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1、第3章-矩阵的初等变换与线性方程组ThirdChapterI矩阵的初等变换1.消元法解线性方程组引例 求解线性方程组(用消元法解下列方程组的过程)(1)123412341234123422244622436979xxxxxxxxxxxxxxxx134221()B(1)21321234123412341234242223236979xxxxxxxxxxxxxxxx13422()B21323314123423423423424222055363343xxxxxxxxxxxxx 13424()B12342344240300 xxxxxxxx 134232443用“回代”的方法求出解3()B12342
2、3444240263xxxxxxxxx 1342521233422于是解得13234433xxxxx 1234433xcxcxxcx,3x其中为任意取值.3xc或令，方程组的解可记作c其中为任意常数.14131003xc （2）即注：1上述解方程组的方法称为消元法2始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换（1）交换方程次序；（2）以不等于的数乘某个方程；（3）一个方程加上另一个方程的k倍（与相互替换）ij（以替换）iki（以替换）jiki因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算若记则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方程组(1)的增广矩阵）的变换2
3、111211214()4622436979BA b(1)矩阵的初等行变换定义：下面三种变换称为矩阵的初等行变换:ijrrirkijrkr（1）对调 i，j 两行：（2）i 行乘以非零数 k：（3）将 j 行的 k 倍加到 i 行：2.矩阵的初等变换(2)矩阵的初等列变换定义：下面三种变换称为矩阵的初等列变换:ijccickijckc（1）对调 i，j 两列：（2）i 列乘以非零数 k：（3）将 j 列的 k 倍加到 i 列：定义：矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同ijrrirk逆变换ijrr;逆变换1();iirrkk或ijrkr逆变换().
4、ijijrk rrkr 或(3)矩阵的初等变换定义：如果矩阵A经有限次初等行变换变成矩阵B，就称矩阵A与B行等价，记作A B.如果矩阵A经有限次初等列变换变成矩阵B，就称矩阵A与B列等价，记作A B.如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B，就称矩阵A与B等价，记作A B.等价关系的性质：(4)矩阵的等价关系(1)反身性A A.(2)对称性若A B，则B A.(3)传递性若A B，B C，则A C.cr用矩阵的初等行变换 解方程组（1）：21112112144622436979B111214211122311236979B12rr32r 311214011100002600013B11121421
5、1122311236979B23312rrrr413rr211214022200553603343B23312rrrr413rr23225rrr423rr510104011030001300000B311214011100002600013B34rr432rr411214011100001300000B34rr432rr12rr23rr13234433 xxxxx 或令方程组的解可记作3xc1234433xcxcxxcx14131003c 其中为任意常数.c5B对应的方程组为(5)矩阵的初等变换性质定理：如果矩阵A与B为mn矩阵，(1)AB的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P，使PA=B；r(2)AB的充分必要条件是存在n阶可逆矩阵Q，使AQ=B；c(3)AB的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q，使PAQ=B.定理的证明过程略.谢谢，再见！