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1、3.43.43.43.4生活中的优化问题举例生活中的优化问题举例生活中的优化问题举例生活中的优化问题举例高二数学高二数学 选修选修1-11-12021/8/8 星期日1知识回顾一、如何判断函数函数的单调性？f(x)为为增函数增函数f(x)为为减函数减函数 设函数设函数y=f(x)在在 某个区间某个区间 内可导，内可导，二、如何求函数的极值与最值？求函数极值的一般步骤求函数极值的一般步骤（1）确定定义域）确定定义域（2）求导数）求导数f(x)（3）求）求f(x)=0的根的根（4）列表）列表（5）判断）判断求求f(x)在在闭区间闭区间a,b上的最值的步骤：上的最值的步骤：(1)求求f(x)在区间在
2、区间(a,b)内极值；内极值；(2)将将y=f(x)的各极值与的各极值与f(a)、f(b）比较比较,从而确定函数的最值。从而确定函数的最值。2021/8/8 星期日2知识背景：生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具，本节我们运用导数，解决一些生活中的 优化问题.2021/8/8 星期日3例例1 1：海报版面尺寸的设计海报版面尺寸的设计 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图宣传。现让你设计一张如图3.4-1所示的竖向张贴所示的竖向
3、张贴的海报，要求版心面积为的海报，要求版心面积为128dm2，上、下两边各，上、下两边各空空2dm，左、右两边各空，左、右两边各空1dm，如何设计海报的，如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？尺寸，才能使四周空白面积最小？图图3.4-1 分析：已知版心的面分析：已知版心的面积，你能否设计出版心积，你能否设计出版心的高，求出版心的宽，的高，求出版心的宽，从而列出海报四周的面从而列出海报四周的面积来？积来？2021/8/8 星期日4 你还有其他解法你还有其他解法吗？例如用基本吗？例如用基本不等式行不？不等式行不？因此，因此，x=16是函数是函数S(x)的极小值，也是最小值点。所以，的极小值，
4、也是最小值点。所以，当版心高为当版心高为16dm，宽为，宽为8dm时，能使四周空白面积最时，能使四周空白面积最小。小。2021/8/8 星期日5解法二解法二：由解法由解法(一一)得得2021/8/8 星期日6问题问题2:2:饮料瓶大小对饮料公司利润有影响吗饮料瓶大小对饮料公司利润有影响吗?你是否注意过你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些般比大包装的要贵些?你想从数学上知道它的你想从数学上知道它的道理吗道理吗?是不是饮料瓶越大是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大饮料公司的利润越大?2021/8/8 星期日7 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶
5、子的制造成本某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是是0.8p pr2分，其中分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出售是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出售1ml的的饮料，制造商可获利饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制造的瓶子的最大半径为分，且制造商能制造的瓶子的最大半径为6cm，()瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的 利润最大？利润最大？(）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？r(0，2)2(2，6f(r)0f(r)-+减函数减函数 增函数增函数-1.07p p每瓶每瓶饮饮料的利料的利润润：背景知识解：由
6、于瓶子的半径为解：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是，所以每瓶饮料的利润是2021/8/8 星期日9当半径当半径r时，时，f(r)0它表示它表示 f(r)单调递增，单调递增，即半径越大，利润越高；即半径越大，利润越高；当半径当半径r时，时，f(r)0 它表示它表示 f(r)单调递减单调递减，即半径越大，利润越低即半径越大，利润越低1.半径为半径为cm 时，利润最小，这时时，利润最小，这时表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值此时利润是负值半径为半径为cm时，利润最大时，利润最大2021/8/8 星期日10231、当半径为2cm时,利
7、润最小,这时f(2)0,2、当半径为6cm时，利润最大。从图中可以看出:从图中，你还能看出什么吗？2021/8/8 星期日11问题问题3、磁盘的最大存储量问题、磁盘的最大存储量问题(1)你知道计算机是如何存储、检索信息的吗？(2)你知道磁盘的结构吗？(3)如何使一个圆环状的磁盘存储尽可能多的信息？2021/8/8 星期日12Rr例3：现有一张半径为R的磁盘，它的存储区是半径介于r与R的环行区域。(1)是不是r越小，磁盘的存(2)储量越大？(2)r为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？2021/8/8 星期日13解：存储量解：存储量=磁道数磁道数每磁道的比特数每磁道的比特数
8、 设存储区的半径介于r与R之间，由于磁道之间的宽度必须大于m，且最外面的磁道不存储人何信息，所以磁道最多可达 又由于每条磁道上的比特数相同，为获得最大的存储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达到 所以，磁道总存储量（1）它是一个关于r的二次函数，从函数的解析式上可以判断，不是r越小，磁盘的存储量越大.2021/8/8 星期日14(2)为求 的最大值，计算令解得因此，当 时，磁道具有最大的存储量，最大存储量为2021/8/8 星期日15 由上述例子，我们不难发现，解决优化问题的基本思路是：优化问题优化问题用函数表示的数学问题用函数表示的数学问题用导数解决数学问题用导数解决数学问题优
9、化问题的答案优化问题的答案上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程。2021/8/8 星期日16练习：练习：在边长为在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？子容积最大？最大容积是多少？2021/8/8 星期日17解解:设箱底边长为设箱底边长为x,则箱高则箱高h=(60-x)/2.箱子容积箱子容积 V(x)=x2h=(60 x2-x3)/2(0 x60).令令 ,解得解得x=0(舍去舍
10、去),x=40.且且V(40)=16000.由题意可知由题意可知,当当x过小过小(接近接近0)或过大或过大(接近接近60)时时,箱箱子的容积很小子的容积很小,因此因此,16000是最大值是最大值.答答:当当x=40cm时时,箱子容积最大箱子容积最大,最大容积是最大容积是16000cm3.2021/8/8 星期日18练习练习2:某种圆柱形的饮料罐的容积一定时某种圆柱形的饮料罐的容积一定时,如何确定如何确定它的高与底半径它的高与底半径,使得所用材料最省使得所用材料最省?Rh解解 设圆柱的高为设圆柱的高为h,底面半径为底面半径为R.则表面积为则表面积为 S(R)=2Rh+2R2.又又V=R2h(定值
11、定值),即即h=2R.可以判断可以判断S(R)只有一个极值点只有一个极值点,且是最小值点且是最小值点.答答 罐高与底的直径相等时罐高与底的直径相等时,所用材料最省所用材料最省.2021/8/8 星期日20 xy练习练习3 如图如图,在二次函数在二次函数f(x)=4x-x2的图象与的图象与x轴所轴所 围成的图形中有一个内接围成的图形中有一个内接矩形矩形ABCD,求这求这 个矩形的个矩形的最大面积最大面积.解解:设设B(x,0)(0 x2),则则 A(x,4x-x2).从而从而|AB|=4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形故矩形ABCD的面的面积积为为:S(x)=|AB|BC|=2x3-12x2+16x(0 x0得得x=1.而而0 x1时时,所以所以x=1是是f(x)的极小值点的极小值点.所以当所以当x=1时时,f(x)取最小值取最小值f(1)=1.从而当从而当x0时时,f(x)1恒成立恒成立,即即:成立成立.2021/8/8 星期日232021/8/8 星期日24