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1、第12章 无穷级数 高等数学 12.4.3利用间接法将函数展开成幂级数 函数展开成幂级数 1.直接法直接法(泰勒级数法泰勒级数法)步骤步骤:;!)()1(0)(nxfann=求=求().f x则级数在收敛区间内收敛于2.间接法间接法 根据唯一性，利用常见展开式根据唯一性，利用常见展开式,通过通过变量代变量代换，四则运算，恒等变形，逐项求导（积分）换，四则运算，恒等变形，逐项求导（积分）等方法，求展开式等方法，求展开式.(lim)0nnRx=(2)验证验证 例例4 将函数将函数 cosx展开成展开成 x的幂级数的幂级数.nnxxxxn242cos1(1)2!4!(2)!=+=+逐项求导，得逐项求
2、导，得 35211sin(1)3!5!(21)!nnxxxxxn=+=+解解（本题与例本题与例2类似，可以应用直接法展开类似，可以应用直接法展开.）().x +对展开式对展开式 例例5 将函数将函数()ln(1)f xx=+=+展开成展开成 x的幂级数的幂级数.解解 1(),1fxx=+=+将上式从将上式从 到到 逐项积分，得逐项积分，得 0 x因为因为 ()()()()0,11111nnnxxx=+=+=且已知展开式且已知展开式 上式右端的幂级数当上式右端的幂级数当 时收敛，且时收敛，且 在在 处有定义且连续处有定义且连续.1x=ln(1)x+1x=2111ln(1)(1)(1)2nnnnn
3、xxxxxnn+=+=+=+=+=+=(11)x 解解 111()1f xxaxaa=1）例例6 将函数将函数 1()(0)f xaax=xxb 分别展开成分别展开成().ba 1）和和 2）的幂级数，的幂级数，根据展开式根据展开式 01(11)1nnxxx=将将 x换成换成,xa有有()()1001nnnnnxxfxaaa+=+=1xa 或或 xa 收敛域为收敛域为 2）11()()f xaxabxb=01nnxbabab=111xbabab=10()()nnnxbab+=+=收敛域为收敛域为 1xbab或或 xbab例例7 将函数将函数()f xarctgx=展开成展开成 x的幂级数的幂级
4、数.解解 201()1xf xarctgxdxx=+=+由于由于 而函数而函数 211x+的幂级数展开式，相当于在的幂级数展开式，相当于在 01(1)1nnnxx=+=+中将中将 x替换成替换成 2x220001(1)1xxnnndxx dxx=+=+200(1)xnnnx dx=即有即有 210(1)21nnnxarctgxn+=+=+=+故故 2201(1)1nnnxx=+=+有有 210(1)21nnnxn+=+=+=+上式两端对上式两端对 0到到 x积分积分，从从 x满足莱布尼兹定理，满足莱布尼兹定理，210(1)21nnnxarctgxn+=+=+=+(11)x 12321(1)23
5、(1)21nnnnxnxn+又由又由 故当故当 1x 时所求级数收敛时所求级数收敛.当当 1x=时，时，所求级数成为交错级数所求级数成为交错级数，2221()23nxxnn+=+=+于是于是有有 2111(1)21nnnxn+=+=例例8 将函数将函数 sinx展开成展开成 4x的幂级数的幂级数.解解 sinsin44xx=+=+sincoscossin4444xx=+=+1cossin442xx=+=+因为因为 2444cos142!4!xxx=+=+(),x xxxx3544sin443!5!=+=+(),x 并且有并且有 23144sin142!3!2xxxx=+=+().x 所以所以 例例9 将函数将函数 21()43f xxx=+=+展开成展开成(1)x 的幂级数的幂级数.解解 21()43f xxx=+=+11,114 18 124xx=+=+1(1)(3)xx=+=+112(1)2(3)xx=+=+因为因为 2211(1)(1)1(1)4222nnnxxx=+=+()()13,x 118 14x+其中其中 114(1)2x+2211(1)(1)1(1)8444nnnxxx=+=+()()35,x 21()43f xxx=+=+()()13.x 所以所以 223011(1)(1)22nnnnnx+=+=谢谢，再见！