《2021年山东省菏泽市中考数学试卷-含答案解析版.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021年山东省菏泽市中考数学试卷-含答案解析版.doc（25页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、祝君考试必过2021 年山东省菏泽市中考数学试卷年山东省菏泽市中考数学试卷一一、选择题选择题（本大题共本大题共 8 个小题个小题，每小题每小题 3 分分，共共 24 分分，在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置.）1（3 分）如图，数轴上点 A 所表示的数的倒数为（）A3B3CD2（3 分）下列等式成立的是（）Aa3+a3a6Baa3a3C（ab）2a2b2D（2a3）24a63（3 分）如果不等式组的解集为 x2，那么 m 的取值范围是（）Am2Bm2Cm2Dm
2、24（3 分）一副三角板按如图方式放置，含 45角的三角板的斜边与含 30角的三角板的长直角边平行，则的度数是（）A10B15C20D255（3 分）如图是一个几何体的三视图，根据图中所标数据计算这个几何体的体积为（）A12B18C24D306（3 分）在 2021 年初中毕业生体育测试中，某校随机抽取了 10 名男生的引体向上成绩，将这组数据整理后制成如下统计表：祝君考试必过成绩（次）1211109人数（名）1342关于这组数据的结论不正确的是（）A中位数是 10.5B平均数是 10.3C众数是 10D方差是 0.817（3 分）关于 x 的方程（k1）2x2+（2k+1）x+10 有实数根
3、，则 k 的取值范围是（）Ak且 k1Bk且 k1CkDk8（3 分）如图（1），在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 在第一象限，且 BCx 轴，直线 y2x+1 沿 x 轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形 ABCD 截得的线段长为 a，直线在 x 轴上平移的距离为 b，a、b 间的函数关系图象如图（2）所示，那么矩形 ABCD 的面积为（）AB2C8D10二二、填空题填空题（本大题共本大题共 6 个小题个小题，每小题每小题 3 分分，共共 18 分分，只要求把最后结果填写在答题卡只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内）的相应区域内）9（3 分）2021 年 5 月 11 日，国家统计局
4、、国务院第七次全国人口普查领导小组办公室对外发布：截至 2020 年 11 月 1 日零时，全国人口共约 1410000000 人数据 1410000000用科学记数法表示为10（3 分）因式分解：a3+2a2a11（3 分）如图，在 RtABC 中，C30，D、E 分别为 AC、BC 的中点，DE2，过点 B 作 BFAC，交 DE 的延长线于点 F，则四边形 ABFD 的面积为祝君考试必过12（3 分）如图，在ABC 中，ADBC，垂足为 D，AD5，BC10，四边形 EFGH 和四边形 HGNM 均为正方形，且点 E、F、G、N、M 都在ABC 的边上，那么AEM 与四边形 BCME 的
5、面积比为13（3 分）定义：a，b，c为二次函数 yax2+bx+c（a0）的特征数，下面给出特征数为m，1m，2m的二次函数的一些结论：当 m1 时，函数图象的对称轴是 y 轴；当 m2 时，函数图象过原点；当 m0 时，函数有最小值；如果 m0，当 x时，y 随 x 的增大而减小其中所有正确结论的序号是14（3 分）如图，一次函数 yx 与反比例函数 y（x0）的图象交于点 A，过点 A 作ABOA，交 x 轴于点 B；作 BA1OA，交反比例函数图象于点 A1；过点 A1作 A1B1A1B交 x 轴于点 B；再作 B1A2BA1，交反比例函数图象于点 A2，依次进行下去，则点A2021的
6、横坐标为三、解答题（本题共三、解答题（本题共 78 分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内）分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内）15（6 分）计算：（2021）0|3|+4cos30（）116（6 分）先化简，再求值：1+，其中 m，n 满足祝君考试必过17（6 分）如图，在菱形 ABCD 中，点 M、N 分别在 AB、CB 上，且ADMCDN，求证：BMBN18（6 分）某天，北海舰队在中国南海例行训练，位于 A 处的济南舰突然发现北偏西 30方向上的 C 处有一可疑舰艇，济南舰马上通知位于正东方向 200 海里 B 处的西安舰，西安舰测得 C 处位于其北偏西 60方向上，请问此
7、时两舰距 C 处的距离分别是多少？19（7 分）列方程（组）解应用题端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：小王：该水果的进价是每千克 22 元；小李：当销售价为每千克 38 元时，每天可售出 160 千克；若每千克降低 3 元，每天的销售量将增加 120 千克根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润 3640 元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？20（7 分）如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的两边 OC、OA 分别在坐标轴上，且OA2，OC4，连接 OB反比例函数 y（x0）的图象经过线段 OB 的中点 D，并与
8、 AB、BC 分别交于点 E、F一次函数 yk2x+b 的图象经过 E、F 两点（1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式；（2）点P 是 x 轴上一动点，当 PE+PF的值最小时，点 P 的坐标为祝君考试必过21（10 分）2021 年 5 月，菏泽市某中学对初二学生进行了国家义务教育质量检测，随机抽取了部分参加 15 米折返跑学生的成绩，学生成绩划分为优秀、良好、合格与不合格四个等级，学校绘制了如下不完整的统计图根据图中提供的信息解答下列问题：（1）请把条形统计图补充完整；（2）合格等级所占百分比为%；不合格等级所对应的扇形圆心角为度；（3）从所抽取的优秀等级的学生 A、B、C中，随机选取
9、两人去参加即将举办的学校运动会，请利用列表或画树状图的方法，求出恰好抽到 A、B 两位同学的概率22（10 分）如图，在O 中，AB 是直径，弦 CDAB，垂足为 H，E 为上一点，F 为弦DC 延长线上一点，连接 FE 并延长交直径 AB 的延长线于点 G，连接 AE 交 CD 于点 P，若 FEFP（1）求证：FE 是O 的切线；（2）若O 的半径为 8，sinF，求 BG 的长23（10 分）在矩形 ABCD 中，BCCD，点 E、F 分别是边 AD、BC 上的动点，且 AECF，连接 EF，将矩形 ABCD 沿 EF 折叠，点 C 落在点 G 处，点 D 落在点 H 处（1）如图 1，
10、当 EH 与线段 BC 交于点 P 时，求证：PEPF；（2）如图 2，当点 P 在线段 CB 的延长线上时，GH 交 AB 于点 M，求证：点 M 在线段EF 的垂直平分线上；（3）当 AB5 时，在点 E 由点 A 移动到 AD 中点的过程中，计算出点 G 运动的路线长祝君考试必过24（10 分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 yax2+bx4 交 x 轴于 A（1，0）、B（4，0）两点，交 y 轴于点 C（1）求该抛物线的表达式；（2）点 P 为第四象限内抛物线上一点，连接 PB，过点 C 作 CQBP 交 x 轴于点 Q，连接 PQ，求PBQ 面积的最大值及此时点 P 的坐标；
11、（3）在（2）的条件下，将抛物线 yax2+bx4 向右平移经过点（，0）时，得到新抛物线 ya1x2+b1x+c1，点 E 在新抛物线的对称轴上，在坐标平面内是否存在一点 F，使得以 A、P、E、F 为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由参考：若点 P1（x1，y1）、P2（x2，y2），则线段 P1P2的中点 P0的坐标为（，）祝君考试必过2021 年山东省菏泽市中考数学试卷年山东省菏泽市中考数学试卷参考答案与试题解析参考答案与试题解析一一、选择题选择题（本大题共本大题共 8 个小题个小题，每小题每小题 3 分分，共共 24 分分，在每小题给出的四个选
12、项中在每小题给出的四个选项中，只只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置.）1（3 分）如图，数轴上点 A 所表示的数的倒数为（）A3B3CD【解答】解：点 A 表示的数为3，3 的倒数为，故选：C2（3 分）下列等式成立的是（）Aa3+a3a6Baa3a3C（ab）2a2b2D（2a3）24a6【解答】解：Aa3+a32a3，故本选项不合题意；Baa3a4，故本选项不合题意；C（ab）2a22ab+b2，故本选项不合题意；D（2a3）24a6，故本选项符合题意；故选：D3（3 分）如果不等式组的解集为 x2，那么
13、m 的取值范围是（）Am2Bm2Cm2Dm2【解答】解：解不等式 x+54x1，得：x2，不等式组的解集为 x2，m2，故选：A4（3 分）一副三角板按如图方式放置，含 45角的三角板的斜边与含 30角的三角板的长直角边平行，则的度数是（）祝君考试必过A10B15C20D25【解答】解：如图：ABCD，BADD30，BAE45，453015故选：B5（3 分）如图是一个几何体的三视图，根据图中所标数据计算这个几何体的体积为（）A12B18C24D30【解答】解：由三视图可得，几何体是空心圆柱，其小圆半径是 1，大圆半径是 2，则大圆面积为：224，小圆面积为：12，故这个几何体的体积为：646
14、24618故选：B6（3 分）在 2021 年初中毕业生体育测试中，某校随机抽取了 10 名男生的引体向上成绩，将这组数据整理后制成如下统计表：祝君考试必过成绩（次）1211109人数（名）1342关于这组数据的结论不正确的是（）A中位数是 10.5B平均数是 10.3C众数是 10D方差是 0.81【解答】解：根据题目给出的数据，可得：中位数是10（分），平均数为：10.3，10 出现了 4 次，出现的次数最多，众数是 10；方差是：（1210.3）2+3（1110.3）2+4（1010.3）2+2（910.3）20.81这组数据的结论不正确的是 A故选：A7（3 分）关于 x 的方程（k1
15、）2x2+（2k+1）x+10 有实数根，则 k 的取值范围是（）Ak且 k1Bk且 k1CkDk【解答】解：当 k10，即 k1 时，此方程为一元二次方程关于 x 的方程（k1）2x2+（2k+1）x+10 有实数根，（2k+1）24（k1）2112k30，解得 k；当 k10，即 k1 时，方程为 3x+10，显然有解；综上，k 的取值范围是 k，故选：D8（3 分）如图（1），在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 在第一象限，且 BCx 轴，直线 y2x+1 沿 x 轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形 ABCD 截得的线段长为 a，直线在 x 轴上平移的距离为 b，a、b 间的函数关系
16、图象如图（2）所示，那么矩形 ABCD 的面积为（）祝君考试必过AB2C8D10【解答】解：如图所示，过点 B、D 分别作 y2x+1 的平行线，交 AD、BC 于点 E、F由图象和题意可得 AE431，CF871，BEDF，BFDE743，则 AB2，BCBF+CF3+14，矩形 ABCD 的面积为 ABBC248故选：C二二、填空题填空题（本大题共本大题共 6 个小题个小题，每小题每小题 3 分分，共共 18 分分，只要求把最后结果填写在答题卡只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内）的相应区域内）9（3 分）2021 年 5 月 11 日，国家统计局、国务院第七次全国人口普查领导小组办公
17、室对外发布：截至 2020 年 11 月 1 日零时，全国人口共约 1410000000 人数据 1410000000用科学记数法表示为1.41109【解答】解：14100000001.41109，故答案为：1.4110910（3 分）因式分解：a3+2a2aa（a1）2【解答】解：原式a（a22a+1）a（a1）2故答案为：a（a1）211（3 分）如图，在 RtABC 中，C30，D、E 分别为 AC、BC 的中点，DE2，过点 B 作 BFAC，交 DE 的延长线于点 F，则四边形 ABFD 的面积为8祝君考试必过【解答】解：D、E 分别为 AC、BC 的中点，DE 是ABC 的中位线，
18、DEAB，DEAB，AB2DE，DFAB，又BFAC，BFAD，四边形 ABFD 是平行四边形，ABBE，S平行四边形ABFDABBE，DE2，AB224，在 RtABC 中，C30，AC2AB248，BC4，BEBC2，S平行四边形ABFD428，故答案为 812（3 分）如图，在ABC 中，ADBC，垂足为 D，AD5，BC10，四边形 EFGH 和四边形 HGNM 均为正方形，且点 E、F、G、N、M 都在ABC 的边上，那么AEM 与四边形 BCME 的面积比为1：3祝君考试必过【解答】解：四边形 EFGH 和四边形 HGNM 均为正方形，EFEHHM，EMBC，AEMABC，EF，E
19、M5，AEMABC，（）2，S四边形BCMESABCSAEM3SAEM，AEM 与四边形 BCME 的面积比为 1：3，故答案为：1：313（3 分）定义：a，b，c为二次函数 yax2+bx+c（a0）的特征数，下面给出特征数为m，1m，2m的二次函数的一些结论：当 m1 时，函数图象的对称轴是 y 轴；当 m2 时，函数图象过原点；当 m0 时，函数有最小值；如果 m0，当 x时，y 随 x 的增大而减小其中所有正确结论的序号是【解答】解：由特征数的定义可得：特征数为m，1m，2m的二次函数的表达式为 ymx2+（1m）x+2m此抛物线的的对称轴为直线 x，当 m1 时，对称轴为直线 x0
20、，即 y 轴故正确；当 m2 时，此二次函数表达式为 y2x2x，令 x0，则 y0，函数图象过原点，故正确；当 m0 时，二次函数图象开口向上，函数有最小值，故正确；祝君考试必过m0，对称轴 x，抛物线开口向下，在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而减小即 x时，y 随 x 的增大而减小故错误故答案为：14（3 分）如图，一次函数 yx 与反比例函数 y（x0）的图象交于点 A，过点 A 作ABOA，交 x 轴于点 B；作 BA1OA，交反比例函数图象于点 A1；过点 A1作 A1B1A1B交 x 轴于点 B；再作 B1A2BA1，交反比例函数图象于点 A2，依次进行下去，则点A2021的横坐
21、标为+【解答】解：如图，分别过点 A，A1，A2，作 x 轴的垂线，垂足分别为 C，D，E，一次函数 yx 与反比例函数 y（x0）的图象交于点 A，联立，解得 A（1，1），ACOC1，AOC45，ABOA，OAB 是等腰直角三角形，OB2OC2，A1BOA，祝君考试必过A1BD45，设 BDm，则 A1Dm，A1（m+2，m），点 A1在反比例函数 y上，m（m+2）1，解得 m1+，（m1，负值舍去），A1（+1，1），A1B1A1B，BB12BD22，OB12B1A2BA1，A2B1E45，设 B1Et，则 A2Et，A2（t+2，t），点 A2在反比例函数 y上，t（t+2）1，解得
22、 t+，（t，负值舍去），A2（，），同理可求得 A3（2+，2），以此类推，可得点 A2021的横坐标为+故答案为：+三、解答题（本题共三、解答题（本题共 78 分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内）分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内）15（6 分）计算：（2021）0|3|+4cos30（）1【解答】解：原式1（23）+4412+3+24016（6 分）先化简，再求值：1+，其中 m，n 满足【解答】解：原式1+祝君考试必过1，mn，则原式617（6 分）如图，在菱形 ABCD 中，点 M、N 分别在 AB、CB 上，且ADMCDN，求证：BMBN【解答】证明：四边形 ABC
23、D 为菱形，ADCDABBC，AC在AMD 和CND 中，AMDCND（ASA）AMCN，ABAMBCCN，即 BMCN18（6 分）某天，北海舰队在中国南海例行训练，位于 A 处的济南舰突然发现北偏西 30方向上的 C 处有一可疑舰艇，济南舰马上通知位于正东方向 200 海里 B 处的西安舰，西安舰测得 C 处位于其北偏西 60方向上，请问此时两舰距 C 处的距离分别是多少？祝君考试必过【解答】解：过点 C 作 CDBA 的延长线于点 D，如图由题意可得：CAD60，CBD30DCA，BCACADCBD603030即BCACBD，ACAB200（海里）在 RtCDA 中，CDsinCADAC
24、100（海里）在 RtCDB 中，CB2CD200（海里）故位于 A 处的济南舰距 C 处的距离 200 海里，位于 B 处的西安舰距 C 处的距离 200海里19（7 分）列方程（组）解应用题端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：小王：该水果的进价是每千克 22 元；小李：当销售价为每千克 38 元时，每天可售出 160 千克；若每千克降低 3 元，每天的销售量将增加 120 千克根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润 3640 元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？【解答】解：设降低 x 元，超市每天可获得销售利润 3
25、640 元，由题意得，（38x22）（160+120）3640，整理得 x212x+270，x3 或 x9要尽可能让顾客得到实惠，祝君考试必过x9，售价为 38929 元答：水果的销售价为每千克 29 元时，超市每天可获得销售利润 3640 元20（7 分）如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的两边 OC、OA 分别在坐标轴上，且OA2，OC4，连接 OB反比例函数 y（x0）的图象经过线段 OB 的中点 D，并与 AB、BC 分别交于点 E、F一次函数 yk2x+b 的图象经过 E、F 两点（1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式；（2）点 P 是 x 轴上一动点，当 PE+PF 的
26、值最小时，点 P 的坐标为（，0）【解答】解：（1）四边形 OABC 为矩形，OABC2，OC4，B（4，2）由中点坐标公式可得点 D 坐标为（2，1），反比例函数 y（x0）的图象经过线段 OB 的中点 D，k1xy212，故反比例函数表达式为 y令 y2，则 x1；令 x4，则 y故点 E 坐标为（1，2），F（4，）设直线 EF 的解析式为 ykx+b，代入 E、F 坐标得：，解得：故一次函数的解析式为 y（2）作点 E 关于 x 轴的对称点 E，连接 EF 交 x 轴于点 P，则此时 PE+PF 最小如图由 E 坐标可得对称点 E（1，2），祝君考试必过设直线 EF 的解析式为 ymx
27、+n，代入点 E、F 坐标，得：，解得：则直线 EF 的解析式为 y，令 y0，则 x点 P 坐标为（，0）故答案为：（，0）21（10 分）2021 年 5 月，菏泽市某中学对初二学生进行了国家义务教育质量检测，随机抽取了部分参加 15 米折返跑学生的成绩，学生成绩划分为优秀、良好、合格与不合格四个等级，学校绘制了如下不完整的统计图根据图中提供的信息解答下列问题：（1）请把条形统计图补充完整；（2）合格等级所占百分比为30%；不合格等级所对应的扇形圆心角为36度；（3）从所抽取的优秀等级的学生 A、B、C中，随机选取两人去参加即将举办的学校运动会，请利用列表或画树状图的方法，求出恰好抽到 A
28、、B 两位同学的概率【解答】解：（1）抽取的学生人数为：1240%30（人），则优秀的学生人数为：3012936（人），把条形统计图补充完整如下：祝君考试必过（2）合格等级所占百分比为：930100%30%，不合格等级所对应的扇形圆心角为：36036，故答案为：30，36；（3）优秀等级的学生有 6 人，为 A、B、C、D、E、F，画树状图如图：共有 30 种等可能的结果，恰好抽到 A、B 两位同学的结果有 2 种，恰好抽到 A、B 两位同学的概率为22（10 分）如图，在O 中，AB 是直径，弦 CDAB，垂足为 H，E 为上一点，F 为弦DC 延长线上一点，连接 FE 并延长交直径 AB
29、的延长线于点 G，连接 AE 交 CD 于点 P，若 FEFP（1）求证：FE 是O 的切线；（2）若O 的半径为 8，sinF，求 BG 的长【解答】解：（1）如图，连接 OE，祝君考试必过OAOE，AAEO，CDAB，AHP90，FEFP，FPEFEP，A+APHA+FPE90，FEP+AEO90FEO，OEEF，FE 是O 的切线；（2）FHGOEG90，G+EOG90G+F，FEOG，sinFsinEOG，设 EG3x，OG5x，OE4x，OE8，x2，OG10，BG108223（10 分）在矩形 ABCD 中，BCCD，点 E、F 分别是边 AD、BC 上的动点，且 AECF，连接
30、EF，将矩形 ABCD 沿 EF 折叠，点 C 落在点 G 处，点 D 落在点 H 处（1）如图 1，当 EH 与线段 BC 交于点 P 时，求证：PEPF；（2）如图 2，当点 P 在线段 CB 的延长线上时，GH 交 AB 于点 M，求证：点 M 在线段祝君考试必过EF 的垂直平分线上；（3）当 AB5 时，在点 E 由点 A 移动到 AD 中点的过程中，计算出点 G 运动的路线长【解答】（1）证明：如图 1 中，四边形 ABCD 是矩形，ADBC，DEFEFB，由翻折变换可知，DEFPEF，PEFPFE，PEPF（2）证明：如图 2 中，连接 AC 交 EF 于 O，连接 PM，POAE
31、CF，EAOFCO，AECF，AOECOF，祝君考试必过AEOCFO（AAS），OEOF，PEPF，PO 平分EPF，PEPF，ADBC，AEFC，EDBF，由折叠的性质可知 EDEH，所以 BFEH，PEEHPFBF，PBPH，PHMPBM90，PMPM，RtPMHRtPMB（HL），PM 平分EPF，PM，O 共线，POEF，OEOF，点 M 在线段 EF 的垂直平分线上（3）如图 3 中，由题意，点 E 由点 A 移动到 AD 中点的过程中，点 G 运动的路径是图中弧 BC在 RtBCD 中，tanCBD，CBD30，ABOOAB60，AOB 是等边三角形，OAODOBOCAB5，BOC
32、120，祝君考试必过点 G 运动的路径的长故答案为：24（10 分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 yax2+bx4 交 x 轴于 A（1，0）、B（4，0）两点，交 y 轴于点 C（1）求该抛物线的表达式；（2）点 P 为第四象限内抛物线上一点，连接 PB，过点 C 作 CQBP 交 x 轴于点 Q，连接 PQ，求PBQ 面积的最大值及此时点 P 的坐标；（3）在（2）的条件下，将抛物线 yax2+bx4 向右平移经过点（，0）时，得到新抛物线 ya1x2+b1x+c1，点 E 在新抛物线的对称轴上，在坐标平面内是否存在一点 F，使得以 A、P、E、F 为顶点的四边形为矩形，若存在，请
33、直接写出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由参考：若点 P1（x1，y1）、P2（x2，y2），则线段 P1P2的中点 P0的坐标为（，）【解答】解：（1）由题意得：，解得，故抛物线的表达式为 yx23x4；（2）由抛物线的表达式知，点 C（0，4），设点 P 的坐标为（m，m23m4），设直线 PB 的表达式为 ykx+t，则，解得，CQBP，祝君考试必过故设直线 CQ 的表达式为 y（m+1）x+p，该直线故点 C（0，4），即 p4，故直线 CQ 的表达式为 y（m+1）x4，令 y（m+1）x40，解得 x，即点 Q 的坐标为（，0），则 BQ4，设PBQ 面积为 S，则 SBQ（yP
34、）（m23m4）2m2+8m，20，故 S 有最大值，当 m2 时，PBQ 面积为 8，此时点 P 的坐标为（2，6）；（3）存在，理由：将抛物线 yax2+bx4 向右平移经过点（，0）时，即点 A 过改点，即抛物线向右平移了+1个单位，则函数的对称轴也平移了个单位，即平移后的抛物线的对称轴为+3，故设点 E的坐标为（3，m），设点 F（s，t），当 AP 是边时，则点 A 向右平移 3 个单位向下平移 6 个单位得到点 P，同样点 F（E）向右平移 3 个单位向下平移 6 个单位得到点 E（F）且 AEPF（AFPE），则或，解得或，故点 F 的坐标为（3，）或（3，2）；祝君考试必过当 AP 是对角线时，由中点坐标公式和 APEF 得：，解得或，故点 F 的坐标为（3，3+）或（3，3）；综上，点 F 的坐标为（3，3+）或（3，3）或（3，）或（3，2）声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2021/6/27 12:33:02；用户：柯瑞；邮箱：；学号：500557