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1、编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第14页 共15页B题：金融风暴下快餐连锁企业的促销推广模型队号：102 摘要 在我们生活的城市里，有许多家实力雄厚的快餐连锁企业，无论中式快餐或西式快餐，都有采取各种各样的促销推广策略。2007年至2008年上半年，曾经发生过不算严重的通货膨胀，快餐连锁企业纷纷提高过产品的价格。从2008年下半年开始，金融风暴席卷全球，这反而给快餐连锁企业带来发展机会，因为一方面存在资金紧张、库存增加、消费不振等困难，但另一方面原料价格的下降使得成本降低，所以快餐连锁企业纷纷推出了很多促销推广措施，以求保持甚至增加经营利润。本文中我们采用数学
2、建模的方式，研究分析几种促销推广措施及多种促销方式组合运用策略，包括直接制定降价促销、增加广告投放以及发放组合套餐优惠券等策略。关键词：快餐、促销策略、降价、广告、优惠券、营销策略组合一、直接制定降价促销策略问题的提出：由于金融危机影响，原料价格降低，使商家能够考虑降低价格来吸引顾客，从而增加销售量。商家为追求当期利润最大化，必须认真制定一套合理的降价促销计划，否则不仅无法增加利润，反而可能亏本。因为一方面降价可以吸引顾客，另一方面，顾客可能认为价格是质量的标志，如果商家过分压低产品的价格，反倒会引起他们对产品的怀疑，从而无法保证增加销量和利润。这就需要商家能够尽量准确把握顾客消费心理和意愿，
3、在一定市场调查的基础上，考虑多种因素的影响，最后找出最优价格。问题分析：一般而言，由于经营面广、产品种类多，商家在制定降价方案时会有选择地决定各种产品价格，以打造品牌和扩大、占有市场。但我们在这里作简化分析时，不考虑多种产品联合降价策略以及商家之间的竞争性因素，只针对某一家店的某一种产品构建模型作讨论。图1成本和客户可接受的最高价是需要考虑的两个首要因素，因为这两点确定了产品的价格幅度。根据快餐特点，可以认为单件产品成本为一固定值，其中包括原料、制作与包装、所分担的员工薪金等，也就是说即为该产品价格的收支平衡点。记顾客可接受的最高价格为，这一值可根据商家销售经验或市场调查得到。所以价格应满足条
4、件。针对一种产品的价格波动，我们认为在价格范围中间存在一段区间，顾客对其不敏感，价格在该区间内价格的变化不会对顾客的消费产生影响，暂且将其称作稳定区间。而在稳定区间之外，价格的变动会对顾客的选择产生较大影响，大体趋势为“价格越低，销售量越高”。 模型假设：基于以上的分析，可作如下几点假设： 单件产品成本为，可变成本不计，售价为，顾客可接受的最高价格为，满足条件。 销售量在内绕某一值上下轻微波动，近似看做不变；在和内，销售量随价格降低而升高，采用三次函数拟合，如图1。 假设只要价格高于其成本，顾客就不会对质量产生怀疑而减少消费建模与求解：通过函数的运算，寻找价格的最优值，使得商家盈利在理论上达到
5、最大值。表达式为： （1-1）由假设及图1可得： （1-2）其中 （1-4） （1-5） （1-6）商家可根据销售记录、调查、预算得到的数据，在内取平均值找出；（i=1,3;j=1,2,3,4）可根据所得散点数据运用计算机拟合而得。由以上式子可得： （1-7） (1-8)令，求得若干个解，那么盈利为 由此解得将价格定为最优价格时，商家可以获得最大利润。二、增加广告投放的促销推广策略问题的提出：根据以往的经验知道，随着广告费用的增加，潜在的销售量会上升，并且有一个上界。所谓潜在的顾客指那些对于这种快餐确实有兴趣，但是不一定花钱在该快餐店购买的人。假设经过调查，快餐店掌握了若干个潜在顾客的名单，广
6、告将首先发给他们。由潜在顾客所增加的销售量就称为潜在销售量。问题分析：增加广告投放的建模的关键在于分析广告费、潜在销售量与随机需求量之间的关系，并作出合理的简化的假设。若记广告费为，潜在销售量为，应该是c的增函数（严格的说，是非降函数），且有一个上界。为简单起见，不妨设。记实际的需求量为随机变量，其概率密度为，于是对于给定的广告费，需求量在0到之间随机取值，现在我们简单假设在内呈均匀分布。O图2为了确定函数的形式，不妨首先假设印刷广告需要一笔固定的费用，它并不产生潜在销售量；然后，因为广告将优先分发给那些固定的潜在顾客，如果每份广告的印刷费和邮寄费是固定的，那么将随着线性的增加；最后，随着广告
7、的普遍分发，随着增加而渐趋于某一上界，示意图如图1，其中是的线性增加阶段。在以上分析的基础上作以下假设。模型假设：1、 每份快餐的成本为，售出价为，忽略贮存费用；需求量r是随机的，其概率密度记为。2、 广告费为，潜在消费量是的函数，记作；需求量在内呈均匀分布。3、 广告费中固定费用为，；每份广告的印制和邮寄费用为，广告首先分发给个确定的潜在顾客；是的非降函数，且上界为。建模与求解：设快餐的制作量为，建模的目的是确定广告费用和制作量的最优值，是该店平利润（即利润的期望值）最大。分三步建立模型。现在给定的广告费下根据假设1,2确定使平均利润达到最大的购进量，再利用假设3构造函数的具体形式，最后根据
8、前两步的结果确定广告费的最优值。下面是具体步骤：1 当广告费给定时，记制作量为的平均利润是，因为利润是从售出快餐的收入中减去购进原料与广告的支出，注意到需求量的概率密度为，可以写出的表达式为 （2-1）利用，（1）式可化为 （2-2） 式中是购进的原料全部售出时的利润，是当部分原料未能售出时的损失。计算并令其为零，容易求出使达到最大的值的最优值，记作，满足 （2-3）根据在内均匀分布的假设及，有 （2-4） 代入（3）式得 （2-5）即制作量的最优值等于广告费所决定的潜在销售量乘以比例系数，这个系数与进出差价成反比。将（4）、（5）代入（2）式，可得最大的平均利润为 （2-6）2 根据假设3和
9、图1，首先设 （2-7）记 （2-8）因为 ，所以 （2-9）是图1中的直线部分。对于，应有 （2-10）满足这个关系的最简单的函数形式之一是，和可以由在处函数和导数的连续性确定。最后将所有结果与（7）、（9）两式合在一起，得到 （2-11）3 将的表达式（11）代入（6）式，并记 （2-12）可得 （2-13）图2其示意图如图2。为求出使达到最大的广告费，先设当个潜在顾客实际上前来消费时，快餐店的利润应为正值，即代入（13）式，相当于要求 （2-14）即每份广告的费用必须充分小，且由（12）式可以看出（14）式右端第一项取决于汉堡包的进出差价，而第二项是每个潜在顾客分担的固定广告费用。事实上
10、，（14）式的假设是合理的，因为如果连那些确定的潜在顾客来消费时快餐店都赔本的话，那么这笔生意就根本不必做了。这样，为确定只须对（13）式右端的第三式求解极值问题。用微分法不难算出 （2-15）这就使快餐店利润达到最大的广告费的最优值。将（15）式代入（11）的第3式可得 （2-16）即在最优值下的潜在消费量是从上界中减去一部分，这部分与成正比，且随着广告费用（单价）的增加而增加，随着的增加而减少。最后，将（16）式代入（15）式得到制作量的最优值为 （2-17）下面对某麦当劳店汉堡包的广告投入与收益进行量化分析：以一周为周期进行调查，可取广告固定费用，潜在销售量的上界。成本，售价，每份广告的
11、印制和邮寄费。可算得，也就是说，广告投放量为6604元时，汉堡包可谓麦当劳带来最高盈利21895元。模型分析：模型引入潜在购买量作为广告费的函数，将随机需求量的概率分布与广告费联系起来，从而确定了平均利润和购进量、广告费之间的关系。基于快餐连锁企业强大的物流和管理系统，以及快餐行业实际情况，我们在此不考虑贮存问题。值得注意的是，需求量呈均匀分布的假设，这一分布需要根据实际情况得到其他概率分布后按同一方法求解。此外关于潜在购买量的函数，也可依据具体问题选用其它形式。三、通过发放组合套餐优惠券来促销推广问题的提出：实际情况中，快餐店一般很少采用直接降价促销的措施，更多的是采用发放优惠券的方式吸引顾
12、客。顾客根据多种途径得到优惠券后，可拿着优惠券按照快餐店的优惠原则，在消费时享受一定的优惠。虽然优惠券使商家在单次交易中利润减少，但由于优惠券会较大增加产品销售量，那么可以认为销售量大于某一值后，商家会得到更多的利润。从商家的角度，希望在优惠价格上寻找一个最优值，使得商家能够获得的营业额最大化。优惠券的形式有很多，其中一种优惠券是将原有的几种单品组合成套餐，并以低于其价格之和的某一价格销售。下面我们就以该种优惠券促销形式为基础出发，分析发放组合套餐优惠券给商家带来的利润情况。模型假设：1、 由于采用套餐优惠券促销，实际上是降低了产品的价格，我们就将其转化为与之本质相同的降价促销，并假设同一种单
13、品在不同套餐组合中的降价幅度相同；2、 假设每种单品的销售增量正比于其降价幅度，比例因子为，即；3、 假设不同种单品的降价幅度之间是相互独立的，即不会相互影响。模型求解：组合销售相当于原售价为的单品降价为销售，单品成本为，原销售量为，因套餐组合销售方式引起的此种快餐的销售增量为，该单品为商家带来的利润增加量为。由假设2知，第j种单品的销售增量为 （3-1）而 （3-2）由以上两式可得，商家能获得的总利润 （3-3）组合套餐优惠券策略的目的是追求总利润最大值，由于每种单品的降价幅度是互相独立的，上述问题可转化为求解线性规划问题： （3-4）经计算可得最优解为时，有 （3-5）模型分析：该模型从优
14、惠券降价促销的本质出发，将该种促销按照降价的方式处理。假设2中认为每种单品的销售增量正比于其降价幅度，这一关系只是为简化计算而假定的，实际情况中商家需要根据市场调查和销售数据建立其它较为合适的函数关系。模型检验：下面以麦当劳的促销优惠券为例，在一定假设的基础上做分析和计算，来验证组合销售给商家带来的效益。麦当劳采用优惠券的形式，将多种产品进行不同组合销售，顾客凭手中的优惠券可以享受不同优惠。其优惠券发放形式有三种,即店员向店内顾客发放，店员在店外发放，顾客从网站上直接打印。根据麦当劳的优惠券信息，我们选择由九种产品按十种优惠方式组合（具体组合方式见附录一）加以分析。第种单个产品（），其成本为，
15、原价为，原来的平均每周销售量为，推出优惠权券后该种产品的平均每周销售量为；第种组合（），按价格推出，平均每周销售量为，可按矩阵表示为： （3-6）系数矩阵 （3-7）其中为0或1,0表示组合中不包含该产品，1表示组合中包含该产品，具体值见表。假设推出优惠券后， ， （） （3-8）且 （3-9） （3-10）式中表示推出优惠券后，原来的平均每周销售量中，因部分顾客仍然按照单个购买而不使用优惠券带来的第种产品的销售量，且。下面分析推出优惠券前后，商家获得的利润变化：推出优惠券活动需要固定费用，每张优惠券制作费用为0.067元，假设商家发放的优惠券只有70%会被顾客利用，那么推出优惠券活动需要的成
16、本为 （3-11）推出优惠券之前商家能获得的总利润为 （3-12）推出优惠券之后商家能获得的总利润为 （3-13）根据下面式子 （3-14）代入具体数值计算得出。若，则推出优惠券能够给商家带来更多利润；若，则推出优惠券会使商家受损失；若，是否推出优惠券不会有影响。四、 组合运用多种促销推广措施在本部分，我们将研究价格、广告和需求三者之间的关系，并建立数学模型，寻求最优的价格与广告组合策略。我们要求的是在时间长度为T的计划范围的每一个周期t内的最优价格和最优广告费。广告费决定信誉水平，它是对产品知名度的量度，而价格和信誉决定了需求。此处我们假设停止广告策略时广告对顾客的影响消失。需求和信誉的初始
17、值为和。假设产品的单位可变成本是不变的，我们的最优目标是实现利润J的最大化。用a表示单位可变成本，时间t内的纯利润，所以我们的模型是Max J （4-1） （4-2）当前的需求还受到当前的与过去的市场营销活动的影响。广告是建立一种“固定资产”信誉，它的现值影响销售。假如信誉在每个周期内以比率下降，并且由目前的广告费来补充，那么需求和信誉成比例。可用下式表示： （4-3）该式与下式是完全等同的： （4-4）我们可以扩展上述的需求等式为 （4-5）研究表明，广告的延迟效应比价格的延迟效应大，因此我们假设 （4-6） （4-7）与 ，若b(t)任意大（即当售价过分大时，顾客便不会购买此商品，销售量为
18、0），若c(t)=0(即当广告费为0时，有广告费增加的信誉为0)现在需求决定于价格和广告的共同作用。实际上广告做的再好，价格过高，产品销售也不会好。如果信誉为零，即产品不为用户所了解，产品也不会销售出去。一个计划连续经营的企业可以在计划期末停止做广告。在超出计划期的任何时期之内，信誉的总值保持不变，为 （4-8）由公式（6）和公式（8）得同周期内的需求 （4-9）总需求为 （4-10）所以，我们就是要求下面模型中的和值：Max J由公式（1）和公式（6）得 （4-11） （4-12）对计划期T内的任何周期t，各个周期的问题就是寻求价格p和广告费c的值，使 （4-13）令与分别表示价格和广告的弹
19、性，则 （4-14） （4-15）可以看出，长期最优广告水平与长期销售水平有一个相当简单的比例关系。五、给新入行店长的一些建议随着快餐行业的不断扩大，各种品牌企业各自占有我们认为在激烈的快餐行业竞争中，商家想要追求更高的利润和市场占有量，就需要在营销方面采取更加有效的措施和方案。商家需要根据市场环境的不同，合理规划一个长远的战略目标和路线。为此，我们根据自己的简单研究，向新入行店主提出以下几点建议。1. 做好促销方案的策划： 促销方案是促销活动开展的依据。为此，方案的策划必须要周密。促销方案的策划内容应包括：促销主题创意、促销时机的选定、活动时间长短的安排、商品降价方式的设计、广告费的预算、活
20、动的组织等；2.选择最佳的商机： 一般而然，消费市场促销时机往往在重大节假日来临之前，或是销售旺季。如“五一黄金周”、“国庆黄金周”、圣诞节、元旦、春节到来之前及期间。这些时段被商家视为最佳商机，谁都不会轻易放弃难得的黄金销售期。促销时机的选择，直接关系到促销活动的效果。如果时机把握的准，只要策划合理，组织得当，就能极大增加销售额。相反，如果错过促销最佳时间，或者促销时间选择不当，就会给商家带来较大损失。3.确定商品降价促销的范围： 商品降价促销可以选择全场商品，也可以选择某类商品，还可以选择某几种单品。从众多商家的商品降价促销实践来看，商品促销范围的选择，往往是根据促销的目的的不同来确定不同
21、的促销方式。诸如：全场商品降价促销一般采取重大节假日降价促销、周年店庆商品降价促销、新店开业低价促销；某类商品降价促销则采取反季降价销售、应季商品降价促销；而单品促销则采取特价特卖、新品特卖等方式，以吸引顾客关注从而带动相关产品的销售。4.多元化的营销手段：商品降价促销的成败，主要取决于促销手段的运用。实践证明，成功的商品降价促销，离不开促销手段整体的组合。单一使用某一种促销手段很难实现促销的预期目标，特别是大型促销活动。因此，商家在进行商品降价促销活动时，应将打折、返劵、买赠等降价促销方式进行组合，以刺激消费者对价格的敏感度，同时还可以兼用非价格促销方式影响消费者。如在促销期间开展顾客参与的
22、互动游戏、有奖文化活动以及文艺演出等促销手段，以增强商品降价促销活动的影响力，实现企业的营销战略。5. 重视市场调研：很多餐饮行业经营者对市场调研的认知还很模糊，或者说不是很重视。很多餐饮企业的经营者都有一个固有的习惯，那就是对于市场的了解与判断都比较相信自己的感觉与经验，经验取代了市场调研。我们说丰富的经验当然重要，但当市场竞争更加激烈时，仅仅凭借经验、感觉来“拍板”的原始性决策方式已经很难适应市场竞争的要求。如果不做市场调研，凭经验、凭感觉等方式对市场进行判断，不对市场进行深入了解，不对消费者深入洞察，就很容易导致企业在做决策时不具针对性、不准确。只有对市场了解深入，才能更好地满足消费者需
23、求，凸显产品特色，因此，餐饮企业要发展，首先要对市场有深入的认知。6. 保证服务质量，努力营造品牌：我们认为在餐饮行业还有一个尤为重要的因素，就是服务质量。如果商家服务质量不到位，各种促销活动就无法按照预期要求和计划进行，而且哪怕促销活动吸引力再大，但是服务质量存在问题，促销就很难带来更多的销售量，而且会由于信誉和形象的降低影响以后的销量。为此，商家一定要有严格的管理体系和素质高度，通过较高的质量保证和良好的服务态度吸引顾客和拥有更多忠实顾客，努力打造更好的形象和更高知名度，这就能为商家在充分抢占市场及其长远发展奠定良好基础。附录一：麦当劳优惠券组合信息ZiAj 风味鸡翅一对麦辣鸡腿汉堡板烧鸡
24、腿汉堡麦辣鸡翅一对麦香鸡可乐（2中）可乐（小）薯条（中）组合单价单价和优惠量单价9101296.593.56-组合11100000016.5192.5组合21010000018213组合31000001014.517.53组合41000000112.5152.5组合50101000016.5192.5组合6010100101922.53.5组合70111010138468组合80000101012.5152.5组合90010001014.515.51组合100100001010.513.531.51.41.451.721.81.51.3-参考文献1姜启源.数学建模.高等教育出版社，1999.32林健良.运筹学及实验.华南理工大学出版社，2006.63周桂荣，等.价格、促销及其组合策略模型.郑州航空工业管理学院学报，1989第三期4霍文智.浅谈商品降价促销的功效及策略运用.现代商业，2010年5月28日第 14 页 共 15 页