《2022年2022年矩阵的初等变换与线性方程 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年2022年矩阵的初等变换与线性方程 .pdf（9页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、1 3.1 基本内容3.2 典型例题分析第三章矩阵的初等变换与线性方程组3.1 基本内容3.1.1 矩阵的初等变换矩阵的初等变换是一种十分重要的运算方法，它在解先行方程组、求逆矩阵及矩阵理论的探讨中都有重要的作用下面三种变换称为矩阵的初等行变换：(1)对调两行（对调ji,两行，记着jirr）；(2)以数0k乘某一行中的所有元素（第i行乘k，记着kri）(3)把某一行所有元素的k倍加到另一行对应的元素上去（第j行的k倍加到第 i 行，记着jikrr）把定义中矩阵的行换成列，即得矩阵的初等列变换的定义（所用记号把r换成c），矩阵的初等行变换和初等列变换统称初等变换。初等变换都是可逆的，且其逆变换仍
2、是同一类的初等变换。如果矩阵 A经过有限次初等变换变成矩阵B，就称矩阵 A与矩阵 B等价，记着BA 矩阵之间的等价关系满足下列性质：(1)反身性AA；(2)对称性若BA，则AB；(3)传递性若BA，CB，则CA .3.1.2 初等矩阵由单位矩阵 E经过一次初等变换后所得的矩阵称为初等矩阵。三种初等变换对应着三种初等矩阵),(jiE110111011第i 列第 j 列名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 9 页 -2)(kiE1111k第i 行)(kijE1111k经验证，可得下述定理设 A是一个nm矩阵，对 A施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；
3、对 A施行一次初等列变换，相当于在 A的右边乘以相应的n阶初等矩阵设 A是可逆矩阵，则存在有限个初等矩阵lPPP,21，使得 A=lPPP21证明因为EA，所以 E经过有限次初等变换可变成A，即则存在有限个初等矩阵lPPP,21，使得APEPPPPlrr121即lPPPA21，得证。推论nm矩阵BA 的充要条件是：存在着m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵 Q，使得BPAQ根据此定理，可得到一种求逆矩阵的方法：由lPPPA21，有EAPPPl11211及111211AEPPPl即)()(111211AEEAPPPl名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 9 页 -3 即对nn2
4、阶矩阵)(EA施行初等行变换，把 A变成E时，原来的 E就变成1A3.1.3 矩阵的秩在nm矩阵A中，任取k行k列（nkmk,）位于这些行列处交叉处的2k个元素，不改变它们在A中所处的位置秩序而得的k阶行列式，称为 A的k阶子式。设在矩阵 A中有一个不等于 0的r阶子式 D，且所有1r阶子式（如果存在的话）全等于0，那么 D称为矩阵 A的最高阶非零子式，数r称为矩阵 A的秩，记着)(AR注零矩阵的秩规定为0 3.1.4 线性方程组的解利用方程组的系数矩阵A和增广矩阵 B的秩，可以方便的讨论线性方程组bAx的解n元齐次线性方程组0 xAnm有非零解的充要条件是系数矩阵的秩nAR)(。n元非齐次线
5、性方程组bxAnm有解的充要条件是系数矩阵的秩)(AR等于增广矩阵 B=bA的秩)(BR，即)()(bARAR3.2 典型例题分析返回例1 求解方程组979634226442224321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx解对应的增广矩阵为bAB979634226441211211122321rrr97963211322111241211=1B名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 9 页 -4 11433232rrrrrr34330635500222041211=2B31000620000111041211=3B0000031000011104121
6、1=4B00000310003011040101=5B5B对应方程组33443231xxxxx取3x为自由未知量，令cx3，即得3344321cccxxxxx=30340111c其中c为任意常数。对于任意的nm矩阵 A，总可以经过初等变换把它化为标准形F=nmROOOE例2 求矩阵 A与B的秩名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 9 页 -5 A=152110121 B=00000200000123010123解在A中，有一个 2阶子式011021，其 3阶子式0A，所以)(AR=2。B是一个阶梯形矩阵，其非零行有3行，因此3)(BR若BA，则)(AR=)(BR例3 设
7、矩阵 A=41461351021632305023求矩阵 A的秩，并求 A的一个最高阶非零子式。解对A作初等变换，化为阶梯形矩阵：A=4146135102163230502312812610117912011340414618400084000113404146100000840001134041461因为行阶梯形矩阵有3个非零行，所以)(AR=3 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 9 页 -6 对应于阶梯形矩阵，在A中有016502623523所以这个子式便是A的一个最高阶非零子式。例 4 设矩阵523012101A，求逆矩阵1A解)(AE100523010012
8、0011011032200122100011011272000122100011012112710011501021125001所以1A=2112711521125例 5 求解齐次线性方程组名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 9 页 -7 0340222022432143214321xxxxxxxxxxxx解 对系数矩阵 A施行初等行变换，化为行最简形矩阵：A=341122121221463046301221000034210122100003421035201由此可得与原方程同解的方程组432431342352xxxxxx43,(xx可任意取值）令2413,cxcx
9、，即得名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 9 页 -8 2413212211342352cxcxccxccx其中21,cc为任意常数，写成向量为4321xxxx=212121342352cccccc=103435012221cc例 6 求解非齐次线性方程组23333321321321321xxxxxxxxx解对增广矩阵（A b）施行初等行变换，化为行最简形矩阵：（A b）=2331333211111440111011115000111011113)(2)(bARAR，所以方程组无解。例 7 求解非齐次线性方程组名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 9 页 -9 2212421254321543215421xxxxxxxxxxxxxx解对增广矩阵（A b）施行初等行变换（A b）=212111124112112011124120148110112011361230014811011201112410002401011200153)()(bARAR，所以方程组有无穷多解，令2514,cxcx，得54321xxxxx=212121211242412cccccccc=00101102210144221cc返回名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 9 页 -