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1、20 20 曲面曲面的方程的方程20.1.曲面曲面的一般式方程的一般式方程20.2.曲面的参数方程曲面的参数方程20.1 20.1 曲面曲面的一般式方程的一般式方程（仿射坐标系）（仿射坐标系）如果曲面如果曲面S与三元方程与三元方程0),(zyxF有下述关系：有下述关系：（1 1）曲面曲面S上任一点的坐标都满足方程；上任一点的坐标都满足方程；（2 2）不在曲面）不在曲面S上的点的坐标都不满足方程；上的点的坐标都不满足方程；那么，方程那么，方程0),(zyxF就叫做曲面就叫做曲面 S的的方程方程，而曲面，而曲面S就叫做方就叫做方程的程的图形图形 设设),(zyxM是所求平面上任一点，是所求平面上任
2、一点，|,|MBMA 222321 zyx ,412222 zyx化简得所求方程化简得所求方程.07262 zyx解解例例 直角坐标系下直角坐标系下，已知已知)3,2,1(A，)4,1,2(B，求线段求线段AB的垂直平的垂直平分面的方程分面的方程.研究曲面有两个基本问题：研究曲面有两个基本问题：(1)已知曲面建立它的方程；已知曲面建立它的方程；(2)已知曲面方程，研究曲面形状已知曲面方程，研究曲面形状.例例 直角坐标系下直角坐标系下，建建立球心在点立球心在点),(0000zyxM、半径为半径为 R的球面方程的球面方程.解设设),(zyxM是球面上任一点，是球面上任一点，RMM|0 Rzzyyx
3、x 202020 2202020Rzzyyxx (1)已知曲面建立它的方程球面的标准方程球面的标准方程(2)已知曲面方程，研究曲面形状.例例在在直角坐标系下直角坐标系下，讨论方程，讨论方程0GFzEyDxzyx222所代表的几何图形所代表的几何图形.解解：将方程配方得将方程配方得4G4FED2Fz2Ey2Dx222222（1）当）当,0G4FED222方程表示一个方程表示一个球面球面（2）当）当,0G4FED222方程表示一个点（方程表示一个点（点球点球）（3）当）当,0G4FED222方程无实图形（方程无实图形（虚球面虚球面）球面的一般方程球面的一般方程zxyo例例 方程方程的图形是怎样的（
4、的图形是怎样的（直角坐标系下直角坐标系下）？）？1)2()1(22 yxz根据题意有根据题意有1 z用平面用平面cz 去截图形得圆：去截图形得圆：)1(1)2()1(22 ccyx 当平面当平面cz 上下移动时，上下移动时，得到一系列圆，得到一系列圆，圆心在圆心在),2,1(c，半径为，半径为c 1半径随半径随c的增大而增大的增大而增大.图形上不封顶，下封底图形上不封顶，下封底解解定义定义 如果取如果取,u v aub cvd的一切可能取的值，由的一切可能取的值，由 123,r u vx u vy u vz u veee 表示的向径表示的向径,r u v的终点的终点M总在一个曲面上；总在一个曲
5、面上；反过来反过来，在这个曲面上的任意点，在这个曲面上的任意点总对应总对应以它为终点的向径，而这以它为终点的向径，而这向径可由向径可由,u v的值的值,aub cvd通过通过 123,r u vx u v ey u v ez u v e完全决定，完全决定，那么那么就把表达式就把表达式123,r u vx u v ey u v ez u v e叫做曲面叫做曲面的的向量式参数方程向量式参数方程，其中，其中,u v为参数为参数.20.2 20.2 曲面曲面的参数方程的参数方程（仿射坐标系）（仿射坐标系）向径向径,r u v的坐标为的坐标为,x u vy u vz u v，所以曲面的参数方，所以曲面的
6、参数方程也可写成程也可写成 ,.xx u vyy u vzz u v 叫做曲面的叫做曲面的坐标式参数方程坐标式参数方程.球面球面的参数方程（的参数方程（取定直角坐标系取定直角坐标系）MxyzoPrQRcoscosco,sxQrOOPr考虑以原点为球心，为半径的球面.(,)22sincos si,nyRrOOPsinsin.MOMzPr(,)(,)M x y zMPxoyPQPRxyi OPPOM由球面上一点作与平面垂直，再作和分别与 轴和 轴垂直.设，.球面的参数方程（球面的参数方程（取定直角坐标系取定直角坐标系）MxyzoPrQRcoscoscos sin,n2.2,sixryrzr注：注：
7、球面上除掉球面上除掉时的两点时的两点(0,0,r)和和(0,0,-r)外外，其余所有点，其余所有点都与有序实数对都与有序实数对一一对应，其一一对应，其中中=2,.22极极点点经度（东、经度（东、西）西）纬度（南、纬度（南、北）北）北极点：北纬北极点：北纬9090、任何、任何经度经度.南极点：南纬南极点：南纬9090、任何经度、任何经度.空间中与坐标原点距离为的任意点，总可以看作是在以原点为球心，半径为的球面上.当球面半径因此，为变量时(,)M x y z空间任意一点的位置便可由球面的参数方程表示.coscos,cossin,sin.(,)220 xyz球坐标系、空间极坐标球坐标系、空间极坐标（
8、取定直角坐标系取定直角坐标系）=0M若是原点，则,与任取.(,)M 记为空间中与坐标原点距离为的任意点，总可以看作是在以原点为球心，半径为的球面上.coscos,cossin,sin.(,)220 xyz球坐标系、空间极坐标球坐标系、空间极坐标（取定直角坐标系取定直角坐标系）-22.MMz若不是原点，但在轴上，则或，而任取当球面半径因此，为变量时(,)M x y z空间任意一点的位置便可由球面的参数方程表示.(,)M 记为2222222222,cossinarcsinxyzxxyyxyzxyzMxyzoPrQRcoscos,cossin,(0,)22sin.xyz反之，有反之，有.zR考虑以
9、轴为对称轴，为半径的圆柱面的参数方程(,)M x y z设为所求圆柱面上的任意一点，MxOy在,P面的投影为,PxQ在 轴的射影为(,),i OP设则OMOQQPPM(cos)Ri(sin)Rjuk.向量式参此为圆柱面数方程的-,u （）圆柱面圆柱面的参数方程（的参数方程（取定直角坐标系取定直角坐标系）坐标式参圆柱面的数方程：cos,sin,.xRyRzu-,u （）,u消去参数可得圆柱面的普通方程：222.xyRcos,sin,.(,0,)xRyRzuuR 反之，有：222222,cos,sin,.Rxyxyxyxyuz柱坐标系柱坐标系（取定直角坐标系取定直角坐标系）Mz若在轴上，则任取.(,)MM Ru点的柱坐标记为小结小结球面的标准方程、一般方程、参数方程圆柱面的参数方程球坐标和柱坐标截痕法