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1、几 何 概 型2021/8/9 星期一1复复 习习.古典概型的两个基本特点古典概型的两个基本特点:（1 1）所有的基本事件只有有限个）所有的基本事件只有有限个;（2 2）每个基本事件发生都是等可能的）每个基本事件发生都是等可能的.2021/8/9 星期一21 1.取一根长度为取一根长度为30cm30cm的绳子，拉直后在任意位置剪断，的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于那么剪得两段的长度都不小于10cm10cm的概率有多大？的概率有多大？从从30cm30cm的绳子上的任意一点剪断的绳子上的任意一点剪断.基本事件基本事件:问题情境问题情境2021/8/9 星期一3 2 2.射箭
2、比赛的箭靶是涂有五个彩色的分环射箭比赛的箭靶是涂有五个彩色的分环.从外向内为白从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色,金色靶心叫金色靶心叫“黄心黄心”.”.奥运会的比赛靶面直径为奥运会的比赛靶面直径为122cm,122cm,靶心直径为靶心直径为12.2cm.12.2cm.运动员在运动员在70m70m外射箭外射箭,假设假设每箭都能中靶每箭都能中靶,且射中靶面内任且射中靶面内任一点都是等可能的一点都是等可能的,那么射中黄心的概率是多少那么射中黄心的概率是多少?射中靶面直径为射中靶面直径为122cm122cm的大的大圆内的任意一点圆内的任意一点.这两个问题能否用
3、古典概型的方法来求解这两个问题能否用古典概型的方法来求解吗吗?基本事件基本事件:问题情境问题情境怎么办呢怎么办呢?2021/8/9 星期一4记记“剪得两段绳长都不小于剪得两段绳长都不小于10cm”10cm”为事件为事件A A.把绳子三等分把绳子三等分,于是当剪断位置处在中间一段于是当剪断位置处在中间一段上时上时,事件事件A A发生发生.由于中间一段的长度等于绳由于中间一段的长度等于绳长的长的1/3.1/3.对于问题对于问题1.1.30cm2021/8/9 星期一5记记“射中黄心射中黄心”为事件为事件B,B,由于中靶点随机地由于中靶点随机地落在面积为落在面积为 的大圆内的大圆内,而当中靶点而当中
4、靶点落在面积为落在面积为 的黄心内时的黄心内时,事件事件B B发生发生.对于问题对于问题2.2.2021/8/9 星期一6 对于一个随机试验对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中的每一个点该区域中的每一个点被取到的机会都一样被取到的机会都一样,而一个随机事件的发生则理解为恰而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点好取到上述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可这里的区域可以是以是线段、平面图形、立体图形线段、平面图形、立体图形等等.用这种方法处理随机用这种方法处
5、理随机试验试验,称为称为几何概型几何概型.几何概型的特点几何概型的特点:(1)(1)基本事件有无限多个基本事件有无限多个;(2)(2)基本事件发生是等可能的基本事件发生是等可能的.构建数学2021/8/9 星期一7 一般地一般地,在几何区域在几何区域D D中随机地取一点中随机地取一点,记记“该点落在其内部一个区域该点落在其内部一个区域d d内内”为事件为事件A,A,则事件则事件A A发生的概率发生的概率:你现在会求几何概型的概率了吗？你现在会求几何概型的概率了吗？2021/8/9 星期一8 D D的测度不为的测度不为0 0,当当D D分别是分别是线段线段、平面平面图形图形、立体图形立体图形等时
6、等时,相应的相应的“测度测度”分别分别是是长度、面积和体积长度、面积和体积.区域应指区域应指“开区域开区域”，不包含边界点；在区域，不包含边界点；在区域D D内随内随机取点是指：该点落在机取点是指：该点落在D D内任何一处都是等可能的，落内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性只与该部分的测度成正比而与其在任何部分的可能性只与该部分的测度成正比而与其性状位置无关性状位置无关探究探究:根据前面的引例根据前面的引例,你怎么来理解你怎么来理解测度测度这这个概念的个概念的?它可以表示哪些量它可以表示哪些量?注意注意:2021/8/9 星期一9几何概型几何概型是无限多个等可能事件的情况，是无限多个等
7、可能事件的情况，而而古典概型古典概型中的等可能事件只有有限多个；中的等可能事件只有有限多个；想想一一想想？古典概型与几何概型的区别古典概型与几何概型的区别是什么是什么?2021/8/9 星期一10 例例1.1.取一个边长为取一个边长为2a2a的正方形及其内切圆，随机向正的正方形及其内切圆，随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率.2a数学应用数学应用2021/8/9 星期一11数学拓展数学拓展：模拟撒豆子试验估计圆周率：模拟撒豆子试验估计圆周率由此可得由此可得如果向正方形内撒如果向正方形内撒 颗豆子，其中落在圆内的颗豆子，其中落在圆内的豆子数为豆子数
8、为 ，那么当，那么当 很大时，比值很大时，比值 ，即频率应接近与即频率应接近与 ，于是有，于是有2021/8/9 星期一121 1.两根相距两根相距8m8m的木杆上系一根拉直绳子的木杆上系一根拉直绳子,并在绳并在绳子上挂一盏灯子上挂一盏灯,求灯与两端距离都大于求灯与两端距离都大于3m3m的概率的概率.针对练习解解：记：记“灯与两端距离都大于灯与两端距离都大于3m”为事件为事件A，由于绳长由于绳长8m，当挂灯位置介于中间，当挂灯位置介于中间2m时，事件时，事件A发生，于是发生，于是2021/8/9 星期一131.1.某人午休醒来，发觉表停了，他打开收音机想听电某人午休醒来，发觉表停了，他打开收音
9、机想听电台整点报时，求他等待的时间短于台整点报时，求他等待的时间短于1010分钟的概率分钟的概率.打开收音机的时刻位于打开收音机的时刻位于5050，6060时间段内则事件时间段内则事件A A发生发生.由几何概型的求概率公式得由几何概型的求概率公式得 P P（A A）=（60-5060-50）/60=1/6/60=1/6即即“等待报时的时间不超过等待报时的时间不超过1010分钟分钟”的概率为的概率为1/6.1/6.练一练练一练:解解：记记“等待的时间小于等待的时间小于1010分钟分钟”为事件为事件A A，2021/8/9 星期一142.2.已知地铁列车每已知地铁列车每10min10min一班一班
10、,在车站停在车站停1min.1min.求乘客到达站台立即乘上车的概率求乘客到达站台立即乘上车的概率.2021/8/9 星期一15 3.3.在在1 1万平方公里的海域中有万平方公里的海域中有4040平方公里的大陆贮平方公里的大陆贮藏着石油藏着石油.假如在海域中任意一点钻探假如在海域中任意一点钻探,钻到油层面钻到油层面的概率是多少的概率是多少?练一练练一练:4.4.如右下图如右下图,假设你在每个图形上随机撒一粒黄假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆豆,分别计算它落到阴影部分的概率分别计算它落到阴影部分的概率.2021/8/9 星期一16课堂小结课堂小结：1.几何概型的定义；几何概型的定义；2.几何概型
11、的特点；几何概型的特点；3.几何概型与古典概型的区别；几何概型与古典概型的区别；4.几何概型概率的求法。几何概型概率的求法。2021/8/9 星期一17例例2 2.在在1L1L高产小麦种子中混入了一粒带高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病麦锈病的种子的种子,从中随机取出从中随机取出10mL,10mL,含有麦锈病种子的概率是多少含有麦锈病种子的概率是多少?5.5.有一杯有一杯1 1升的水升的水,其中含有其中含有1 1个大肠杆菌个大肠杆菌,用一个小杯从这杯水中取出用一个小杯从这杯水中取出0.10.1升升,求小求小杯水中含有这个细菌的概率杯水中含有这个细菌的概率.练一练练一练:2021/8/9 星期一1
12、8例例3：在等腰直角三角形：在等腰直角三角形ABC中，在斜边中，在斜边AB上任取一点上任取一点M，求，求AM小于小于AC的概率。的概率。CABC解：解：在在AB上截取上截取AC=AC于是于是 P（AMAC）=P（AM AC）答答：AM小于小于AC的概率为的概率为2021/8/9 星期一19练习：练习：1.如图，在直角坐标系内，射线如图，在直角坐标系内，射线OT落在落在60的终边上，任作一条射线的终边上，任作一条射线OA，求射线，求射线OA落在落在XOT内的概率。内的概率。0XYT2.已知集合已知集合现在集合内任取一点现在集合内任取一点,使得使得 的概率的概率是是 .2021/8/9 星期一20
13、 3.(会面问题会面问题)甲、乙二人约定在 12 点到 5 点之间在某地会面，先到者等一个小时后即离去,设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的，且二人互不影响。求二人能会面的概率。解：解：以以 X,YX,Y 分别表示甲、乙二人到达的时刻，分别表示甲、乙二人到达的时刻，于是于是即即 点点 M M 落在图中的阴影部落在图中的阴影部分分.所有的点构成一个正方所有的点构成一个正方形，即有形，即有无穷多个结果无穷多个结果.由于每人在任一时刻到达由于每人在任一时刻到达都是等可能的，所以落在正都是等可能的，所以落在正方形内各点是方形内各点是等可能的等可能的.M(X,Y)y543210 1 2 3 4 5x
14、2021/8/9 星期一21二人会面的条件是：二人会面的条件是：0 1 2 3 4 5yx54321y=x+1y=x-1记记“两人会面两人会面”为事件为事件A2021/8/9 星期一22练习练习:假设你家订了一份报纸假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上送报人可能在早上6:307:306:307:30之之间把报纸送到你家间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上你父亲离开家去工作的时间在早上7:007:008:008:00之间之间,问你父亲在离开家前能得到报纸问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件称为事件A)A)的概率的概率是多少是多少?2021/8/9 星期一23课堂小结课堂小结1.1
15、.古典概型与几何概型的区别古典概型与几何概型的区别.相同：相同：两者基本事件的发生都是等可能的；两者基本事件的发生都是等可能的；不同：不同：古典概型要求基本事件有有限个，古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个几何概型要求基本事件有无限多个.2.2.几何概型的概率公式几何概型的概率公式.3.3.几何概型问题的概率的求解几何概型问题的概率的求解.2021/8/9 星期一24 1964 1964年年4545月间，小麦锈病在全国麦区流月间，小麦锈病在全国麦区流行，华北、西北冬麦区大流行。据统计，全行，华北、西北冬麦区大流行。据统计，全国发生面积国发生面积800800万公顷，损失小麦约万公顷，损失小麦约3232亿公斤。亿公斤。发病大都以条锈病为主，发病后蔓延快发病大都以条锈病为主，发病后蔓延快,危危害重害重.小麦感病后，由于养料被病菌夺取小麦感病后，由于养料被病菌夺取,叶绿叶绿素遭受破坏素遭受破坏,光合作用面积减少光合作用面积减少,叶片表皮破裂叶片表皮破裂,水分蒸腾量增加水分蒸腾量增加,呼吸作用加强呼吸作用加强,至使麦株生长至使麦株生长发育受阻。感病轻的发育受阻。感病轻的,麦粒不饱满，影响产量麦粒不饱满，影响产量,出粉率差出粉率差;感病重的感病重的,麦粒不能灌浆麦粒不能灌浆,造成大幅度造成大幅度减产减产。麦锈病的危害麦锈病的危害2021/8/9 星期一25