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1、1.2.3 空间中的垂直关系空间中的垂直关系线面垂直线面垂直2021/8/9 星期一1一、空间两条直线垂直一、空间两条直线垂直 如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直。点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直。ABCCBADDAA ABCC AB2021/8/9 星期一2二、直线与平面垂直二、直线与平面垂直ABlAB 如果一条直线如果一条直线AB和一个平面和一个平面相交于一点相交于一点O，并，并且和这个平面内过交点且和这个平面内过交点O的任何直线都垂直，我们就的任何直线都垂直，我们就说说这条直线和这个平面
2、垂直这条直线和这个平面垂直。这条直线叫做这条直线叫做平面的垂线平面的垂线，这个平面叫做，这个平面叫做直线的垂面。直线的垂面。交点叫做交点叫做垂足垂足,垂线上一点到垂足间的线段垂线上一点到垂足间的线段,叫做这个点到叫做这个点到这个平面的这个平面的垂线段垂线段,垂线段的长度叫做这个点到平面的垂线段的长度叫做这个点到平面的距离距离。O2021/8/9 星期一3 如果一条直线如果一条直线AB和一个平面和一个平面相交于一点相交于一点O，并，并且和这个平面内过交点且和这个平面内过交点O的任何直线都垂直，我们就的任何直线都垂直，我们就说说这条直线和这个平面垂直这条直线和这个平面垂直。如果一条直线垂直于一个平
3、面如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直。内的任意一条直线垂直。2021/8/9 星期一4ab直线与平面垂直的直线与平面垂直的判定定理判定定理 如果一条直线与平面内的两条相交直如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直。线垂直，则这条直线与这个平面垂直。l l2021/8/9 星期一5推论推论abl lm m 如果在两条平行直线中如果在两条平行直线中,有一条垂直于平面有一条垂直于平面,那么另一条直线和这个平面的位置关系如何？那么另一条直线和这个平面的位置关系如何？问题问题：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两：如果两条直线垂直于同
4、一个平面，那么这两条直线是什么位置关系？条直线是什么位置关系？平行平行也垂直于这个平面。也垂直于这个平面。2021/8/9 星期一6l lAB 如果两条直线垂直于同一个平面如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行。那么这两条直线平行。直线与平面垂直的直线与平面垂直的性质定理性质定理已知已知：直线直线l l平面平面，直线，直线m m平面平面,垂足分别为垂足分别为A A、B B。求证求证：l/ml/m证明证明：假设直线假设直线m m不与直线不与直线l l平行，平行，过直线过直线m m与平面与平面的交点的交点B B，作直线，作直线m m/l ,/l ,由直线与平面垂直的判定定理的推论可知由直
5、线与平面垂直的判定定理的推论可知m m ,设设m m和和m m 确定的平面为确定的平面为，与与的交线为的交线为a,a,因为直线因为直线m m和和m m 都垂直于平面都垂直于平面.所以直线所以直线m m和和m m 都垂直于交线都垂直于交线a.a.因为在同一平面内，通过直线上一点与因为在同一平面内，通过直线上一点与已知直线垂直的直线不可能有两条。已知直线垂直的直线不可能有两条。所以直线所以直线m m和和m m必重合，即必重合，即l/ml/mm m am m2021/8/9 星期一7 定义定义 如果一条直线如果一条直线AB和一个平面和一个平面相交于一点相交于一点O，并，并且和这个平面内过交点且和这个
6、平面内过交点O的任何直线都垂直，我们就的任何直线都垂直，我们就说这条说这条直线和这个平面垂直。直线和这个平面垂直。判定定理判定定理 如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条这条直线与这个平面垂直直线与这个平面垂直。推论推论 如果在两条平行直线中如果在两条平行直线中,有一条垂直于平面有一条垂直于平面,那么那么另一条另一条直线也和这个平面垂直直线也和这个平面垂直。判定判定2021/8/9 星期一8性质性质 如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直。内的任意一条直线垂直。性质定理性质定理
7、如果两条直线垂直于同一个平面如果两条直线垂直于同一个平面,那么这那么这两条直线平行两条直线平行.2021/8/9 星期一9例例1过一点和已知平面垂直的直线只有一条。过一点和已知平面垂直的直线只有一条。已知已知：平面平面和一点和一点P P。求证求证：过过点点P P与与平面平面垂直的直线只有一条。垂直的直线只有一条。PBAaPAaB2021/8/9 星期一10例例2 有一根旗杆有一根旗杆AB高高8m，它的顶端，它的顶端A挂着两条长挂着两条长10m的绳子，拉紧绳子，并把它的下端放在地面上的的绳子，拉紧绳子，并把它的下端放在地面上的两点两点C,D（和旗杆脚不在同一条直线上和旗杆脚不在同一条直线上），如
8、果这两，如果这两点都和旗杆脚点都和旗杆脚B的距离是的距离是6m，那么旗杆就和地面垂，那么旗杆就和地面垂直，为什么直，为什么？ABDC2021/8/9 星期一11例例3 已知已知：直线直线l l平面平面,垂足为垂足为A,A,直线直线AP AP l l.求证求证：AP在在内。内。PMl lA证明：设证明：设AP与与l确定的平面为确定的平面为假设假设AP不在平面不在平面内内则设平面平面与平面与平面交于直交于直线AM所以所以l AM因因为l，AM AM 又因为又因为AP AP l l，所以在平面所以在平面内存在两条直线垂直于内存在两条直线垂直于l,这是不可能的，所以这是不可能的，所以AP 在平面在平面内。内。2021/8/9 星期一12