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1、线性方程组有解线性方程组有解的充分必要条件的充分必要条件将数域将数域K上的上的n元齐次线性方程组元齐次线性方程组（*）的一个解视为的一个解视为中的一个向量。中的一个向量。1 122nnxxx+=nK这表明：齐次线性方程组的任意有限个这表明：齐次线性方程组的任意有限个解的线性组合仍为其自身的解。解的线性组合仍为其自身的解。性质性质设设为齐次线性方程组为齐次线性方程组（*）的任的任意两个解，意两个解，是数域是数域 K 中的任意常数，则对任中的任意常数，则对任意的意的，仍为方程组仍为方程组(*)(*)的解。的解。,kkl+,k lK推论推论设数域设数域K上的上的n元齐次线性方程组元齐次线性方程组(*
2、)(*)的解集合为的解集合为W，则，则W是是的一个子空间，的一个子空间，称为齐次线性方程组称为齐次线性方程组(1)(1)的的解空间解空间(Null space)。nK1 122nnxxx+=定义定义设设是齐次线性方程组是齐次线性方程组(*)(*)的的t个解。若它们满足个解。若它们满足（1）线性无关；线性无关；（2）(*)(*)的任一解均可由的任一解均可由线性表出，线性表出，则称则称是齐次线性方程组是齐次线性方程组(*)(*)的一个的一个基基础解系础解系。t,21t,21t,21t,21注记注记（1）若若W是齐次线性方程组是齐次线性方程组(*)(*)的解空间，的解空间，则基础解系则基础解系是是W
3、的一个基，因的一个基，因此此且且；（2）基础解系所含解的个数唯一确定；基础解系所含解的个数唯一确定；t,2112,tW=dimWt=（3）齐次线性方程组齐次线性方程组(*)(*)的通解可表为的通解可表为其中其中是任意常数。是任意常数。ttkkk+2211tkkk,21定理定理设设A是是n元齐次线性方程组元齐次线性方程组(*)(*)的系数矩的系数矩阵，则当齐次线性方程组阵，则当齐次线性方程组(*)(*)有非零解时，它有有非零解时，它有基础解系，并且基础解系中包含基础解系，并且基础解系中包含个个解向量。解向量。rank()nAAT用初等行变换将化为简化阶梯形用初等行变换将化为简化阶梯形().ran
4、k An设设001*0*0*000001*0*000000001*0000000000000000000000 12,.rTjjj的主元所在列的标号为的主元所在列的标号为定理定理设设A是是n元齐次线性方程组元齐次线性方程组(*)(*)的系数矩的系数矩阵，则当齐次线性方程组阵，则当齐次线性方程组(*)(*)有非零解时，它有有非零解时，它有基础解系，并且基础解系中包含基础解系，并且基础解系中包含个个解向量。解向量。rank()nA1200(H1)0rjjjxxx+=+=+=+=+=+=T写出以为系数矩阵的齐次线性方程组写出以为系数矩阵的齐次线性方程组12,rjjjxxx其中为主元未知数其中为主元未
5、知数+12,.rrnjjjxxx其余未知数为自由未知数其余未知数为自由未知数12,.rTjjj的主元所在列的标号为的主元所在列的标号为定理定理设设A是是n元齐次线性方程组元齐次线性方程组(*)(*)的系数矩的系数矩阵，则当齐次线性方程组阵，则当齐次线性方程组(*)(*)有非零解时，它有有非零解时，它有基础解系，并且基础解系中包含基础解系，并且基础解系中包含个个解向量。解向量。rank()nA+12(H1),rrnjjjxxx将中含自由未知数的项移到等式右边将中含自由未知数的项移到等式右边11122211221122111222(H2)rrrrnnrrrrnnrrrrrnnjjjjjjjjjjj
6、jjjjrjjrjjrjjxtxtxtxxtxtxtxxtxtxtx+=1200(H1)0rjjjxxx+=+=+=+=+=+=定理定理设设A是是n元齐次线性方程组元齐次线性方程组(*)(*)的系数矩的系数矩阵，则当齐次线性方程组阵，则当齐次线性方程组(*)(*)有非零解时，它有有非零解时，它有基础解系，并且基础解系中包含基础解系，并且基础解系中包含个个解向量。解向量。rank()nA(H2),在中在中=10,AX得到方程组的一个解得到方程组的一个解12,rjjjxxx计算出计算出120,10rnrjjjxxx+=令自由未知数 =令自由未知数11122211221122111222(H2)rr
7、rrnnrrrrnnrrrrrnnjjjjjjjjjjjjjjjrjjrjjrjjxtxtxtxxtxtxtxxtxtxtx+=21010,rrnjjjxxx+=令 =令+=1200,1nrrjjjxxx令令 2,.n r110,0=1rj+2rj+nj12,rrnjjjxxXx+=001n r=,201,0=()()1*,得到方程组的一个解得到方程组的一个解12,rjjjxxx计算出计算出 2,.n r定理定理设设A是是n元齐次线性方程组元齐次线性方程组(*)(*)的系数矩的系数矩阵，则当齐次线性方程组阵，则当齐次线性方程组(*)(*)有非零解时，它有有非零解时，它有基础解系，并且基础解系中
8、包含基础解系，并且基础解系中包含个个解向量。解向量。rank()nA12,()n r N A 下面分两步证明是解空间的基础解系：下面分两步证明是解空间的基础解系：12(1),.n r 证明是线性无关的证明是线性无关的1122n rn rkkk+因为+因为12n rkkk=11220n rn rkkk+=所以+=所以120.n rkkk=1rj+2rj+nj12,.n r 向量组线性无关向量组线性无关,因此因此()()(2)()*N A证明的解空间中的任意一个解都可由证明的解空间中的任意一个解都可由12,.n r 线性表示线性表示12rrnjjjkkk+=0AX=任取的一个解=任取的一个解1rj
9、+2rj+nj1212.rrnjjjn rkkk+=+令=+令()()*,因为是方程组的解因为是方程组的解+12,rrnjjj并且的第个分量都为零并且的第个分量都为零0,=所以=所以即即1212.rrnjjjn rkkk+=+令=+令()()*,因为是方程组的解因为是方程组的解+12,rrnjjj并且的第个分量都为零并且的第个分量都为零0,=所以=所以(1)(2),综合和可知综合和可知1212.rrnjjjn rkkk+=+=+12,()n r N A是向量空间的基础解系。是向量空间的基础解系。定理定理设设A是是n元齐次线性方程组元齐次线性方程组(*)(*)的系数矩的系数矩阵，则当齐次线性方程组阵，则当齐次线性方程组(*)(*)有非零解时，它有有非零解时，它有基础解系，并且基础解系中包含基础解系，并且基础解系中包含个个解向量。解向量。rank()nA