《(6.5.2)--12.4.2函数展开成幂级数.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《(6.5.2)--12.4.2函数展开成幂级数.pdf（11页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第12章 无穷级数 高等数学 12.4.2函数展开成幂级数 1.直接法直接法(泰勒级数法泰勒级数法)步骤步骤:;!)()1(0)(nxfann=求=求).(xf敛于则级数在收敛区间内收 敛于则级数在收敛区间内收(lim)0nnRx=(2)验证验证 例例1 将函数将函数()xf xe=展开成展开成 x的幂级数的幂级数.解解 因此因此 ，且，且 ()(0)1(1,2,3,)nfn=f(0)1=得级数得级数 212!nxxxn+它的收敛半径为它的收敛半径为 R=+=+所给函数的各阶导数为所给函数的各阶导数为 ()()()()()1,2,xnnfxe=1()(1)!nneRxxn+=+=+于是得展开式
2、于是得展开式 因因 xe有限，且级数有限，且级数 收敛收敛 10(1)!nnxn+=+=+21()2!nxxxexxn=+=+1.(1)!nxxen+10(1)!nxxen+n 时时，所以当所以当 即当即当 n 时，时，()0.nRx 有有 对于有限的对于有限的 ，余项绝对值满足，余项绝对值满足,0 xx例例2 将函数将函数()sin()f xx=展开成展开成 x的幂级数的幂级数.解解()()sin(1,2,),2nfxxnn=+=+=它的收敛半径它的收敛半径.R=+=+顺序循环地取顺序循环地取()()0,1,0,1,0,1,2,3,n=35211(1)3!5!(21)!nnxxxxn+()(
3、)()()0nf于是得级数于是得级数 所给函数的各阶导数为所给函数的各阶导数为 对于任何有限的数对于任何有限的数,x（在在 0与与 x之间之间），），因此展开式因此展开式 1(1)sin2()(1)!nnnRxxn+=+=+余项的绝对值当余项的绝对值当 n 时的极限为零：时的极限为零：10(1)!nxn+35211sin(1)3!5!(21)!nnxxxxxn=+=+().x +例例3.)()1()(的幂级数展开成将的幂级数展开成将xRxxf+=+=解解 1+=+=nn,1=,1=R()()()()()()()()1)1(1nnfnxx +=+=()()()()()()()()11,0,1,2
4、,(0)nnfn+=+=()()()()111!nnxxn+1limnnnaa+若内在若内在,)1,1()()()()11()1!nns xxxn+=+=()()()()()()111()1!nns xxn +=+=+()()()()()()11()1!nnxs xxxn+=+=+利用利用 ()()()()()()()()()()()()()()mmnmmnm mmnnnn111111!+=+=)(xs=,1)()(xxsxs+=+=.1)0(=s且且两边积分两边积分 ,1)()(00dxxdxxsxsxx+=+=)1,1(x得得 ),1ln()0(ln)(lnxsxs+=+=()()()()()()()()222111()2!11!nx s xxxnxn +=+=+()()()()()()1111!nxnxxn +=+=+即即 ,)1ln()(ln+=+=xxs,)1()(xxs+=+=x(1,1)1,1(x牛顿二项式展开式牛顿二项式展开式 注意注意:.1的取值有关处收敛性与在=的取值有关处收敛性与在=x);1,1(1收敛区间为 收敛区间为;1,1(11收敛区间为 收敛区间为 收敛区间为 谢谢，再见！