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1、复频域篇二 小结与习题讲解三 Signals and Systems 第9章 复习考研篇 视频105 信号与系统分析方法 复频域篇二_小结与习题讲解 离散时间离散时间信号与信号与LTI系统的复系统的复频域分析频域分析 信号的复频域分析信号的复频域分析 Z变换变换 Z变换的性质变换的性质 Z反变换反变换 LTI系统的复频域分析系统的复频域分析 离散时间离散时间LTI系统的系统函数系统的系统函数 用用Z变换分析离散时间变换分析离散时间LTI系统系统 系统函数的代数属性与方框图表示系统函数的代数属性与方框图表示 单边拉普拉斯变换单边拉普拉斯变换 单边单边Z变换及其性质变换及其性质 利用单边利用单边Z
2、变换解差分方程变换解差分方程 21【解解】复频域篇二_小结与习题讲解，zXzzz1(1/2)2()|111(1)，zzzzG zXz Xzzzz1(1/2)1(1/4)1(1/2)1(1/4)2()()()|11111112【习题习题9.21】考虑下面两个信号考虑下面两个信号：与与 令令 、和和 、分别代表分别代表 、的的单边和双边单边和双边z变换。变换。(1)取取 的的双边双边z反变换反变换求求 。(2)取取 的单边的单边z反变换得到一个信号反变换得到一个信号 ，。(3)观察观察 时时 和和 是否是否相同，并解释原因。相同，并解释原因。x n 1Xz Xz()()12g nx nx n 12
3、XXzz()()12x nu nn(1/2)111x nu nn(1/4)2X z()1Xz()1Xz()2Xz()1x n 2q n n0n0q n g n，zXzz1(1/4)4()|1112，zzzzz1(1/2)1(1/4)2|2111Zg nG zu nu nu nu nnnnn2424 ()2111111111111 21【解解】复频域篇二_小结与习题讲解 XZZ，zzx n u nu nzn1(1/2)2()(1/2)|1/211111(2)【习题习题9.21】考虑下面两个信号考虑下面两个信号：与与 令令 、和和 、分别代表分别代表 、的的单边和双边单边和双边z变换。变换。(1)
4、取取 的的双边双边z反变换反变换求求 。(2)取取 的单边的单边z反变换得到一个信号反变换得到一个信号 ，。(3)观察观察 时时 和和 是否是否相同，并解释原因。相同，并解释原因。x n 1Xz Xz()()12g nx nx n 12XXzz()()12x nu nn(1/2)111x nu nn(1/4)2X z()1Xz()1Xz()2Xz()1x n 2q n n0n0q n g n XZZ，zzx n u nu nzn1(1/4)4()(1/4)|11122GXX，zzzzzzzz1(1/2)1(1/4)1(1/2)1(1/4)2()()()|1/2111/21111112Zq nU
5、Q zu nu nnn22 4 ()11 11 21【解解】复频域篇二_小结与习题讲解(3)时时【习题习题9.21】考虑下面两个信号考虑下面两个信号：与与 令令 、和和 、分别代表分别代表 、的的单边和双边单边和双边z变换。变换。(1)取取 的的双边双边z反变换反变换求求 。(2)取取 的单边的单边z反变换得到一个信号反变换得到一个信号 ，。(3)观察观察 时时 和和 是否是否相同，并解释原因。相同，并解释原因。x n 1Xz Xz()()12g nx nx n 12XXzz()()12x nu nn(1/2)111x nu nn(1/4)2X z()1Xz()1Xz()2Xz()1x n 2
6、q n n0n0q n g n n0q ng n 因为因为 时时，作用于作用于 ，而没有作用于而没有作用于 相当于相当于 没有考虑没有考虑 时时 的贡献的贡献 n0 x n 1g n q n q n n0 x n 1 22【解解】复频域篇二_小结与习题讲解(1)【习题习题9.22】对下面给出对下面给出的差分方程的差分方程、输入、输入 与与初始条件，利用单边初始条件，利用单边z变换变换求求 零输入响应零输入响应和零状态响应。和零状态响应。(1)(2)(3)、y ny nx nx nu nyn 3 1 (1/2)11x n、y ny nx nx nx nu ny22 1 1 1011、y ny n
7、x nx nx nu ny22 1 1 1111零输入响应零输入响应时时 YYXzzzyz()3()3 1()1对方程两边做单边对方程两边做单边Z变换得变换得 Xz()0YYzzzy()3()3 10zizi1Yzzzzy1313(),|33 1311ziZY ynzu nu nnn U()3(3)(3)zizi1+1零输入响应零输入响应 22【解解】复频域篇二_小结与习题讲解(1)【习题习题9.22】对下面给出对下面给出的差分方程的差分方程、输入、输入 与与初始条件，利用单边初始条件，利用单边z变换变换求求 零输入响应零输入响应和零状态响应。和零状态响应。(1)(2)(3)、y ny nx
8、nx nu nyn 3 1 (1/2)11x n、y ny nx nx nx nu ny22 1 1 1011、y ny nx nx nx nu ny22 1 1 1111零状态响应零状态响应时时 YYXzzzyz()3()3 1()1对方程两边做单边对方程两边做单边Z变换得变换得 y 10YYXzzzz()3()()zszs1YXzzzzzzzz13131(1/2)131(1/2)()(),|31116/71/711111zsZYynzu nu nnn77 2 U()(3)61 1zszs1零状态响应零状态响应 22【解解】复频域篇二_小结与习题讲解(2)【习题习题9.22】对下面给出对下面
9、给出的差分方程的差分方程、输入、输入 与与初始条件，利用单边初始条件，利用单边z变换变换求求 零输入响应零输入响应和零状态响应。和零状态响应。(1)(2)(3)、y ny nx nx nu nyn 3 1 (1/2)11x n、y ny nx nx nx nu ny22 1 1 1011、y ny nx nx nx nu ny22 1 1 1111零输入响应零输入响应时时 ，且且 方程两边做单边方程两边做单边Z变换变换 Xz()0YYzzzy()0.5()0.5 10zizi1Yzzy10.5()00.5 11ziZYynz U()0zizi1零输入响应零输入响应 x 10YYXXzzzyzz
10、zx()0.5()0.5 1()0.5()0.5 111 22【解解】复频域篇二_小结与习题讲解(2)【习题习题9.22】对下面给出对下面给出的差分方程的差分方程、输入、输入 与与初始条件，利用单边初始条件，利用单边z变换变换求求 零输入响应零输入响应和零状态响应。和零状态响应。(1)(2)(3)、y ny nx nx nu nyn 3 1 (1/2)11x n、y ny nx nx nx nu ny22 1 1 1011、y ny nx nx nx nu ny22 1 1 1111YYXXzzzyzzzx()0.5()0.5 1()0.5()0.5 111方程两边做单边方程两边做单边Z变换变
11、换 零状态响应零状态响应时时 y 10YYXXzzzzzzx()0.5()()0.5()0.5 1zszs11YXXzzzzz10.5()10.5()()11zs1ZYynzx nu n U()zszs1零状态响应零状态响应 22【解解】复频域篇二_小结与习题讲解(3)【习题习题9.22】对下面给出对下面给出的差分方程的差分方程、输入、输入 与与初始条件，利用单边初始条件，利用单边z变换变换求求 零输入响应零输入响应和零状态响应。和零状态响应。(1)(2)(3)、y ny nx nx nu nyn 3 1 (1/2)11x n、y ny nx nx nx nu ny22 1 1 1011、y
12、ny nx nx nx nu ny22 1 1 1111零输入响应零输入响应时时 ，且且 方程两边做单边方程两边做单边Z变换变换 Xz()0YYzzzy()0.5()0.5 10zizi1Yzzzzy10.510.5(),|0.50.5 10.511ziZYynzu nu nnn U()0.5(0.5)(0.5)zizi11零输入响应零输入响应 x 10YYXXzzzyzzzx()0.5()0.5 1()0.5()0.5 111 22【解解】复频域篇二_小结与习题讲解(3)【习题习题9.22】对下面给出对下面给出的差分方程的差分方程、输入、输入 与与初始条件，利用单边初始条件，利用单边z变换变
13、换求求 零输入响应零输入响应和零状态响应。和零状态响应。(1)(2)(3)、y ny nx nx nu nyn 3 1 (1/2)11x n、y ny nx nx nx nu ny22 1 1 1011、y ny nx nx nx nu ny22 1 1 1111方程两边做单边方程两边做单边Z变换变换 YYXXzzzyzzzx()0.5()0.5 1()0.5()0.5 111零状态响应时零状态响应时 y 10YYXXzzzzzzx()0.5()()0.5()0.5 1zszs11YXXzzzzz10.5()10.5()()11zs1ZYynzx nu n U()zszs1零状态响应零状态响应
14、 (2)若若 的一的一个零点出现个零点出现在在 则则 23【解解】复频域篇二_小结与习题讲解(1)【习题习题9.23】考虑一个偶序列考虑一个偶序列 ，它的有理它的有理z变换变换为为 。(1)根据根据z变换的定义，证明变换的定义，证明 (2)根据根据(1)中的结果，证明若中的结果，证明若 的的一个极点（零点）出现一个极点（零点）出现在在 ，那么那么在在 也也一定有一个极点（零点）。一定有一个极点（零点）。(3)对序列对序列(a)与与(b)验证验证(2)的的结果。结果。X zXz()(1/)x n zz0zz1/0X zx n zxn zx m zx mzXznnmmnnmmmn()(1/)(1/
15、)极点情况类似极点情况类似，若若 ，则则 X z()X z()nn11nnn21 15X z()zz0X z()00X/zX z(1)()000也也是零点是零点 zz1/0 X z()0 X/zX z(1)()00 23【解解】复频域篇二_小结与习题讲解(3)(a)【习题习题9.23】考虑一个偶序列考虑一个偶序列 ，它的有理它的有理z变换变换为为 。(1)根据根据z变换的定义，证明变换的定义，证明 (2)根据根据(1)中的结果，证明若中的结果，证明若 的的一个极点（零点）出现一个极点（零点）出现在在 ，那么那么在在 也也一定有一个极点（零点）。一定有一个极点（零点）。(3)对序列对序列(a)与
16、与(b)验证验证(2)的的结果。结果。X zXz()(1/)x n zz0zz1/0X zzz()1X z()nn11nnn21 15X z()零点零点 ，互为倒数；互为倒数；极点极点 ，互互为为倒数倒数 zj1,2、zz012 (b)zX zzzzz2()5(2)(0.5)1零点零点 ，互互为倒数；为倒数；极点极点 ，互互为为倒数倒数、zz20.512、zz012 (2)若若 的一的一个零点出现个零点出现在在 则则 24【解解】复频域篇二_小结与习题讲解(1)【习题习题9.24】有一实值有一实值序列序列 ，其有理其有理z变换变换为为 。(1)根据根据z变换的定义，证明变换的定义，证明 (2)
17、根据根据(1)中的结果，证明若中的结果，证明若 的的一个极点（零点）出现一个极点（零点）出现在在 ，那么，那么在在 也也一定有一个极点（零点）。一定有一个极点（零点）。(3)对序列对序列(a)与与(b)验证验证(2)的的结果。结果。X zXz()()x n zz0zz0*X zx n zx n zx n zXznnnnnn()()()*极点情况类似极点情况类似，若若 ，则则 X z()X z()x nu nn(1/2)x nnnn24 1211X z()zz0X z()00X zXz*()()000*也也是零点是零点 X z()0 X zXz*()()00*zz0*24 复频域篇二_小结与习题
18、讲解【习题习题9.24】有一实值有一实值序列序列 ，其有理其有理z变换变换为为 。(1)根据根据z变换的定义，证明变换的定义，证明 (2)根据根据(1)中的结果，证明若中的结果，证明若 的的一个极点（零点）出现一个极点（零点）出现在在 ，那么，那么在在 也也一定有一个极点（零点）。一定有一个极点（零点）。(3)对序列对序列(a)与与(b)验证验证(2)的的结果。结果。X zXz()()x n zz0zz0*X z()x nu nn(1/2)x nnnn24 1211X z()【解解】(3)(a)zzX zz1 0.50.5()11零点零点 ，极点极点 ，均为实数均为实数 z0z0.5 (b)z
19、X zzzzz24()111(0.50.25)2122零点零点 ，互为互为共轭共轭；极点；极点 为实数为实数 z44j131,2阶二z0()25【解解】复频域篇二_小结与习题讲解(1)kzzkH zkzzk1(/3)(/3)()1(/4)(/4)11有限零点有限零点 、有限极点有限极点 ，且为因果系统且为因果系统 zk4 zk3收敛域收敛域为为 zk3|0时的零时的零极点极点图与收敛域如右所示图与收敛域如右所示 k0【习题习题9.25】考虑考虑图中所示图中所示的因果数字滤波器结构的因果数字滤波器结构(1)求该滤波器的系统求该滤波器的系统函数函数 ，画出零极点图，指出收敛域。画出零极点图，指出收
20、敛域。(2)k为何值时，该系统是稳定的？为何值时，该系统是稳定的？(3)若若 和和 ，求，求 。H z()x nn(2/3)y n+4/k-3/k-1-znynx+k1zRezIm/3k/4k 25【解解】复频域篇二_小结与习题讲解(2)因果系统稳定的条件为收敛域包括因果系统稳定的条件为收敛域包括单位圆单位圆 收敛域收敛域为为 zk3|0即即 k31|k|3【习题习题9.25】考虑考虑图中所示图中所示的因果数字滤波器结构的因果数字滤波器结构(1)求该滤波器的系统求该滤波器的系统函数函数 ，画出零极点图，指出收敛域。画出零极点图，指出收敛域。(2)k为何值时，该系统是稳定的？为何值时，该系统是稳
21、定的？(3)若若 和和 ，求，求 。H z()x nn(2/3)y n+4/k-3/k-1-znynx+k1zRezIm/3k/4k 25【解解】复频域篇二_小结与习题讲解(3)时系统函数时系统函数 k1，zH zzz1(1/3)3()|1(1/4)111 zH z znn()LTISy nH zznn3123()25232zH zzzz1(1/3)1(1/3)/(2/3)12()1(1/4)1(1/4)/(2/3)5332121【习题习题9.25】考虑考虑图中所示图中所示的因果数字滤波器结构的因果数字滤波器结构(1)求该滤波器的系统求该滤波器的系统函数函数 ，画出零极点图，指出收敛域。画出零
22、极点图，指出收敛域。(2)k为何值时，该系统是稳定的？为何值时，该系统是稳定的？(3)若若 和和 ，求，求 。H z()x nn(2/3)y n+4/k-3/k-1-znynx+k1 26【解解】复频域篇二_小结与习题讲解【习题习题9.26】一一离散时间离散时间LTI系统系统由下面的输入输出差分方程给出：由下面的输入输出差分方程给出：在初始条件在初始条件为为 以及以及 的的情况下，输出情况下，输出响应响应 ，求输入信号求输入信号 （假设假设n0时时，）。）。y ny ny nx nx n 12 22 1y 22y 10y nu nu n 2 2 3x n x n 0YYYXXzzzyzzz y
23、yzzzx()()12()2 12 22()()11211Yzzzzzzzz yyy1212121()2 12 2 148/34/3121211zi1零输入响应时零输入响应时 ，且且 Xz()0 x 10YYYzzzyzzz yy()()12()2 12 20zizizi121零输入响应零输入响应 ynu nu nn33(2)84zi方程两边做单边方程两边做单边Z变换变换 26【解解】复频域篇二_小结与习题讲解【习题习题9.26】一一离散时间离散时间LTI系统系统由下面的输入输出差分方程给出：由下面的输入输出差分方程给出：在初始条件在初始条件为为 以及以及 的的情况下，输出情况下，输出响应响应
24、 ，求输入信号求输入信号 （假设假设n0时时，）。）。y ny ny nx nx n 12 22 1y 22y 10y nu nu n 2 2 3x n x n 0YYYXXzzzyzzz yyzzzx()()12()2 12 22()()11211零输入响应零输入响应 ynu nu nn33(2)84zi零状态响应零状态响应 yny nynu nu nu nu nu nu nu nnn3333 2 2 3(2)2 3(2)8428zsziYzzzzz112(),|23322811zs3 26【解解】复频域篇二_小结与习题讲解【习题习题9.26】一一离散时间离散时间LTI系统系统由下面的输入输
25、出差分方程给出：由下面的输入输出差分方程给出：在初始条件在初始条件为为 以及以及 的的情况下，输出情况下，输出响应响应 ，求输入信号求输入信号 （假设假设n0时时，）。）。y ny ny nx nx n 12 22 1y 22y 10y nu nu n 2 2 3x n x n 0YYYXXzzzyzzz yyzzzx()()12()2 12 22()()11211零输入响应零输入响应 ynu nu nn33(2)84zi零状态响应时零状态响应时 YYYXXzzzzzzzz()()2()2()()zszszs121YXzzzzz12()()212zs1yy 2 10 26【解解】复频域篇二_小
26、结与习题讲解【习题习题9.26】一一离散时间离散时间LTI系统系统由下面的输入输出差分方程给出：由下面的输入输出差分方程给出：在初始条件在初始条件为为 以及以及 的的情况下，输出情况下，输出响应响应 ，求输入信号求输入信号 （假设假设n0时时，）。）。y ny ny nx nx n 12 22 1y 22y 10y nu nu n 2 2 3x n x n 0YXzzzzz12()()212zs1Yzzzz112()3322811zs3XY zzzzzzzzzzzzzzz2112112121()()33221222281121112zs111343 x nu nu nu nu nnnnn(1/
27、2)2(1/2)1(1/2)32(1/2)4134 26【解解】复频域篇二_小结与习题讲解【习题习题9.26】一一离散时间离散时间LTI系统系统由下面的输入输出差分方程给出：由下面的输入输出差分方程给出：在初始条件在初始条件为为 以及以及 的的情况下，输出情况下，输出响应响应 ，求输入信号求输入信号 （假设假设n0时时，）。）。y ny ny nx nx n 12 22 1y 22y 10y nu nu n 2 2 3x n x n 0YYYXXzzzyzzz yyzzzx()()12()2 12 22()()11211XY zzzzzzzzzzzzzzz22121(1/2)()(12)224122(12)()41111112313412将将 、代入得代入得 x 10YXzzzzz(12)()4(2)()121方程两边做单边方程两边做单边Z变换变换 方法方法2：y 22y 10YZZzzy nu nu nz1()2 2 32213 x nu nu nu nu nnnnn(1/2)2(1/2)1(1/2)32(1/2)4134其中其中