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1、第9章多元函数微分法及其应用高等数学二重极限计算举例一、证明二重极限不存在的方法点(,)以任何方式趋于点0(0,0)时，=极限表示:(,)都无限接近于常数.方法一方法二选取 的一种方式，证明按此方式的极限不存在选取 的两种方式，证明按这两种方式的极限存在但不相等方法一若此极限不存在，选取 的一种方式：某条过的曲线当沿曲线趋于时，考察极限lim=lim,=,=lim(,()=()不存在。则二重极限例,+证明不存在。分析,=+=+等价无穷小=+洛必达法则=+=+,=+=()=等价无穷小=证由此可见，点(,)沿直线=趋于(,)时，函数的极限不存在，所以函数的极限不存在。方法二选取 的两种方式，过的曲
2、线过的曲线令分别沿曲线和曲线趋于，若按这两种方式，函数的极限虽然存在但不相等，即lim()lim()不存在。则二重极限例已知二元函数=+=0,00,2),(222222yxyxyxxyyxf试证明：当()()0,0,yx时，这个函数没有极限。分析lim,0,0=22+2lim0222+22=21+2函数的极限虽然都存在，但不相等（与有关），所以函数的极限不存在。证明由此可见，()yx,沿直线=()0,0时，趋向原点二、计算二重极限的常用方法1、利用定义 语言例求证：lim(,)(0,0)(,)=0,=(2+2)sin12+2设分析+(2+2)sin12+2有,0 放大 只需=当()+()时，取
3、=二、计算二重极限的常用方法1、利用定义 语言例求证：lim(,)(0,0)(,)=0,=(2+2)sin12+2设证明定义域=20,0，点(0,0)为的聚点总有+，取=，则当 ()+()时，,0=(2+2)sin12+2成立.证毕.二、计算二重极限的常用方法2、利用多元初等函数的连续性及极限的运算法则代入计算例lim(,)(1,2)+计算解函数的定义域=(,),因为函数在定义区域内连续所以函数在(1,2)处连续lim(,)(1,2)+=1+21 2=32lim(,)(0,0)+1 1例=lim(,)(0,0)(+1 1)(+1+1)(+1+1)=lim(,)(0,0)(+1+1)有理化化简=
4、lim(,)(0,0)1+1+1约零因子=12代入二、计算二重极限的常用方法3、利用变量代换，化二重极限为一元函数的极限例=lim(,)(0,2)sin()lim(,)(0,2)sin()=lim(,)(0,2)sin()lim(,)(0,2)=lim0sin 2=1 2=2解原式二、计算二重极限的常用方法4、利用夹逼准则例lim(,)(0,0)2+22+2因为解及lim(,)(0,0)2+22=0据夹逼准则，有lim(,)(0,0)2+2=012+22+220=2+22三、二元函数的连续性讨论函数 =+=0,00,),(222222yxyxyxxyyxf在(0,0)的连续性解取kxy=2200limyxxyyx+22220limxkxkxkxyx+=21kk+=其值随k的不同而变化，极限不存在.故函数在(0,0)处不连续例小结一、证明二重极限不存在的方法二、计算二重极限的常用方法三、二元函数的连续性谢谢，再见！