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1、向量的应用测试题一、选择题1已知是边长为1的正三角形所在平面外一点，且，分别是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）ABCD答案：B2长方体中，为与的交点，为与的交点，又，则长方体的高等于（ ）ABCD答案：C3已知点是平行四边形所在平面外一点，如果，对于结论：；是平面的法向量；其中正确的个数是（ ）A1B2C3D4答案：C4如图1，直三棱柱中，侧棱，侧面的两条对角线交点为，则面与面所成二面角的余弦值等于（ ）ABCD答案：D5在棱长为2的正方体中，分别是的中点，则与平面所成的角的余弦为（ ）ABCD答案：D6在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则与所成的角的余弦为（ ）ABCD答案：B二
2、、填空题7已知三角形的顶点是，则这个三角形的面积等于 答案：8是棱长为1的正方体，则点到平面的距离等于 答案：9在长方体中，和与底面所成的角分别为和，则异面直线和所成角的余弦值为 答案：10在平面若一直线垂直于轴，则其方程可表示为（为定值）在空间若一直线垂直于平面，则其方程可表示为 答案：（其中为定值）11已知平面和平面交于直线，是空间一点，垂足为，垂足为，且，若点在内的射影与点在内的射影重合，则点到的距离为 答案：12正方体的棱长为1，是底面的中心，则到平面的距离为 答案：三、解答题13如图2，已知正方体的棱长为2，点为棱的中点求：（1）与平面所成角的余弦值；（2）二面角的余弦值解：建立坐标
3、系如图，则，（1） 不难证明为平面的法向量，与平面所成的角的余弦值为；（2）分别为平面，的法向量，二面角的余弦值为14如图3，直二面角中，四边形是边长为2的正方形，为上的点，且平面（1）求证：平面；（2）求二面角的大小；（3）求点到平面的距离解：（1）平面，二面角为直二面角，且，平面平面（2） 以线段的中点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过作平行于的直线为轴，建立空间直角坐标易知，得，设平面的一个法向量为则即令，得是平面的一个法向量又平面的一个法向量为，二面角的大小为（3）轴，点到平面的距离 15如图4，正方形中，分别是，的中点，是的中点，现沿及把这个正方形折成一个四面体，使三点重合，重合后的点记为（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值（1）证明：正方形按题意折成的四面体如图所示，折叠后，有，平面，又平面，平面平面；（2）解：如图，以为原点建立空间直角坐标系，设正方形的边长为1，则，设是平面的法向量，故令，则，所以是平面的一个法向量，又因为平面，所以是平面的一个法向量，设二面角的平面角为，则5