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1、1能控状态的分解设定常系数的状态空间表达式如下：根据能控性和能观性能够导出某个标准的结构形式。（*）?,?和?满足状态方程和输出方程的系数矩阵为：?系统（*）式不完全能控时，即rank?rank?,?,?总可以找到一个适当的变换阵T 使得?，?,2图1 能控状态分解任何具有上述形式的实现都有下述两条重要性质：1）?子系统 是能控的；2）?，即子系统的传递函数阵与原系统的传递函数阵相等。状态变量?代表的空间称为能控子空间，状态变量?构成的空间称为不能控子空间。系统的能控状态分解可用图1来表示。+?3首先证明第二条性质：于是性质二得证。注意上式中符号“”表示矩阵元素，这里“”的精确值并不重要，易于
2、证明?4其次证明第一条性质，应注意：因为?所以?的秩等于?，那么?只可能有?个线性无关的行。既然（*）式的秩为?，?的维数为?，根据凯莱哈密尔顿定理可知?高于?（含）的幂次都可以表示成?低于?的幂次的线性组合，因此矩阵?，?，?的行满秩，等于?。这就证明了性质之一。（*）?，?，?，?，?5变换阵?的构造?的前?列取Q?的r 个线性无关列?,?1,?，其余n-r列用与这?列线性无关的向量?,?1,?补足。记?的行向量为?。则根据矩阵逆的性质，有?=1,当且仅当?，否则为0。根据?均可以表示为Q?列的线性组合，可以证明?0,?1,?,?1,?成立。根据?的列均可以表示为Q?列的线性组合，可以证明?0,?1,?成立。?，?,