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1、专题一函数【知识概要】 一、映射映射：映射是两个集合A、B间一种特殊的对应，表示对集合A中的任何一个元素，在集合B中有唯一确定的元素与之对应。如果，且元素和元素对应，那么，元素叫做元素的原像，元素叫做元素的像，记为。【特别提醒】：（1）映射由三要素组成，集合A、B以及A到B的对应法则，集合A、B可以是数集，也可以是点集或其他集合。对于A中每一个元素，在B中有且只有一个元素和它对应。（2）A中的不同元素允许对应B中的相同元素，即映射允许“多对一”、“一对一”，但不允许“一对多”。B中的元素可以在A中没有元素和它对应。 二、函数的概念1. 函数的定义：如果A、B都是非空的数集，映射就叫做A到B的函
2、数，记作：，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域如果用表示值域，则有。通常表示“y是x的函数”，简记作函数。2. 函数的三要素：定义域A，对应法则f，值域。3. 函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法函数解析式的求法：（1）待定系数法. 若已知函数的类型，可用待定系数法；（2）换元法. 已知复合函数的解析式，可用换元法，要注意变量的取值范围；（3）消参法. 若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出。（4）直接法.变形后直接代换【特别提醒】函数解析式是函数表示法的一种.求函数的解析式一定要注明定义域，特别是利用
3、换元法求解析式时，不注明定义域往往导致错解。分段函数：在定义域内不同部分上有不同的解析式，这样的函数通常叫分段函数，分段函数虽由几个部分构成，但它表示的是一个函数。复合函数：如果，则称函数为和g构成的复合函数，其中分别叫做外层函数和内层函数，内层函数的值域是外层函数的定义域。4. 函数的基本性质：（1）单调性：设函数的定义域为A，区间。如果对于任意，I，当时，都有，那么就说在区间I上是单调减函数区间I叫做的单调减区间；如果对于任意，I，当时，都有，那么就说在区间I上是单调增函数区间I叫做的单调增区间；单调增区间或单调减区间统称为单调区间。单调性的求解方法：定义法:取值作差变形定号判断复合函数：
4、“同增异减”（2）最大（小）值：设函数的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的，都有（或）；存在，使得那么我们称M是函数的最大（或小）值。求函数最大（小）值的常用方法：分析观察法、反函数法、分离常数法、配方法、不等式法、判别式法、利用函数的单调性法、换元法、数形结合法、导数法。函数的单调性与最值在高考中常以选择填空题形式出现，但近几年高考常以导数为工具，研究函数的单调性问题在大题中是必考内容。（3）奇偶性： 如果对于函数的定义域内任意一个x，都有，那么函数就叫做奇函数。奇函数的图象关于原点对称。 如果对于函数的定义域内任意一个x，都有，那么函数就叫做偶函数。偶函数的图象关于y轴对称。奇偶函
5、数的定义是判断函数奇偶性的主要依据，为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：，也可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性。【特别提醒】（1）若，则既是奇函数又是偶函数，则是偶函数；若是奇函数且在处有定义，则.（3）函数的奇偶性常与函数的单调性、最值或周期结合考查，以选择填空题居多，且是高考考查的热点。（4）周期性： 对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有，那么函数就叫做周期函数。非零常数T叫做这个函数的周期。对于常数T，如果存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做函数的最小正周期。【特别提醒】：函数的图象是“形”与“数”的有
6、机组合，由性质看图象，由图象研究性质是函数的永恒的主题，以图象考查函数性质是高考的常考点。5. 一些有用的结论：奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反。在公共定义域内：增函数增函数是增函数；减函数减函数是减函数；函数的单调性：单调增区间是：和；单调减区间是：和。 如果函数对于一切，都有，那么函数的图象关于直线对称。函数与函数的图象关于直线对称；函数与函数的图象关于直线对称；函数与函数的图象关于坐标原点对称。 三、初等函数 1. 二次函数 （1）二次函数的三种表示形式： 标准式：；顶点式：，顶点；零点式： 。 （2）二次函数的图象：图象是抛物线，其对称轴方程为当时，开口向
7、上；当时，开口向下。 （3）二次函数的性质 时，单调递减区间；单调递增区间，。 时，单调递增区间；单调递减区间，。（4）求解二次函数在限定区间上的最大（小）值要抓住四点：图象的开口方向；顶点；区间与对称轴的位置关系；区间端点函数值。2. 指数函数和对数函数 （1）指数和对数指 数对 数定 义 （叫做的次幂） （叫做以为底的对数）关系式 运算性质 根式：如果（，且），那么叫做a的n次方根，记作。式子叫做根式，n叫做根指数，a叫做被开方数根式的性质有：（i）（，且）；（ii）当n为奇数时，；当n为偶数时，。 分数指数幂 （i） （ii）（，且）； （iii）0的正分数指数幂等于0，0的负数指数幂、
8、零指数幂没有意义。叫做常用对数，叫做自然对数，其底数分别为10和对数的换底公式及它的变形：。对数恒等式：。 （2）指数函数和对数函数指数函数对数函数图像11性质定义域：R 值域：过点，即时，当时，在R上是增函数； 当时，在R是减函数定义域： 值域：R过点，即时，当时，在上是增函数； 当时，在是减函数关系与（）互为反函数，其图象关于对称3. 幂函数（是自变量，是常数） 四、函数与方程 1. 函数的零点：有零点的图象与x轴有交点方程有实根。 2. 函数零点的存在性：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个就是方程的根 注意：上述判定方法中在内的
9、零点不一定唯一；逆命题不成立。3. 二分法求方程近似解（1）确定区间，验证，给定精确度；（2）求区间的中点；（3）计算：若，则就是函数的零点；若，则令，此时零点；若，则令，此时零点。（4）判断是否达到精确度：即若，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)(4)步。4. 二次方程根的分布利用二次函数的图象讨论二次方程根的分布的关键：开口方向；区间的端点值；对称轴；判别式。 五、函数模型及其应用求解函数应用问题（如增长率、利润、产量、银行存款、节水等）要注意解题的步骤。（1）步骤：设出未知数；构建函数模型；求解；作答。（2）常见函数模型：一次函数、正比例函数模型；二次函数模型；近似于指数函数模型；模型；分段函数模型；其它函数模型。陆