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1、教学目的教学目的：理解 Fourier 积分定理，会利用 Fourier 积分定理求函数的 Fourier 积分表达式.知识梳理：知识梳理：一、Fourier 积分定理若函数)(tf在,上满足下列条件：（）在任一有限区间上满足 Dirichlet 条件；（）在无限区间,上绝对可积，即积分ttfd)(收敛，则在)(tf的连续点t处，有dede)(21)(iitftf-，（1）在)(tf的间断点t处，上式的左端应以)(+)+(0-021tftf代替需要指出的是：（1）式以及今后所遇到的广义积分，如无特别地说明，都是指柯西主值意义下的广义积分，即NNNxxfxxfd)(limd)(（1）式称为)(t
2、f的 Fourier 积分公式（复指数形式）.二、Fourier 积分公式的三角形式利用欧拉公式，可将（1）式改写为dd)(cos)(1)(0-tftf（2）（2）式为)(tf的 Fourier 积分公式的三角形式三、Fourier 积分定理的意义Fourier 积分定理不仅解决了非周期函数的 Fourier 展开问题，而且为后面的 Fourier 变换奠定了理论基础，同时它本身也给出了含参变量的广义积分的计算和证明的一种方法例题讲解：例题讲解：例例 1 1求指数衰减函数)(tf=?遠?t-e?)0（的 Fourier 积分解解根据（1）式，有ftftdede)(=)(i+i-21tdeee=
3、i+i-0-d21tdede=i+i+-0）（-21tdei+=i+-121ttdsini+cos+=+）（i-21-22)d+cossini+d+sin+cos(=+tttt-22-22-21ttd+sin+cos=+-2221）0t(，当0=t时，)(tf应为21）01（210-00021=+=)(+)+(ff例例 2 2求函数=)(tf?的 Fourier 积分，并证明tdcossin+02?遠?4?=?证证根据（1）式，有ftftdede)(=)(i+i-21tdede=i+i-11-21tdedsinicos=i+-11-）-（21tde)dcos(=i+-101tdesin=i+-
4、1ttd)sini+(cossin=+-1tdcossin=+02)(1t当1=t时，)(tf应为21）01（210-10121=+=)(+)+(ff即tdcossin+02)(tf，1t21?1=t,亦即tdcossin+02?遠?21?=?,故tdcossin+02?遠?4?=?在上式中，令0=t，有20=dsin+，这就是著名的 DirichletDirichlet 积分积分重难点注记：重难点注记：重点：Fourier 积分公式；难点：利用 Fourier 积分公式求函数的 Fourier 积分表达式，并根据所得结果推证广义积分.知识点总结：知识点总结：设)(tf满足 Fourier 积分定理的条件，则有1.在)(tf的连续点t处，有dede)(21)(iitftf-（复指数形式），dd)(cos)(1)(0-tftf（三角形式）2.在)(tf的间断点t处，上式的左端应以)(+)+(0-021tftf代替