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1、等差数列的概念及通项公式等差数列的概念及通项公式2021/8/9 星期一11+2+3+100=?高斯高斯(1777177718551855）德国著名数学家德国著名数学家 得到数列得到数列 1，2，3，4，100.引例一引例一 2021/8/9 星期一2姚明刚进姚明刚进NBANBA一周训练罚球的个数一周训练罚球的个数：第一天：第一天：3000，第二天：第二天：3500，第三天：第三天：4000，第四天：第四天：4500，第五天：第五天：5000，第六天：第六天：5500，第七天：第七天：6000.得到数列：得到数列：3000，3500，4000，4500，5000，5500，6000.引例二引例
2、二 2021/8/9 星期一3一个梯子共一个梯子共8 8级，自下而上每一级的级，自下而上每一级的宽度（单位：宽度（单位：cmcm）为）为：89,83,77,71,65,59,53,47.得到数列：得到数列：89,83,77,71,65,59,53,47.引例三引例三2021/8/9 星期一4姚明罚球个数的数列：姚明罚球个数的数列：3000，3500，4000，4500，5000，5500，6000.梯子宽度的数列：梯子宽度的数列：89,83,77,71,65,59,53,47.发现？发现？观察观察：以上数列有什么共同特点？：以上数列有什么共同特点？从第从第 2项起，每一项与前一项的差都等于同一
3、常数。项起，每一项与前一项的差都等于同一常数。高斯计算的数列：高斯计算的数列：1，2，3，4，100.观察归纳观察归纳 2021/8/9 星期一5 一般地，如果一个数列从第一般地，如果一个数列从第2 2项起，每一项与它的前一项项起，每一项与它的前一项的差等于的差等于同一个常数同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。这，那么这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的个常数叫做等差数列的公差公差，通常用字母，通常用字母d表示。表示。递推公式：递推公式：anan1=d （d是常数，是常数，n2，nN*）等差数列定义等差数列定义3000，3500，4000，4500，5000，5500,6000；
4、公差公差d=1公差公差d=5001，2，3,100；89,83,77,71,65,59,53,47；公差公差d=-62021/8/9 星期一62、常数列、常数列a，a，a，是否为等差数列是否为等差数列?若是，则公差是若是，则公差是 多少多少?若不是，说明理由若不是，说明理由 想一想想一想公差是公差是0 3、数列、数列0，1，0，1，0，1是否为等差数列是否为等差数列?若是，则公差是若是，则公差是多少多少?若不是，说明理由若不是，说明理由 不是不是 公差公差d d是每一项（第是每一项（第2 2项起）与它的前一项的项起）与它的前一项的差，防止把被减数与减数弄颠倒，而且公差可以差，防止把被减数与减数
5、弄颠倒，而且公差可以是正数，负数，也可以为是正数，负数，也可以为0 0 1 1、数列数列6 6，4 4，2 2，0,-2,-40,-2,-4是否为等差数列？若是，是否为等差数列？若是，则公差是多少则公差是多少?若不是，说明理由若不是，说明理由 公差是公差是-22021/8/9 星期一7a2-a1=da3-a2=dan-an-1=da4-a3=da2=a1+da3=a2+d=a1+2da4=a3+d=a1+3dan=a1+(n-1)dan=a1+(n-1)d等差数列的等差数列的通项公式通项公式当当n=1n=1时，等式也成立时，等式也成立。由递推公式：由递推公式：anan1=d（d是常数，是常数，
6、n2，nN*）可得可得可得可得:通项公式通项公式 已知等差数列已知等差数列an的首项是的首项是a1，公差是公差是d2021/8/9 星期一8 已知等差数列已知等差数列an的首项是的首项是a1，公差是公差是da2-a1=dan-an-1=d(1)(1)式式+(2)+(2)式式+(n-1)+(n-1)式式得得：a3-a2=da4-a3=dan-a1=（n-1）d，（1 1）（2 2）（3 3）（n-1n-1）通项公式通项公式 累加法累加法an=a1+（n-1）d即即 由递推公式：由递推公式：anan1=d（d是常数，是常数，n2，nN*）2021/8/9 星期一9在等差数列在等差数列a,A,ba,
7、A,b中中,A,A与与a,ba,b有什么关系？有什么关系？A-a=b-AA-a=b-A解解:依题得依题得,所以所以,A=(a+b)/2A=(a+b)/2A A为为a,ba,b的的等等 差差 中中 项项 新概念新概念2021/8/9 星期一10 例例1（1）求等差数列）求等差数列8，5，2，的第的第20项项（2）401是不是等差数列是不是等差数列5，9，13，的项？的项？如如果是，是第几项？果是，是第几项？解：解：（1）由）由a1=8,d=5-8=-3,n=20,得得a20=(2)由由a1=8,d=9(5)=4,得到这个数列的通项公式为得到这个数列的通项公式为an=54（n1）由题意知，问是否存
8、在正整数由题意知，问是否存在正整数n，使得，使得401 54（n1）成立成立解关于解关于n的方程，的方程，得得n100即即401是这个数列的第是这个数列的第100项项.8 8+(20-1)(20-1)（3 3）=-49=-49例题讲解例题讲解2021/8/9 星期一11例例2 2在等差数列在等差数列aan n 中，已知中，已知a a5 5=10,a=10,a1212=31,=31,求首项求首项a a1 1与公差与公差d.d.解：解：由题意知，由题意知，a a5 5=10=10a a1 1+4d+4da a1212=31=31a a1 1+11d+11d解得解得:a a1 1=-2=-2d=3d
9、=3即等差数列的首项为即等差数列的首项为-2,-2,公差为公差为3.3.点评：点评：点评：点评：利用通项公式转化成首项和公差联立方程求解利用通项公式转化成首项和公差联立方程求解利用通项公式转化成首项和公差联立方程求解利用通项公式转化成首项和公差联立方程求解.2021/8/9 星期一12例例 梯子梯子共有共有5级级,从上往下数第从上往下数第1级级宽宽34cm，第第5级级宽宽110cm，且且各级的宽度各级的宽度依次组依次组成等差数列成等差数列aan n，求第求第2,3,4级的宽级的宽度度2021/8/9 星期一13求基本量求基本量a1和和d：根据已知条件：根据已知条件列方程列方程，由此解出，由此解
10、出a1和和d，再代入通项公式再代入通项公式.像这样根据已知量和未知量之间的关系，像这样根据已知量和未知量之间的关系，列出方程求解列出方程求解的思想方法，称的思想方法，称方程思想方程思想.这是数学中的常用思想方法之一这是数学中的常用思想方法之一.题后点评题后点评巧妙借助等差中项，求解等差数列中间项问题巧妙借助等差中项，求解等差数列中间项问题.注重对注重对 方法技巧性的掌握方法技巧性的掌握.2021/8/9 星期一14(1)(1)已知已知a a4 4=10,a=10,a7 7=19,=19,求求a a1 1与与d.d.在等差数列在等差数列aan n 中，中，(2)(2)已知已知a a3 3=9,a
11、=9,a9 9=3,=3,求求d d与与a a1212.解：解：(1)(1)由题意知，由题意知，a a4 4=10=10a a1 1+3d+3da a7 7=19=19a a1 1+6d+6d解得解得:a a1 1=11=11d=3d=3即等差数列的首项为即等差数列的首项为1,1,公差为公差为3 3(2)(2)由题意知，由题意知，a a3 3=9=9a a1 1+2d+2da a9 9=3=3a a1 1+8d+8d解得解得:a a1 1=1=1d=-1d=-1所以：所以：a a1212=a=a1 1+11d+11d111111(-1)=011(-1)=0 练一练练一练2021/8/9 星期一
12、15 我国古代算书我国古代算书孙子算经孙子算经卷中第卷中第2525题记题记有：有：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗。今有五等诸侯，共分橘子六十颗。人分加三颗。问：五人各得几何？人分加三颗。问：五人各得几何？”古题今解古题今解分析分析：此题已知此题已知a1+a2+a3+a4+a5=60，d=3，a1+(a1+d)+(a1+2d)+(a1+3d)+(a1+4d)=60,a1=6,a2=9,a3=12,a4=15,a5=18 即为五等诸侯分到橘子的颗数。即为五等诸侯分到橘子的颗数。点评点评：解等差数列有关问题时转化为解等差数列有关问题时转化为a a1和和d是常用的基本方法是常用的基本方法.2021/8/9 星期一16一个定义一个定义：an-an-1=d（d是常数是常数，n2，nN*）一个公式一个公式：an=a1+（n-1）d一种思想一种思想：方程思想方程思想要点扫描要点扫描本节课主要学习：本节课主要学习：一个概念一个概念：A=A=（a+ba+b）/2/22021/8/9 星期一17如何解决如何解决课后作业课后作业1+2+3+100=?预习预习：等差数等差数列的前列的前n n项和项和 高斯说高斯说2021/8/9 星期一18