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1、计算流体力学基础讲义 1 第三章 偏微分方程的数学性质 3.1 引言 我们知道，流体力学的控制方程属于偏微分方程。因此在对其进行数值求解时，首先要知晓这些控制方程的数学性质，确定控制方程的类型。因为偏微分方程的数学性质，决定了其离散方程的数值求解方法，也决定了边界条件和初始条件的正确提法。【准线性方程的定义准线性方程的定义】在偏微分方程中，有一类方程比较特殊，他们的最高阶偏导数项都是线性的，没有出现最高阶偏导数的乘积和幂次项，且最高阶偏导数的系数是常数或自变量的函数。对于这样一类方程，我们称之为“准线性方程”。根据这一定义，可以知道我们在第二章推导的流体力学控制方程是“准线性的”。【Defin
2、ition of quasi-linear system】The highest-order derivatives occur linearly,i.e.,there are no products or exponentials of the highest-order derivatives-they appear by themselves,multiplied by coefficients which are functions of dependent variables themselves.图 1为本章学习的路线图。通过本章学习，希望同学们学会对这些准线性偏微分方程进行分类，
3、并掌握两种判断偏微分方程类型的方法，能够独立判断方程属于“双曲型”、“抛物型”、“椭圆型”还是“混合型”。图 1 典型网格示意图 本次课，我们主要学习“克莱默法则法”。3.2 准线性偏微分方程的分类：克莱默法则法 为了方便起见，我们首先考虑下面这样一个比较简单的准线性方程组：方法 2特征值方法双曲型方程抛物型方程椭圆型方程混合型方程偏微分方程的分类方法 1克莱默法则计算流体力学基础讲义 2 1111122222 (3.1a)(3.1b)uuvvabcdfxyxyuuvvabcdfxyxy+=+=其中，u、v 是自变量 x 和 y 的函数。如果 u、v 代表流动速度的话，那么该方程组就描述了在
4、x-y 空间内的连续速度场。虽然该方程组不是真实的流动控制方程，但与流动控制方程在某些方面是类似的。方程组中的系数 a1、a2、b1、b2等可能是 x、y、u、v 的连续函数，也可能是常数。当他们为常数时，该方程组为线性偏微分方程；而当他们为 x、y、u、v 的函数时，该方程组为准线性偏微分方程。由于 u、v 是定义在整个 x-y 空间的连续函数，那么在给定某个位置处，/ux、/uy、/vx和/vy为有限值。并且一般情况下，沿空间任意方向计算这些偏导数时，他们的值都是唯一确定的。然而，x-y 空间中可能存在这样特殊的线，沿着这些线，偏导数的值不能唯一确定，通过这些线，偏导数甚至不连续，我们称这
5、样的线为特征线特征线。下面，我们将一起来讨论如何确定特征线，并导出特征线方程。u、v 是 x-y 空间的连续函数，如果我们假设 u、v 的偏导数也是连续的。那么，就可以将 u、v的变化量 du 和 dv 写成如下全微分的形式：uududxdyxyvvdvdxdyxy=+=+将它与原偏微分方程（3.1）联立在一起，就组成了以/ux、/uy、/vx和/vy为未知数的线性方程组。经过整理，可以写成如下矩阵形式：1111122222(3.3)0000abcduxfabcduyfdxdyvxdudxdyvydv=A 我们将系数矩阵记为 A。根据在线性代数学过的“克莱默法则”法，在求第一个未知数/ux时，
6、我们先将 A 的第一列，用方程组的右端列向量替换，形成新的矩阵 B。那么，/ux就等于矩阵 B 和矩阵 A 的行列式之比：计算流体力学基础讲义 3 =uxBA 矩阵 B 和矩阵 A 中包含了数学上的无穷小量：dx、dy、du 和 dv。那么求解/ux，实际上就是在这些小量趋于零时，确定矩阵 B 和矩阵 A 的行列式之比的极限。我们以空间中的任意一点 P 为例（图 2），来讨论如何确定上述极限值。假设过 P 点作一条曲线ab，沿该曲线从 P 点移动一小段距离 ds 到达 2 点，这时 x 方向的移动距离为 dx，y 方向的移动距离为 dy，速度变化量分别为 du 和 dv。我们将 dx、dy、d
7、u、dv 都带入矩阵 A 和矩阵 B 中，如果0A，那么在 dx、dy 趋于 0 时，采用克莱默法则可以确定出/ux的值。同样地，过 P 点作另外一条曲线 cd，经过类似的步骤，在0A的情况下，我们仍然可以求出/ux的值。由于/ux是连续的，那么由这两条曲线计算的/ux值相等。现在，我们考虑一种特殊情况。过P点，如果存在这样一条曲线ef，无论dx、dy如何取值，0A，那么根据克莱默法则，/ux的值是无法不确定的。根据前面给出的特征线定义，这条特殊的曲线ef 就是我们要找的特征线。图 2 过空间一点 P 确定特征线的示意图 实际上，0=A就表示了特征线方程。根据行列式的计算法则，将0=A展开后可
8、以得到 221 22 112211 22 11221()()()()()0(3.8)aca cdyada dbcb c dxdybdb ddx+=两边同时除以()2dx，可得到 21 22 112211 22 11221()()()()0(3.9)dydyaca ca da dbcb cbdb ddxdx+=(3.9)式就是化简后的特征线方程。如果将 dy/dx 看做未知数，则该方程是一个一元二次方程，bPafedcdxdyds2特征线(,)PPudu vdv+(,)PPuv计算流体力学基础讲义 4 2()0(3.10)dydyabcdxdx+=式中：1 22 11 22 11 22 11 2
9、2 1(),(),()aa ca cba da dbcb ccbdb d=+=。根据一元二次方程求根公式，我们可以很容易地求出方程(3.10)式的根：24(3.11)2dybbacdxa=它代表了特征线在当前点(,)x y处的斜率。根的判别式为 24(3.12)Dbac=一元二次方程根的个数决定了特征线存在的个数，进而决定了偏微分方程的数学性质。因此，我们可以根据判别式来判断偏微分方程的类型：1）如果 D 0，则存在两个实数根。此时，偏微分方程存在两条特征线，为双曲型方程。2）如果 D 0，则存在两个相同的实根。此时，偏微分方程存在一条特征线，为抛物型方程。3）如果 D 0，则存在两个虚数根。
10、此时，偏微分方程不存在特征线，为椭圆型方程。【相容性方程相容性方程】在特征线存在的情况下，我们知道沿特征线方向，0A。然而，由于函数 u在 x-y 空间是连续的，/ux的数值不可能取到无穷大。因此，这就要求在特征线上，0B。于是，我们可以得到：11112222=0(3.14)000fbcdfbcddudydvdxdy=B 它是 u、v 在特征线上满足的常微分方程，被称为相容性方程。导出相容性方程对求解偏微分方程具有重要意义。因为相容性方程与原偏微分方程是等价的。相比于原偏微分方程，相容性方程只沿特征线成立，其形式更为简单，可以将复杂的偏微分方程简化为常微分方程，甚至是代数方程。相容性方程结合特
11、征线方程可以给出双曲型方程的特征线解法。以某个一阶准线性偏微分方程为例，来演示特征线法的求解过程。假设偏微分方程形式如下：(,)(,)(,)uua x yb x yc x yxy+=根据前面介绍的克莱默法则法，可以导出其特征线方程：dybdxa=计算流体力学基础讲义 5 它给出了在点(,)x y处的特征线斜率。令曲线表示特征线，将特征线写成关于参数 s 的形式，则根据特征线方程可以导出：:,dxdyabdsds=那么，沿着特征线可以将原偏微分方程化简成如下形式：uuu dxu dyduabcxyx dsy dsds+=+=它就是原偏微分方程的相容性方程，而且是一个常微分方程，可以采用解析方法或
12、数值方法进行求解。假设特征线方程和相容性方程的离散形式如下：(,),(,)(,)xya x yb x yssuc x ys=在给定的计算域内（如图 3 所示），可以根据 x=0 的已知边界条件，通过数值推进求解方法进行求解。其步骤如下：第一步，设定步长s；第二步，在边界上选择初始点00(,)xy，可以求出该点的函数值0u；第三步，根据特征线方程和相容性方程的离散形式，求出沿特征线的下一个点的坐标11(,)x y和对应的函数值1u；依次推进下去，就可以计算出整条特征线的离散点坐标及其函数值。第四步，在边界上选择新的初始点重复第三步，继而计算出整个计算域上的函数值。图 3 特征线解法示意图【高维准
13、线性方程高维准线性方程类型类型的判别的判别】我们可以将二维准线性方程类型的判别方法推广到高维情形。xys00(,)xy11(,)x y22(,)xy33(,)x yxyO计算流体力学基础讲义 6 考虑具有三个未知数的偏微分方程：111111122222223333333 uuvvwwabdeklfxyxyxyuuvvwwabdeklfxyxyxyuuvvwwabdeklfxyxyxy+=+=+=其中，u、v、w 为未知函数。引入 u、v、w 的全微分：uududxdyxyvvdvdxdyxywwdwdxdyxy=+=+=+通过整理，可以得到类似下式的特征线方程：32()()()0dydydyabcddxdxdx+=我们可以根据一元三次方程解的情况，来判断方程的类型。更一般地，对于 n 维准线性方程组，应用克莱默法则法来判别偏微分方程类型：1）如果有 n 个实根，那么方程组是严格双曲型的；2）如果只有 v 个实根，而 1vn-1，并且没有复根，那么方程组是双曲型的；3）如果没有实数根，那么方程组是椭圆型的。