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1、基本立体图形T柱体）立体几何初步立体几何初步第八章立体几何初步章节提升知识框架T棱柱卜（圆柱卜-WP台体L（球体）立体图形的自观图简单几何体的表面 积、体积间、缘面间位关 空点直平之的置系空间直线、平面 的平行空间直线、平面 的垂直r棱台卜(简单组合体水平放置的平面 1图形的直观图,-空间几何体的直观图一（斜二侧画法）T柱体卜一咋5儿5袅二他+S底）表=s 侧+S 氏T台体）一l/=l(SW+S/)/bS 表=5 储+S 底q 球)一 V=ttRS 衰=4ir/?2平面的概念及表示方法ini)（平面的基本性质）庭本事实1、2、3）（应用）（用文字语言，符号语言，图形语言描述点、直线、平面之间的
2、关系:空间中直线与直线 的位置关系（异面直线但而直线所成的刑基本事实4）T平行直线）空间中直线与平面的位置关系(W平面与平面的位置关系L在平面内)-0)-dg-dD-直线与平面平行的判定卜1 平面与平面平行的判定 直线与平面平行的性质）一 平面与平面平行的性质卜一 （直线写平面垂直的判定 平而与平面垂直的判定 直线与平面垂直的性质 （平面与平面垂直的性质）平行、垂直关系的互相转化一空间中角的求法是（）A.平行B.平行或异面C.平行或相交D.异面或相交【解析】 由直线与平面平行的判定定理，可知CDa,所以。与平面a内的直线没有公共点.4.空间四点A, B, C,。共面而不共线，那么这四点中（）A
3、,必有三点共线B,必有三点不共线C.至少有三点共线D.不可能有三点共线【解析】VA, B, C, D共面而不共线，这四点可能有三点共线，也可能任意三点不共线，A错.如果 四点中没有三点不共线，则四点共线，矛盾，B正确.当任意三点不共线时，也满足条件，C错.当其中三点 共线，第四个点不共线时，也满足条件，D错.5.如图所示，正方形中，E,尸分别是A3, AQ的中点，将此正方形沿折成直二面角后，异 面直线AF与BE所成角的余弦值为（）A.亭B.1c正C. 5D.之一【解析】 过点歹作交BC于H,过点A作AG，：r,交EF于G,连接G，则NAF” 为异面直线A尸与BE所成的角.设正方形A5CQ的边长
4、为2,在AAG中，AH=1/|+,=小，在AAFH 中，AF=l9 FH=2, AH=g A cosZAFH=1.6. E, F, G分别是空间四边形ABC。的棱3C, CD, D4的中点，则此四面体中与过E, F, G的截面 平行的棱的条数是（）A. 0B, 1二二 IC. 2D. 3【解析】 在ACO中，YG,尸分别为AD与CD的中点，G/AC.而GRz平面EFG, ACC平面 EFG,平面E/P.同理，80平面EbG.故选C.7.正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为（A ）8171A.B. 16兀C. 9兀C. 9兀D.27兀【解析】 如图所示，
5、设球的半径为R,球心为。，正四棱锥的底面中心为。，B. 45C. 60A. XM/DP.正四棱锥 PABC。中 A8=2, ：.AOf=2/：POf=4,，在 Rt2k AOO中，AC）2=ao,2+oo,2, R2= （、n）2+（4R）2,解得R=*该球的表面积为4兀R2=4兀xg）2=誓，故选A.8 .如图，在直三棱柱ABCABG中，。为48的中点，AB=BC=BB1=2, AC=2小，则异面直线 8。与AC所成的角为（A. 30D. 90【解析】如图，取囱G的中点,连接BE, DE,贝I ACACiQ,则N3DE即为异面直线与 AC所成的角.由条件可知瓦）=。=即=小，所以N8DE=6
6、0。，故选C.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是 符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得。分）9 .以下关于空间几何体特征性质的描述，错误的是（）A.以直角三角形一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体是圆锥10 有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱C.有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥D.两底面互相平行，其余各面都是梯形，侧棱延长线交于一点的几何体是棱台【解析】 以直角三角形的一个直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体 是圆锥，可得A错误；
7、有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体可能是棱台，不一定是棱柱，故 B错误；有一个面是多边形，其余各面都是有公共顶点三角形的几何体叫棱锥，故C错误；根据棱台的定 义，可得D正确.故选ABC.10.如图，在平行六面体ABC。-4囱中，点P,。分别为棱AB, CD, 3c的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则下列说法正确的是（8. AiM/ZBiQD. 平面 DiPQBi【解析】连接PM,因为为A& 8的中点，故PM平行且等于AD由题意知平行且等于4。, 故PM平行且等于4。，所以为平行四边形，所以故A正确；显然AM与EQ为异面 直线，故B错误；由A知4。尸，由于OiP既在平面。CGQ内，又
8、在平面。iPQ5内，且4M即不 在平面OCGDi内，又不在平面。iPQ囱内，故C、D正确.故选ACD.11 .如图，在四面体A8C。中，截面尸QMN是正方形，则在下列命题中，一定正确的为（）A. ACBD4/l/ B. 4c截面 PQMNC. AC=BDD.异面直线PM与所成的角为45。【解析】VQM/PN,/.QM平面 AB。，：.QM/BD,同理可得 ACmV, VQM/BD, AC/MN.MNMNLQM, ：.AC1BD9 A 正确；,:hC/MN,截面 PQMN, B 正确；VQM/BD, AC/MN,AC+需 =1,C不一定正确；.。例/)，异面直线PM与3。所成的角为NPMQ=45
9、。，D正确.故选ABD.12 .正方体ABC。一4BC。的棱长为1, E, F, G分别为BC, CC), 8囱的中点.则(A.直线与直线A厂垂直13 直线4G与平面AE/平行9C.平面AE/截正方体所得的截面面积为福D.点C与点G到平面AEb的距离相等【解析】 取。中点则AM为A/在平面上的射影，AM与DDi不垂直，:.A尸与DDi 不垂直，故A选项错误；VAiGDiF, 4GC平面4G平面AE/Xh,故B选项正确；平面AE/9截正方体所得截面为等腰梯形AE尸易知梯形面积为M故C选项正确；假设。与G到平面AE厂的距离 O相等，即平面AEb将CG平分，则平面AEb必过CG中点，连接CG交E尸于
10、，而不是CG中点，则 假设不成立.故D选项错误.故选BC.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13. 一个圆柱的侧面展开图是一个边长为1的正方形，则该圆柱的体积是一.【解析】:圆柱的侧面展开图是边长为1的正方形，该圆柱的高h= 1,底面周长2=1，底面半径r=T-,2兀J该圆柱的体积V=7CX七X1=V4兀-4兀14. 一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米，则此球 的半径为一厘米.43/【解析】丫=5=兀3/=铲/?3, r= #64x27= 12(cm).15 .已知。，b表示直线，a, B，7表示平面.若aCl夕=，bua, JLb,
11、贝1J aJ_夕；若aua, 4垂直于夕内任意一条直线，则a_L夕；若aJ_4，aH/3 =q, aCy=b,贝lj a_Lb；若 q_Lq,allb,则 a夕.上述命题中，正确命题的序号是.【解析】对可举反例，如图，需才能推出对可举反例说明，当y不与a,4的交线垂直时，即可知。，人不垂直；根据面面、线面垂直的定义与判定知正确.I)16 . （2020全国I卷理）如图，在三棱锥P-ABC的平面展开图中，AC=1, AB=AD= ABLAC, ABA.AD, ZCAE= 30% cosZFCB= .【解析】 VAB1AC, AB=小,AC=1,由勾股定理得BC=4A+4=2,同理得 8。=福，：
12、BF=BD=黄,在ACE 中，AC=1, AE=AD=小,ZCAE= 30, 由余弦定理得 CE2=AC2+AE2-2AGAEcos30= 1 + 3-2xlxV3x= 1, 乙14,：.CF= CE= 1,在 BCF 中,BC=2, BF=#,CF=1, 工人田,曰 /CF2+BC B产 1+4-6由余弦正理付 cosZFCB=2CFBC = 2x1x2 =-四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17 .(本小题满分10分)某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图所示，墩的上半部分是正四棱锥尸 -EFGH,下半部分是长方体ABCD一rG”.长方体的长、宽
13、、高分别是40 cm、40 cm、20 cm,正四棱锥P 一 EFGH 的高为 60 cm.求该安全标识墩的体积；求该安全标识墩的侧面积.【解析】 该安全标识墩的体积 V= Vp-efgh Vacd-efgh=x402x60+402x20=64 000(cm3).(2)如图，连接EG, ”方交于点O,连接尸O,结合三视图可知OP=60cm, OG=：EG=2Scm,可得 PG=j602 + (2Oj2)2 = 2()Vh(cm).于是四棱锥 P-EFGH 的侧面积 Si = 4x1x40x/(20)2-202 = 1 60()VT0(cm2),四棱柱 EFGH-ABCD 的侧面积 S2=4x4
14、0x20=3 200(cm2),故该安全标识墩的侧面积5=Si+52=1 600(V10 + 2)(cm2).18 .(本小题满分12分)如图所示，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融 化了，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由.1 4 I 4128【解析】 不会溢出杯子.理由如下：由题图可知半球的半径为4cm,所以V半球=?/叱=$*43=号 兀(cm3), y 圆锥=；兀/=5%42*12 = 64兀91113).因为V半球0,而 AD=3BC,.AD=3OD9即点。是靠近点。的线段AD的一个三等分点.(2)证明：:侧面处J_ 底面 ABCO,平面融0n平面ABu底
15、面 A5cO, AAB1AD,A3_L平面PAD,又POu平面PAD, A8_LPD又PAA.PD,ABHPA=A9 AB, aiu平面以&PDJL平面外反又PDu平面尸CO, J平面以5,平面PCD20 .(本小题满分12分)(2020江苏卷)在三棱柱A5CA151cl中,ABAC, -CJL平面ABC, E, F分 别是AC, 8C的中点.(1)求证：M平面A8G;(2)求证：平面ABCJ_平面ABB.【解析】 因为E,尸分别是AC, 8。的中点，所以及%A3.又ERf平面ABC, 45iu平面AEG,所以政平面AEG.(2)因为 BiC_L平面 ABC, A3u平面 ABC, 所以8C_
16、LABAB LAC. SCu 平面 ASCi, ACu 平面 ABC, BiCAAC=C,所以A3,平面ABC.又因为ABu平面ABBi,所以平面ABC平面ABB.21 .(本小题满分12分)在三棱锥SA5C中，SAL底面ABC, ABLBC,。石垂直平分SC且分别交AC SC 于E,又&4=A3, SB=BC.(1)求证：3。J_平面SAC；(2)求二面角E-BD-C的大小.【解析】(1)证明：如图，9： DEL SC,且为SC的中点，又SB=BC, ：.BE,LSC.又 DECBE=E,根据直线与平面垂直的判定定理知SCJ_平面BDE,3。匚平面8。, ：.SCBD,又 SA，平面 ABC
17、, BOu平面 ABC, ：.SA,LBD.又SAHSC=S, 平面SAC.(2)由(1)知NEOC为二面角&)C的平面角，又4 SACsADEC, ：.ZEDC= ZASC.在 RtA SAB 中,ZSAB=90 9设 S4=A5=1,则由 sabc9 ab.lbc9 abhsa=a,8CJL平面SAB, SBu平面SAB,：.BCSB.在 RQS3C 中，SB=BC=y29 ZSBC=90,则 SC=2.在 RQ SAC 中，ZSAC=90, SA=h SC =2.：.ZASC=609 即二面角 EBDC 的大小为 60.22 .(本小题满分12分)如图,在三棱柱ABC4BG中，44平面A
18、3C, AC=BC, AB=2AiA=4. 以AB, 5C为邻边作平行四边形ABC。，连接AQ, DG.(1)求证：0G 平面 44381；(2)若二面角 Ai-DC-A 为 45.求证：平面AC。，平面AMD；求直线ABx与平面4AO所成角的正切值.【解析】(1)证明：连接A囱，9：AD/BC/BC 且 AD=BC=BC.：.四边形ADCiBi为平行四边形,又TABiU平面DGC平面4面.OG 平面AlABBi.(2)证明：如图，取。C的中点连接AM, AM.易知 RtA AiAO也为 AiAC, ：.AD=A1C9 ：.AMA.DC, 又 AM_LOC,/. XAMA为二面角Ai DCA的
19、平面角， 乙4心=45.在 RS A/M 中,AAx=AM=291,AD=AC=2：.ACAD,XVAClAAi, ADHAAi=A9 平面 AADXVACAiCi, 4G_1_平面 AAD,AiGu平面 AC。,，平面AiGQ_L平面AADABG,/.DC与平面AAD所成角等于AB与平面AAD所成角. 由知4G_L平面AiAD9：.AyD为DCx在平面Ai AD内的射影，故DG为直线0G与平面A i A。所成角，AC 6在 RtA AiDC 中，tunADC =7tt=公， AL) 3,直线ABi与平面AMD所成角的正切值为坐.核心归纳几何体面积体积圆柱S侧=2兀丫=夕2 =兀/圆锥S侧=兀
20、厂/VSh3兀产力3兀，勺及 产圆台S侧=兀（门+卷）/V=1（S上+ S下+、/S上S下）h=1 兀（r? +搂+门刀）力直棱柱S 侧=ChV=Sh1.柱体、锥体、台体和球体的侧面积和体积公式几何体面积体积正棱锥S tj =ChV-Sh正棱台S侧一;(C+C 川V；(S 上+S 卜球S球面=4兀7?24 V=T7l/?32 .空间中线线关系空间中两条直线的位置关系有且只有相交、平行、异面三种情况.两直线垂直有“相交垂直”与“异面垂直”两种情况.（1）证明线线平行的方法线线平行的定义；基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行；线面平行的性质定理：a/a9 夕，aCB=b=ab,线面垂直的
21、性质定理：_La, b.La=a/b；面面平行的性质定理：a夕，aCy=a, 0Cy=bnab.（2）证明线线垂直的方法线线垂直的定义：两条直线所成的角是直角（在研究异面直线所成的角时，要通过平移把异面直线转化为相交直线）；线面垂直的性质：aA-a, buanalb,线面垂直的性质：Q_La, b/a=a.Lb.3 .空间中线面关系：直线与平面之间的位置关系有且只有线在面内、线面相交、平行三种.（1）证明直线与平面平行的方法线面平行的定义；判定定理：aCa, bua, ab=aa；平面与平面平行的性质：a0, auana&(2)证明直线与平面垂直的方法线面垂直的定义；m, Uq, mCn=A判
22、定定理1：, , 一p/cc；I -L Z7?, I 判定定理2： 4。，面面平行的性质定理：a/p, 6/a=6z；面面垂直的性质定理：aC.= l, qUq, qJ_/=q_L.4 .空间中面面关系：两个平面之间的位置关系有且只有平行、相交两种.(1)证明面面平行的方法面面平行的定义；面面平行的判定定理：adb氏aca, bca, anb=A=a仇线面垂直的性质定理：a_La, aJ_0nap；基本事实4的推广：ay, pY=ap.(2)证明面面垂直的方法面面垂直的定义：两个平面相交所成的二面角是直二面角；面面垂直的判定定理：ap, aua=a_L0.考点讲解考点1:空间几何体的表面积与体
23、积【例1】 如图所示的三棱锥0-A3C为长方体的一角.其中04, 0B,。两两垂直，三个侧面043, OAC, 0BC的面积分别为1.5 cm2 1 cm3cm2,求三棱锥0-ABC的体积.【解析】设。4, OB, 0C的长依次为xcm, y cm, z cm,则由已知可得/孙=1.5, gxz=l, g，z=3解得 x=l，=3, z2.将三棱锥0-A5C看成以。为顶点，以。A3为底面.易知0C为三棱锥C-O48的高.于是 Vo-abc= Vc-oab=S oAB,OC=yAD,设PC与OE所成的角为a, PD与平面ABC所成的角为二面角尸-BC-A的平面角为1则a, B，y的大小关系是.【
24、解析】:。、石分别是3C、43的中点，J.DE/AC,与 OE 所成的角为 NPC4, 即a； AH,又 ACAD,一.PA PA PA：.ACADAH,/1C /LJ A”/. tan atan /?tan y,：.a/3y.章节过关练一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的）1.给出下列命题：在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等.其中真命题的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3【解析】不一定，只
25、有当这两点的连线平行于轴时才是母线；不一定，因为“其余各面都是三角形” 并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”，如图所示；错误，棱台的上、下底面相似且是对应 边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等.2 .以长为8 cm,宽为6 cm的矩形的一边为旋转轴旋转而成的圆柱的底面面积为（）A. 64兀 cm2B. 36兀 cm2C.64兀cm2或3 6兀cm2C.64兀cm2或3 6兀cm2D. 4871 cm2【解析】 分别以长为8cm,宽为6cm的边所在的直线为旋转轴，即可得到两种不同大小的圆柱，显 然C选项正确.3 .梯形ABCQ中，AB/CD, A3u平面a, COC平面则直线CO与平面a内的直线的位置关系只能