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1、第四节定积分的概念定积分的概念定积分的概念定积分的概念定积分的概念 引例引例引例引例11曲边梯形的面积（曲边梯形的面积（曲边梯形的面积（曲边梯形的面积（演示演示演示演示）其中其中设物体的运动速度设物体的运动速度设物体的运动速度设物体的运动速度引例引例引例引例22变速直线运动的路程变速直线运动的路程变速直线运动的路程变速直线运动的路程细分细分取近似值取近似值作和作和取极限取极限（1）ti-1ti(2)取近似值取近似值 （3）作和）作和（4）取极限）取极限 T1T2vt曲边梯形面积曲边梯形面积A：变速运动的路程变速运动的路程 S：记为记为记为记为定积分的概念（定积分的概念（定积分的概念（定积分的概
2、念（演示演示演示演示）1.1.若函数若函数若函数若函数 在在在在 上连续，上连续，上连续，上连续，2.2.若函数若函数若函数若函数 在在在在 上上上上有界有界有界有界，且只有有限个间断点，且只有有限个间断点，且只有有限个间断点，且只有有限个间断点，定积分存在的充分条件定积分存在的充分条件则则则则 在在在在 上可积。上可积。上可积。上可积。则则则则 在在在在 上可积。上可积。上可积。上可积。有界是函数在区间有界是函数在区间a,b上可积的必要条件。上可积的必要条件。表示曲线与表示曲线与 x 轴围成的图形面积的轴围成的图形面积的代数和代数和。表示曲线与表示曲线与 x 轴围成的图形面积。轴围成的图形面
3、积。定积分的几何意义（定积分的几何意义（演示演示）abA1A2A3若若 是奇函数，则是奇函数，则若若 是偶函数，则是偶函数，则a-a定积分的几何意义定积分的几何意义-aa定积分几何意义的应用定积分几何意义的应用14281730 xy-33定积分几何意义的应用定积分几何意义的应用把区间把区间分成分成n等份，每份长等份，每份长，各分点是：，各分点是：解解 因为因为 在在 上连续，所以上连续，所以 存在存在例例 用定义求定积分用定义求定积分补充规定补充规定：abxx+dx定积分的基本性质定积分的基本性质无论无论 a,b,c 的相对位置如何，（的相对位置如何，（3）式均成立。）式均成立。可推广至有限个
4、函数的代数和的情形。可推广至有限个函数的代数和的情形。可推广至有限个函数的代数和的情形。可推广至有限个函数的代数和的情形。bcaacb定积分的基本性质定积分的基本性质若若若若则则则则其中其中其中其中 是是是是 的最小值，的最小值，的最小值，的最小值，是是是是 的最大值。的最大值。的最大值。的最大值。设设设设 在在在在 上连续，则在上连续，则在上连续，则在上连续，则在 上至少有一点上至少有一点上至少有一点上至少有一点使使使使（定积分之中值定理）（定积分之中值定理）（定积分之中值定理）（定积分之中值定理）定积分的基本性质定积分的基本性质几何演示几何演示几何演示几何演示 如果变速直线运动物体的运动方
5、程是如果变速直线运动物体的运动方程是如果变速直线运动物体的运动方程是如果变速直线运动物体的运动方程是 S=S(t)S=S(t)，则在时间，则在时间，则在时间，则在时间段段段段TT1 1,T,T2 2 内所发生的位移变化为内所发生的位移变化为内所发生的位移变化为内所发生的位移变化为S(TS(T1 1)-S(T)-S(T2 2)如果物体的运动方程为如果物体的运动方程为如果物体的运动方程为如果物体的运动方程为V=V(t)V=V(t)，则由定积分可知，则由定积分可知，则由定积分可知，则由定积分可知 连续函数连续函数连续函数连续函数 在区间在区间在区间在区间 上的定积分等于它的一个上的定积分等于它的一个
6、上的定积分等于它的一个上的定积分等于它的一个原函数原函数原函数原函数 在积分区间上的增量在积分区间上的增量在积分区间上的增量在积分区间上的增量微积分基本公式微积分基本公式而而？由由由由 的任意性，得的任意性，得的任意性，得的任意性，得积分上限函数及其导数积分上限函数及其导数 若若若若 在在在在 上连续，上连续，上连续，上连续，定积分，定积分，定积分，定积分是积分上限是积分上限是积分上限是积分上限 的函数，称为函数的函数，称为函数的函数，称为函数的函数，称为函数 在区间在区间在区间在区间 上的上的上的上的积分积分积分积分上限函数上限函数上限函数上限函数，记作，记作，记作，记作 ，即，即，即，即
7、定理定理 如果函数如果函数f(x)在区间在区间 a,b上连续，则积分上限函数上连续，则积分上限函数 是是f(x)在在a,b上的一个原函数。上的一个原函数。证明证明 （积分中值定理，（积分中值定理，（积分中值定理，（积分中值定理，介于介于 与与 之间）之间）例例1 求下列函数的导数求下列函数的导数解解解解解解（1）（2）例例1 求下列函数的导数求下列函数的导数解解解解（3）例例1 求下列函数的导数求下列函数的导数解解解解（4）例例1 求下列函数的导数求下列函数的导数解解解解（5）特别地特别地一般地一般地设设设设 在区间在区间在区间在区间 上上上上连续连续连续连续，是它的是它的是它的是它的任意一个
8、原函数，任意一个原函数，任意一个原函数，任意一个原函数，则有则有则有则有微积分基本公式微积分基本公式牛顿牛顿莱布尼兹公式莱布尼兹公式证明思路证明思路 记作记作 例例2 求下列定积分求下列定积分解解 因为因为 在在 上连续，上连续，是它的一个原函数是它的一个原函数 所以所以 解解 原式原式 或或或或解解 原式原式 解解 原式原式 几何意义几何意义 解解 原式原式 几何意义几何意义 解解 原式原式 解解 原式原式 合理应用对称区间上合理应用对称区间上奇偶函数的积分性质，奇偶函数的积分性质，简化定积分的计算。简化定积分的计算。解解设设，求，求分段函数的积分分段函数的积分计算，应分区间计算，应分区间选取相应的函数选取相应的函数函数在函数在x=1处间断处间断？解解 原式原式 积分变量积分变量变变，积分区间积分区间变变若若 是奇函数，则是奇函数，则若若 是偶函数，则是偶函数，则a-a定积分的几何意义定积分的几何意义是偶函数，是偶函数，是奇函数。是奇函数。-aa偶函数偶函数 奇函数奇函数 再见！