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1、2008年全国初中数学竞赛浙江赛区初赛模拟试题（本卷满分120分，考试时间120分钟，允许使用科学计算器）一、选择题（共8小题，每小题5分，计40分每小题都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中有且只有一个正确，请将它前面的代号填入题后的括号内，多选、少选、不选皆不得分）1关于x的方程ax2bxc0的根为2和3，则方程ax2bxc0的根为（）（A）2，3（B）6，1（C）2，3（D）1，62已知动点P在边长为2的正方形ABCD的边上沿着ABCD匀速运动，x表示点P由A点出发所经过的路程，y表示APD的面积，则y和x之间函数关系的图像大致为（）（A）（B）（C）（D）3将一个三位数的三个数字顺
2、序颠倒，将所得到的数与原数相加，若所得的和中没有一个数字是偶数，则称这个数为“奇和数”那么，所有的三位数中，“奇和数”有多少个？（）（A）200（B）120（C）160（D）1004设a、b、c均为正数，若，则a、b、c三个数的大小关系是（）（A）cab（B）bca（C）abc（D）cba5三角形的三内角A、B、C的对边长分别是a、b、c（a、b、c都是素数），且满足abc16，又设A是最小内角则cosA的值是（）（A）（B）（C）（D）条件不足，无法计算6美是一种感觉，本应没有什么客观的标准，但在自然界里，物体形状的比例却提供了在匀称与协调上的一种美感的参考，在数学上，这个比例称为黄金分割在
3、人体躯干（由脚底至肚脐的长度）与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，也就是说，若此比值越接近，就越给别人一种美的感觉如果某女士身高为，躯干与身高的比为，为了追求美，她想利用高跟鞋达到这一效果，那么她选的高跟鞋的高度约为（）（A）（B）（C）（D）7如图2，一个边长分别为3cm、4cm、5cm的直角三角形的一个顶点与正方形的顶点B重合，另两个顶点分别在正方形的两条边AD、DC上，那么这个正方形的面积是（）（A）cm2（B）cm2（C）cm2（D）cm28将抛物线y2x212x22绕点（5，2）旋转180后得到的新抛物线与坐标轴的交点个数是（）（A）3（B）2（C）1（D）0二、填空题（共6小题
4、，每小题5分，计30分）9已知两圆的圆心分别在（2，0）、（0，2），半径都是2则两圆公共部分的面积是_10如果三位数满足abc或abc，则称这个三位数为“严格排序三位数”那么，从所有三位数中任意取出一个恰好是“严格排序三位数”的概率是_11若为（n是任意正整数）的各位数字之和，如，则；记，k是正整数，则_12已知三个正整数x，y，z的最小公倍数是300，并且满足，则此方程组的解（x，y，z）_13如果一个圆的直径和它的一条弦长分别为a、b，且这条弦的弦心距是正有理数，又已知a、b都是两位正整数，它们的十位数字和个位数字刚好互换位置则a2b2的值是_14抛物线yn(n1)x2(3n1)x3与直
5、线ynx2的两个交点的横坐标分别是x1、x2，记dnx1x2则代数式d1d2d3d2009的值是_三、解答题（共4小题，第15、16、17题每题12分，第18题14分，计50分）15已知a1、a2、a3、a4、a5、a6、a7这七个实数满足下列三个方程：（1）a14a29a316a425a536a649a72008，（2）4a19a216a325a436a549a664a7208，（3）9a116a225a336a449a564a681a728试求下列代数式的值：16a125a236a349a464a581a6100a716请你利用直角坐标平面上任意两点(x1，y1)、(x2，y2)间的距离公
6、式解答下列问题：已知：反比例函数与正比例函数的图象交于A、B两点（A在第一象限），点F1（2，2）、F2（2，2）在直线上设点P（x0，y0）是反比例函数图象上的任意一点，记点P与F1、F2两点的距离之差dPF1PF2试比较线段AB的长度与d的大小，并由此归纳出双曲线的一个重要定义（用简练的语言表述）17ABC的内切圆分别切BC、CA、AB三边于D、E、F，G是EF上的一点，且DGEF，求证：DG平分BGC18观察下列图形： 如果按这个规律一直排到第n个图形，请探究下列问题：（1）设第n个图形和第n1个图形中所有三角形的个数分别为an、an1，问：它们之间有什么数量关系？请写出这个关系式（2）
7、请你用含n的代数式来表示an，并证明你的结论2008年全国初中数学竞赛浙江赛区初赛模拟试题参考答案及评分标准一、选择题（共8小题，每小题5分，计40分每小题的答案中有且只有一个正确，多选、少选、不选皆不得分）1关于x的方程ax2bxc0的根为2和3，则方程ax2bxc0的根是（ B ）A . 2，3 B. 6，1 C.2，3 D. 1，62已知动点P在边长为2的正方形ABCD的边上沿着ABCD匀速运动，x表示点P由A点出发所经过的路程，y表示APD的面积，则y和x之间函数关系的图像大致为 （ A ） A B C D3将一个三位数的三个数字顺序颠倒，将所得到的数与原数相加，若所得的和中没有一个数
8、字是偶数，则称这个数为“奇和数”那么，所有的三位数中，“奇和数”有多少个？ （ D ）A.200 B.120 C.160 D.1004设a、b、c均为正数，若，则a、b、c三个数的大小关系是 （ A ）A.cab B.bca C.abc D.cba5三角形的三内角A、B、C的对边长分别是a、 b、 c(a、 b、 c都是素数)，且满足abc16，又设A是最小内角则cosA的值是（ C ） A . B . C. D.条件不足，无法计算6美是一种感觉，本应没有什么客观的标准，但在自然界里，物体形状的比例却提供了在匀称与协调上的一种美感的参考，在数学上，这个比例称为黄金分割在人体躯干（由脚底至肚脐的
9、长度）与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，也就是说，若此比值越接近，就越给别人一种美的感觉如果某女士身高为，躯干与身高的比为，为了追求美，她想利用高跟鞋达到这一效果，那么她选的高跟鞋的高度约为 （C ）ABCD7如图2，一个边长分别为3cm、4cm、5cm的直角三角形的一个顶点与正方形的顶点B重合，另两个顶点分别在正方形的两条边AD、DC上，那么这个正方形的面积是（ D ）Acm2 Bcm2 Ccm2 D.cm28将抛物线y2x212x22绕点（5，2）旋转180后得到的新抛物线与坐标轴的交点个数是 （ B ）A .3 B .2 C .1 D.0二、填空题（共6小题，每小题5分，计30分每
10、小题应填的正确答案唯一，多填则不给分；分数未约分或化成小数都给分）9已知两圆的圆心分别在（2，0）、（0，2），半径都是2则两圆公共部分的面积是_10如果三位数满足abc或abc，则称这个三位数为“严格排序三位数”那么，从所有三位数中任意取出一个恰好是“严格排序三位数”的概率是_11若为（n是任意正整数）的各位数字之和，如，则；记，k是正整数，则_11_12已知三个正整数x，y，z的最小公倍数是300，并且满足，则此方程组的解（x，y，z）_(20，60，100)_13如果一个圆的直径和它的一条弦长分别为a、b，且这条弦的弦心距是正有理数，又已知a、b都是两位正整数，它们的十位数字和个位数字刚
11、好互换位置则a2b2 的值是_7361_14抛物线yn(n1)x2(3n1)x3与直线ynx2的两个交点的横坐标分别是x1、x2，记dnx1x2 .则代数式d1d2d3d2009的值是_ 三、解答题（共4小题，第15、16、17题每题12分，第18题14分，计50分每题的得分严格按评分标准给分，不要再分步给中间分；另外的解法也同样按此标准给分）15已知a1、a2、a3、a4、a5、a6、a7这七个实数满足下列三个方程：（1）a14a29a316a425a536a649a72008，（2）4a19a216a325a436a549a664a7208，（3）9a116a225a336a449a564
12、a681a728试求下列代数式的值：16a125a236a349a464a581a6100a7解：观察（1）（2）（3）式及所求代数式中a1、a2、a3、a4、a5、a6、a7这七个未知数前面的系数，可以发现每个未知数前面的四个系数依次是n2 、(n1)2、(n2)2、(n3)2，而这四个数之间有下列关系： n23(n1)23(n2)2(n3)2 （6分）所求代数式的值（1）3（2）3（3）200832083281468 （6分）16.请你利用直角坐标平面上任意两点(x1，y1)、(x2，y2)间的距离公式 解答下列问题：已知：反比例函数与正比例函数的图象交于A、B两点（A在第一象限）， 点F
13、1（2，2）、F2（2，2）在直线上设点P（x0，y0）是反比例函数图象上的任意一点，记点P与F1、F2两点的距离之差dP F1 P F2.试比较线段AB的长度与d的大小，并由此归纳出双曲线的一个重要定义（用简练的语言表述）解：解由和组成的方程组可得A、B两点的坐标分别为 （，）、（，），线段AB的长度4 （2分）点P（x0，y0）是反比例函数图象上一点， y0P F1，P F2，（3分）dP F1 P F2，当x00时，d4；当x00时，d4 （3分）因此，无论点P的位置如何，线段AB的长度与d一定相等（2分）由此可知：到两个定点的距离之差（取正值）是定值的点的集合（轨迹）是双曲线（意思对即
14、可，不强求表达的严密性） （2分）17ABC 的内切圆分别切BC、CA、AB三边于D、E、F，G是EF上的一点，且 DGEF，求证：DG平分BGC证明：连结DF、DE，设N、K分别是DF、DE的中点，连结BN、CK则：RtBFNRtDEG， (2分) RtCEKRtDFG， （2分）BFGEDFDECEFG （4分），而BFGCEG （2分）BFGCEG，于是BGFCGEDGEF， BGDCGD即DG平分BGC （2分）18观察下列图形： 如果按这个规律一直排到第n个图形，请探究下列问题：（1）设第n个图形和第n1个图形中所有三角形的个数分别为an、an1，问：它们之间有什么数量关系？请写出这
15、个关系式（2）请你用含n的代数式来表示an，并证明你的结论解：（1）按题中图形的排列规律可得：an3an12 （3分）（2）由（1）得：an3an12 ，an13an22 ，两式相减得：anan13（an1an2） （3分）当n分别取3、4、5、n时，由式可得下列（n2）个等式：a3a23（a2a1）， a4a33（a3a2）， a5a43（a4a3），anan13（an1an2）. （2分）显然anan10，以上（n2）个等式的左右两边分别相乘约去相同的项后得：anan13n2(a2a1) （3分） a2a117512，由（1）又可知an1（an2），将它们代入式即得：an23n1. （3分）