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1、专题四数列【知识概要】 一、数列的概念 1. 数列的有关概念： （1）定义：按一定的次序排列的一列数；它是定义域为（或的有限子集）的函数所对应的一列函数值，数列是自变量离散变化的函数。 （2）通项公式：数列的第项与项数之间的函数关系，如果能用一个公式表示，这个公式叫做数列的通项公式。 2. 数列的表示法： （1）列表法：用列表法给出函数关系，自变量省略，仅列出函数值；如： （2）图象法：以序号为横坐标，相应项为纵坐标，描点画图得到函数图象，用一群孤立点表示。 （3）解析法：一般用通项公式表示，或用递推关系式表示。如 3. 数列的通项与前项和的关系： ，其中 4. 两个重要的变形： （1） （2
2、） 二、等差数列和等比数列等差数列等比数列1. 定义如果（常数），那么就称为等差数列，为公差。如果（常数），那么就称为等比数列，q为公比。2. 通项公式3. 中项 公式成等差数列 成等比数列 前4. 项和 公式或5. 重要 性质1）若正自然数、满足，则。2）若为等差数列，则 为等差数列。3）若为等差数列，则 也是等差数列，公差为。1）若正自然数、满足 ，则。2）若为等比数列，且 均不为零， 则为等比数列。3）若为等比数列，则 ，也是等比数列，公比分别为。6. 充要 条件为等差数列。为等比数列。7. 相互 关系1）设且，则成等比数列成等差数列。2）是正项等比数列是等差数列。 三、数列通项公式的求
3、法 1. 根据，利用公式求通项。 2. 根据数列的递推关系，叠加法、累乘法求通项，其要点是： （1）；（2） 3. 构造新的等差、等比数列，转化法求通项。 四、特殊数列求和 1. 利用等差、等比数列的公式求和。 2. 倒序相加法求和。 3. 乘公比错位相减法求和. 适用于由一个等差数列和一个等比数列对应项乘积组成的数列。 4. 裂项法求和. 它的基本思想是设法将数列的每一项拆成两项（裂项），并使它们在相加时除了首尾各有一项或少数几项外，其余各项都能前后相消.常见裂项公式： （1） （2） 5. 分组求和. 通过拆和组的手段把问题化归为可求或易求的数列的问题。 五、数列应用题 在应用问题中，根据问题构造等差、等比数列的模型，然后再用数列的通项公式或求和公式等知识求解。叁