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1、2012年全国高中数学联合竞赛（四川初赛）一、单项选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）1、设集合，则=（ ） A、 B、 C、 D 、 2、正方体中与截面所成的角是（ ） A、 B、 C、 D、 3、已知，则“”是“在上恒成立”的（ ）A、充分但不必要条件 B、必要但不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 4、设正三角形的面积为，作的内切圆，再作内切圆的内接正三角形，设为，面积为，如此下去作一系列的正三角形，其面积相应为，设,，则=（ ）A 、 B 、 C、 D 、25、设抛物线的焦点为，顶点为，是抛物线上的动点，则的最大值为（ ）A 、 B 、 C、 D 、 6、设倒
2、圆锥形容器的轴截面为一个等边三角形，在此容器内注入水，并放入半径为的一个实心球，此时球与容器壁及水面恰好都相切，则取出球后水面高为（ ）A、 B、 C、 D、二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）7、如图，正方形的边长为3，为的中点，与相交于，则的值是 8、的展开式中的常数项是 （用具体数字作答）9、设等比数列的前项和为，满足，则的值为 10、不超过2012的只有三个正因数的正整数个数为 11、已知锐角满足，则的最大值是 12、从1,2,3,4,5组成的数字不重复的五位数中，任取一个五位数，满足条件“”的概率是 三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）13、设函数，
3、（I）求函数在上的最大值与最小值；（II）若实数使得对任意恒成立，求的值14、已知，满足，（I）求的最小值；（II）当取最小值时，求的最大值15、直线与双曲线的左支交于、两点，直线经过点和的中点，求直线在轴的截距的取值范围16、设函数在上的最大值为（）（I）求数列的通项公式；（II）求证：对任何正整数，都有成立；（III）设数列的前项和为，求证：对任意正整数，都有成立 2012年全国高中数学联合竞赛（四川初赛）参考解答一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）1、C 2、A 3、A 4、B 5、B 6、D 二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 7、 8、 9、0 10
4、、14 11、 12、 三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）13、解：（I）由条件知， （5分）由知，于是所以时，有最小值；当时，有最大值 （10分）（II）由条件可知对任意的恒成立， , （15分）由知或。若时，则由知，这与矛盾！若，则（舍去），解得，所以， （20分）14、解：（I）因为 （5分） ，等号成立的条件是，当时，可取最小值2 （10分）（II）当取最小值时，从而，即，令，则 （15分）从而或者（舍去）故在单减，所以在时，有最大值 （20分）15、解：将直线与双曲线方程联立得化简得（5分）由题设知方程有两负根，因此，解得（10分）设，则有，故的中点为，所以直线方程为，其在轴的截距，（15分）当时，其取值范围是所以的取值范围是 （20分）16、解：（I），当时，由知或者， （5分）当时，又，故；当时，又，故；当时，时，；时，；在处取得最大值，即综上所述， （10分） （II）当时，欲证 ，只需证明 所以，当时，都有成立 （15分）（III）当时，结论显然成立；当时，由（II）知 所以，对任意正整数，都有成立 （20分）