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1、第第 8 讲讲 向量组的向量组的秩秩(2)AXB 矩矩阵阵方方程程有有解解的的充充分分必必要要条条件件是是,Amn 设设是是矩矩阵阵AXB 矩矩阵阵方方程程有有解解并并且且解解唯唯一一的的充充分分必必要要条条件件是是8.3题题证证明明r()r(,);AA B r()r(,).AA Bn(1)(2).Bmt 是是矩矩阵阵3.3,根根据据定定理理12,nA设设的的列列构构成成的的向向量量组组为为证证明明12,.tB的的列列构构成成的的向向量量组组为为BAC,AXB 如如果果矩矩阵阵方方程程有有解解(1),n tC 那那么么存存在在矩矩阵阵使使得得1212,.tn 可可以以由由线线性性表表示示12(
2、,)t 12(,).n C,因因此此12r()r,nA .上上面面的的推推理理反反过过来来也也成成立立121212,.nnt 于于是是1212r,nt r(,).A B AXB 矩矩阵阵方方程程有有解解的的充充分分必必要要条条件件是是r()r(,).AA B,因因此此(2)1,由由第第 小小题题可可知知,AXB 如如果果矩矩阵阵方方程程的的解解是是唯唯一一的的1.AY 的的解解也也是是唯唯一一的的r().An r()r(,).AA Bnr()r(,).AA B,因因此此AXB 矩矩阵阵方方程程是是有有解解的的那那么么方方程程组组1.6,根根据据定定理理当当且且仅仅当当,反反过过来来r()r(,
3、),iAA n r()r(,),AA Bn设设1,2,.it 那那么么,iAY 于于是是线线性性方方程程组组有有解解并并且且解解是是唯唯一一的的,AXB 假假设设矩矩阵阵方方程程的的解解不不是是唯唯一一的的,C DAXB 并并且且是是的的两两个个不不同同解解0.CD那那么么1,2,.it,CDj 设设的的第第 列列不不为为零零,Cj是是的的第第 列列D是是的的.jAY 那那么么 与与 是是方方程程组组的的两两个个不不同同解解,j第第 列列.jAY 这这与与方方程程组组的的解解是是唯唯一一的的相相矛矛盾盾AXB 矩矩阵阵方方程程的的解解 ,因因此此 r()r(,),AA Bn当当时时.是是唯唯一
4、一的的11121,11Aaa ,a当当 为为何何值值时时221.12Baa 设设矩矩阵阵?有有无无穷穷多多个个解解,AXB矩矩阵阵方方程程无无解解,有有唯唯一一解解,在在有有解解时时8.4题题.求求出出全全部部解解11122(,)2111112A Baaaa 1112202334.00110aaaa 解解(,),A B对对矩矩阵阵作作初初等等行行变变换换11122(,)0233400110A Baaaa 1112200112,000012,a 当当时时.AXB所所以以矩矩阵阵程程无无解解方方因因为为11122(,)0233400110A Baaaa 1001101111,000001,a 当当
5、时时.AXB 所所以以矩矩阵阵方方程程有有无无穷穷多多个个解解因因为为,AXB 为为了了求求出出的的全全部部解解,是是同同解解的的12,.B设设 的的两两个个列列为为12.AYAY我我们们求求方方程程组组和和的的通通解解1AY 因因为为与与方方程程组组12311yyy 1AY 所所以以的的通通解解为为11111,cc 1.c其其中中为为任任意意常常数数,是是同同解解的的2AY 因因为为与与方方程程组组12311yyy 2AY 所所以以的的通通解解为为22211,cc 2.c其其中中为为任任意意常常数数12121111,Xcccc 12,.c c其其中中为为任任意意常常数数,因因此此1,a 当当
6、时时10013/(2)0100(4)/(2),00110aaaa 11122(,)0233400110A Baaaa ,AXB 所所以以矩矩阵阵方方程程有有唯唯一一解解2,a 当当因因为为其其解解为为1,a 并并且且时时13/(2)0(4)/(2).10 aaXaa 说说明明1,a 当当时时.AXB矩矩阵阵方方程程有有无无穷穷多多个个解解,这这时时候候123456.xxXxxxx 我我们们可可以以设设 AXB所所以以等等价价于于线线性性方方程程组组1,a 因因为为当当时时111211,111A 2211,22B 13524613524613524622212122.xxxxxxxxxxxxxxxxxx .X通通过过求求这这个个方方程程组组的的通通解解可可以以得得到到