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1、线性方程组有解线性方程组有解的充分必要条件的充分必要条件例例 求下述方求下述方 程组的一般解程组的一般解=+=+=+=+=+=+=+=+02420332034202543543215432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxx解解=0000000000111001112124200331211134211121行行A+=+=+543542312 xxxxxxxx=+=+0 0254354321xxxxxxxx=0000000000111001112124200331211134211121行行A确定自由未知量，可得确定自由未知量，可得133245452 xxxxxxxx+=+=+24
2、5,xxx 1,0,0,0,1,0,0,0,1TTT令自由未知量令自由未知量分别取下述三组数分别取下述三组数得到三个解得到三个解123 20 21,210 001 0001 1TTT=，=，123,则则就是原方程组的一个基础解系就是原方程组的一个基础解系321,kkk其中其中是任意常数。是任意常数。由此得原方程组的通解为由此得原方程组的通解为123123kkk+例例 求下述方求下述方 程组的一般解程组的一般解=+=+=+=+=+=+=+=+02420332034202543543215432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxx例例设齐次线性方程组设齐次线性方程组问问取何值时，该方程
3、组有非零解，并求其通解取何值时，该方程组有非零解，并求其通解123123123123(1)02(2)22033(3)30()0nnnna xxxxxa xxxxxa xxnxnxnxna x+=+=+=+=a解解首先对系数矩阵做初等变换首先对系数矩阵做初等变换111112222233333aaannnnna+111112222233333aaannnnna+1111120003000000aaaBaanaa+=（1）若）若，那么方程组有非零解，那么方程组有非零解，其基础解系为其基础解系为0()1ar A=121 1,1,0,0 1,0,1,0 1,0,0,1TTTn=故其通解表达式为故其通解表
4、达式为其中其中为任意常数为任意常数1 12211nnkkk+121,nk kk1111120003000000aaaBaanaa+=1(1)0000221000301000001an nBn+（2）若）若，对矩阵，对矩阵继续做初等变换得到继续做初等变换得到0a B所以所以时，时，1(1)2an n=+()1r Ann=方程组有非零解，其同解方程为方程组有非零解，其同解方程为12131412030400nxxxxxxnxx+=+=+=+=其基础解系为其基础解系为，通解为，通解为，这里，这里为任意常数。为任意常数。1,2,3,Tn=kk例例求下列齐次线性方程组的通解求下列齐次线性方程组的通解123
5、123123 025403650 xxxxxxxxx+=+=+=解解将系数矩阵将系数矩阵用初等行变换化为阶梯形矩阵用初等行变换化为阶梯形矩阵A111111254032365000A=行对应的阶梯形方程组为对应的阶梯形方程组为=+=+=+=+02032321xxxxx3 对应的阶梯形方程组为对应的阶梯形方程组为=+=+=+=+02032321xxxxx3 31x=112133T=，=，取取，得方程组的一个解础解系，得方程组的一个解础解系12323 32xxxxx+=+=确定自由未知量，可得确定自由未知量，可得所以，方程组的通解为所以，方程组的通解为，其中，其中为任意常数。为任意常数。11k 1k例例如果分别以矩阵如果分别以矩阵A，B为系数矩阵的两为系数矩阵的两个齐次线性方程组同解，则个齐次线性方程组同解，则()()rank Arank B=例例设设是某一齐次线性方程组的是某一齐次线性方程组的一个基础解系，问下列三组向量中那一组一个基础解系，问下列三组向量中那一组也是该方程组的基础解系？也是该方程组的基础解系？321,(A)(B)(C)133221,3221,+133221,+