(S)r(t)c(t)R(s)C(s)G(s)=表示为表示为表示为表示为：将微分方程拉氏变换便可求得传递函数。系统系统G(S)G(s)R(s)C(s)(a0 s n+a1 s n-1+an-1 s+an)C(s)=(b0s m+b1s m+1+bm)R(s)式中，式中，C C(s s)为为 c c(t t)的拉氏变换，的拉氏变换
3、，R R(s s)为为 r r(t t)的拉氏变换，的拉氏变换，设设c c(t t)、r r(t t)及其各阶导数的及其各阶导数的初始值为零初始值为零，对微分方程，对微分方程进行拉氏变换得进行拉氏变换得则系统的传递函数为则系统的传递函数为传递函数的性质传递函数的性质（1 1）传递函数只适用于线性定常系统。传递函数只适用于线性定常系统。（2 2）传递函数为复变量）传递函数为复变量S S 的有理真分式。即的有理真分式。即mnmn,且且所有系数均为实数所有系数均为实数,具有复变函数的所有性质。具有复变函数的所有性质。（3 3）传递函数取决于系统或元件的结构和参数，与外）传递函数取决于系统或元件的结构
4、和参数，与外施信号的大小和形式无关。施信号的大小和形式无关。（4 4）传递函数是在零初始条件下定义的，不能反映非）传递函数是在零初始条件下定义的，不能反映非零初始条件下系统的运动过程。零初始条件下系统的运动过程。n=mG(s)=K*(s z1)(s z2)(s zm)(s p1)(s p2)(s pn)放大系数放大系数传递函数的极点传递函数的极点传递函数的零点传递函数的零点（5 5）传递函数的零点和极点）传递函数的零点和极点 在复平面上表示传递函数的零点和极点的图形，称为传递函数在复平面上表示传递函数的零点和极点的图形，称为传递函数的零极点分布图。传递函数的零极点分布图可以更形象地反映系统的零
5、极点分布图。传递函数的零极点分布图可以更形象地反映系统的全面特性，这种用零点和极点表示传递函数的方法在根轨迹法中的全面特性，这种用零点和极点表示传递函数的方法在根轨迹法中使用较多。使用较多。传递函数的求法传递函数的求法1.1.1.1.根据微分方程求传递函数根据微分方程求传递函数根据微分方程求传递函数根据微分方程求传递函数例例1 1 求图示求图示RLCRLC电路的传递函数。电路的传递函数。输出量输出量uo输入量输入量ui解：解：根据基尔霍夫定律根据基尔霍夫定律+-uiuo+-CLRii=CduodtLdidtui=R i+uo拉氏变换：拉氏变换：RCsUo(s)+LCs2Uo(s)+Uo(s)=
6、Ui(s)传递函数为传递函数为:G(s)=Uo(s)Ui(s)1LCs2+RCs+1=RCduodt+uo=ui+LCd2uodt22.2.用复阻抗的概念求电路的传递函数用复阻抗的概念求电路的传递函数电阻、电感、电容元件电阻、电感、电容元件iRuRRiLuLLiCuCC 在电路中有在电路中有3 3种基本的阻抗元件：电阻、电容和电感。种基本的阻抗元件：电阻、电容和电感。流过这流过这3 3种阻抗元件的电流种阻抗元件的电流i i与电压与电压u u的关系如下。的关系如下。无源电子网络无源电子网络：u1u2RCiU U1(s)R1/CsI(s)U U2(s)时域电路模型时域电路模型变为变为S S域模型域
7、模型用复阻抗的概念求用复阻抗的概念求RLCRLC电路的传递函数。电路的传递函数。解：根据基尔霍夫定律，有解：根据基尔霍夫定律，有整理得整理得 典型环节的数学模型及其阶跃响应典型环节的数学模型及其阶跃响应 不同的物理系统，其结构差别很大。但若从系统的数不同的物理系统，其结构差别很大。但若从系统的数学模型来看，一般可将自动控制系统的数学模型看作由若学模型来看，一般可将自动控制系统的数学模型看作由若干个典型环节所组成。研究和掌握这些典型环节的特性将干个典型环节所组成。研究和掌握这些典型环节的特性将有助于对系统性能的了解。有助于对系统性能的了解。2.3.1 2.3.1 比例环节比例环节 1.1.数学表
8、达式数学表达式 微分方程微分方程:y(ty(t)=)=Kx(tKx(t)式中：式中：y y(t t)为输出量；为输出量；x x(t t)为输入量；为输入量；K K为比例系数。为比例系数。R(s)Y(s)G(s)=K 比例环节方框图比例环节方框图 KX(S)Y(S)传递函数传递函数:Y(s)=KX(s)取拉氏变换取拉氏变换:K1SY(s)=X(s)=1S2.2.传递函数传递函数 3.比例环节实例比例环节实例K=-R1R2uruc-+R1R2(a)(a)运算放大器运算放大器(c)(c)线性电位器线性电位器uc(t)+-R1R2+-ur(t)K=R2+R1R2(b)(b)传动齿轮传动齿轮r(t)c(
9、t)iK=i4.4.阶跃响应阶跃响应拉氏反变换得拉氏反变换得:c(t)=K 当输入量当输入量x x(t t)是单位阶是单位阶跃函数跃函数1(1(t t)时，单位阶跃时，单位阶跃响应响应h h(t t)=)=K K1(t)1(t)x(t)t0y(t)1x(t)Ky(t)单位阶跃响应单位阶跃响应惯性环节惯性环节KTs+11sY(s)=Ks+1/TKs+=X(s)=1s式中式中:T-时间常数时间常数 K-比例系数比例系数 对上式在零初始条件下进行拉氏变换对上式在零初始条件下进行拉氏变换2.2.传递函数传递函数:设设 K=11.1.数学表达式数学表达式微分方程微分方程:+y(t)=Kx(t)dy(t)
10、dtTTsYTsY(s s)+Y+Y(s s)=)=KXKX(s s)惯性环节传递函数为：惯性环节传递函数为：KTs+1=R(s)Y(s)G(s)=惯性环节方框图惯性环节方框图 X(S)Y(S)1+Ts1 3.惯性环节实例惯性环节实例(a)运算放大器运算放大器 (b)RLRL电路电路uiuo-+R2R1CR2CS+1R2/R1G(s)=+-ui(t)RLuo(t)1/R(L/R)S+1G(s)=4.4.阶跃响应阶跃响应y(t)=K(1 e tT-)拉氏反变换得拉氏反变换得:单位阶跃信号单位阶跃信号作用下的响应作用下的响应当输入量当输入量x x(t t)是单位阶是单位阶跃函数跃函数1(1(t t
11、)时，单位阶时，单位阶跃响应跃响应h h(t t)=)=单位阶跃响应曲线单位阶跃响应曲线x(t)t0c(t)1x(t)y(t)T0.632y(t)积分环节积分环节X(s)Y(s)G(s)=1TsTsY(s)=X(s)=x(t)dy(t)dtT1.数学表达式数学表达式 微分方程：微分方程：微分时间常数微分时间常数积分环节传递函数积分环节传递函数 拉氏变换：拉氏变换：X(s)=1S1TS1SY(s)=1TS2=2.2.传递函数传递函数X(S)Y(S)Ts1积分环节方框图积分环节方框图 3.3.积分环节实例积分环节实例(a)(a)运算放大器运算放大器uo-+RCui1RCSG(s)=(b)(b)直流
12、伺服电机直流伺服电机+-UdMSKG(s)=4.4.阶跃响应阶跃响应 1Ty(t)=t单位阶跃响应：单位阶跃响应：拉氏反变换得拉氏反变换得:单位阶跃响应曲线单位阶跃响应曲线x(t)t0y(t)1y(t)x(t)T当输入量当输入量x x(t t)是单是单位阶跃函数位阶跃函数1(1(t t)时，时，单位阶跃响应单位阶跃响应h h(t t)=)=KtKt。微分环节微分环节1.1.数学表达式数学表达式X(S)Y(S)Ts理想微分环节微分方程：理想微分环节微分方程：微分时间常数微分时间常数 微分环节方框图微分环节方框图 y(t)=Tdx(t)dtR(s)C(s)G(s)=TsTS1SY(s)=X(s)=
13、1S2.2.传递函数传递函数拉氏变换拉氏变换:微分环节传递函数微分环节传递函数-+RucCur3.3.实例实例运算放大器构成的微分环节运算放大器构成的微分环节G(s)=RC sT T=RC RC 为电路时间常为电路时间常数。当数。当T T足够小时，可足够小时，可近似为纯微分环节。近似为纯微分环节。4.单位阶跃响应：单位阶跃响应：拉氏反变换得拉氏反变换得:c c(t t)=)=T T(t t)x(t)t0y(t)y(t)x(t)理想微分环节理想微分环节单位阶跃响应曲线单位阶跃响应曲线+-uo+-CRuiRC电路构成的实用微分环节电路构成的实用微分环节RCsRCS+1 G(s)=理想微分环节实际中
14、是难以实现的，实际中常用含理想微分环节实际中是难以实现的，实际中常用含有惯性的实用微分环节。有惯性的实用微分环节。单位阶跃响应单位阶跃响应:c(t)=e tT-1sTsTs+1G(s)=1s+1/T TsTs+1=传递函数传递函数:x(t)x(t)t0y(t)y(t)1单位阶跃响应曲线单位阶跃响应曲线R1ucC1R2ur-+传递函数传递函数：单位阶跃响应：单位阶跃响应：c(t)=KT(t)+K R(s)C(s)G(s)=K(Ts+1)单位阶跃响应曲线单位阶跃响应曲线 1c(t)r(t)r(t)t0c(t)由于微分环节的输出只能反映输入信号的变化率，不由于微分环节的输出只能反映输入信号的变化率，
15、不能反映输入量本身的大小，故常采用比例微分环节。能反映输入量本身的大小，故常采用比例微分环节。采用运算放大器构成的比例微分环节：采用运算放大器构成的比例微分环节：振荡环节振荡环节 微分方程：微分方程：+y(t)=x(t)+2T d2y(t)dt2dy(t)dtT 2T-时间常数时间常数-阻尼比阻尼比1.1.数学表达式数学表达式 2.传递函数传递函数1T2S2+2T S+1=X(s)Y(s)G(s)=G(s)=T 21T 21T 2S2+S+n2n2n S2+2 S+=对上式进行变换得对上式进行变换得:-无阻尼自然振荡频率无阻尼自然振荡频率T1n=当当 时，以上两式即为振荡环节的标准传递函数。时
16、，以上两式即为振荡环节的标准传递函数。振荡环节方框图振荡环节方框图S2+2nS+n2n2R(S)C(S)1 ms2+fs+k=F(s)Y(s)G(s)=3.常见振荡环节的实例：常见振荡环节的实例：(1)(1)机械位移系统机械位移系统(2)(2)他激直流电动机他激直流电动机(3)RLC(3)RLC电路电路1/Ce TaTms2+Tms+1=U(s)N(s)G(s)=Ui(s)Uo(s)1 LCs2+RCs+1=G(s)=4.单位阶跃响应单位阶跃响应y(t)=1-1-2Sin(dt+)e 单位阶跃响应曲线单位阶跃响应曲线x(t)t0y(t)y(t)x(t)1拉氏反变换拉氏反变换延迟环节延迟环节(时
17、滞环节时滞环节)X(s)Y(s)G(s)=e-s y(t)=x(t)X(S)Y(S)e-s延时时间延时时间1.数学表达式：数学表达式：延迟环节方框图延迟环节方框图 2.传递函数：传递函数：延迟环节作近似处理得延迟环节作近似处理得1+s1G(s)=1+s+2!2s2+113 3.实例实例在自动控制系统中，晶闸管整流装置的整流电压Ud与控制角a之间的关系，除了有静特性关系Ud=Ud0cosa之外,还有一个失控时间的问题。普通晶闸管整流元件具有导通后的不可控特性，它一旦被触发导通后，再改变触发脉冲的相位或使触发脉冲消失，都不能对它起控制作用，必须等到下一个触发脉冲到来的时刻，才能起控制作用。因此，将这一段不可控制的时间，称为失控时间(滞后时间)用来表示，显然，晶闸管整流装置是一个纯滞后环节，之间的关系，除了有静特性关系来表示。x(t)t0y(t)y(t)x(t)1 阶跃响应曲线阶跃响应曲线 4。阶跃响应。阶跃响应当输入信号x(t)为单位阶跃信号1(t)时，输出为y(t)=1(1-）